Mouvement dans un champ de gravitation

1Interaction et champ de gravitation

Propriété — loi de la gravitation universelle. Deux corps à répartition sphérique de masse (ou ponctuels), de masses $m_A$ et $m_B$, dont les centres sont distants de $d$, exercent l’un sur l’autre des forces attractives, opposées, portées par la droite $(AB)$, de même valeur

Définition. Un astre de masse $M$ crée autour de lui un champ de gravitation $\vv{\mathcal{G}}$, dirigé vers son centre, de valeur $\mathcal{G}=G\,\dfrac{M}{r^{2}}$ à la distance $r$ de ce centre. Un corps de masse $m$ y subit la force $\vv{F}=m\,\vv{\mathcal{G}}$.

Remarque. Au voisinage du sol, $\vv{\mathcal{G}}$ s’identifie au champ de pesanteur $\vv{g}$ : $g=G\dfrac{M_{\text{T}}}{R_{\text{T}}^{\,2}}={9{,}81\,\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{kg}^{-1}}$. Le champ de gravitation ne dépend pas de la masse du corps qui le subit.

2Satellite en orbite circulaire

Propriété — le mouvement est uniforme. Pour un satellite de masse $m$ en orbite circulaire de rayon $r$ autour d’un astre de masse $M$, la seule force est la force de gravitation, centripète. La deuxième loi de Newton projetée dans le repère de Frenet donne

La vitesse garde donc une valeur constante : le mouvement est circulaire uniforme.

Propriété — vitesse et période. On en déduit, quelle que soit la masse du satellite,

Plus l’orbite est haute, plus le satellite est lent et plus sa période est longue.

3Lois de Kepler

Propriété. Pour les planètes du système solaire et, plus généralement, pour tout corps en orbite autour d’un astre :

• première loi (des orbites) : la trajectoire est une ellipse dont l’astre attracteur occupe l’un des foyers ;
• deuxième loi (des aires) : le segment reliant l’astre au corps balaie des aires égales pendant des durées égales — le corps va plus vite quand il est plus près de l’astre ;
• troisième loi (des périodes) : $\dfrac{T^{2}}{a^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{G\,M}$, où $a$ est le demi-grand axe de l’ellipse. Le rapport $T^{2}/a^{3}$ est le même pour tous les satellites d’un même astre.

Méthode — établir la troisième loi dans le cas circulaire. élever $T=2\pi\sqrt{r^{3}/(GM)}$ au carré : $T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, soit $\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}$, constante indépendante du satellite. L’orbite circulaire est le cas particulier $a=r$.

Méthode — tester la troisième loi. tracer $T^{2}$ en fonction de $a^{3}$ à partir de données astronomiques : les points doivent s’aligner sur une droite passant par l’origine, de coefficient directeur $4\pi^{2}/(GM)$.

4Applications

Définition. Un satellite géostationnaire reste à la verticale du même point de l’équateur : son orbite est équatoriale, parcourue dans le sens de rotation de la Terre, et sa période est égale à la période de rotation propre de la Terre, $T={23\,\mathrm{h}}\,{56\,\mathrm{min}}={8{,}62\times10^{4}\,\mathrm{s}}$. La troisième loi impose alors un unique rayon, $r\approx{4{,}2\times10^{4}\,\mathrm{km}}$, soit une altitude d’environ ${3{,}6\times10^{4}\,\mathrm{km}}$.

Méthode — déterminer la masse d’un astre. mesurer la période $T$ et le rayon $r$ de l’orbite d’un de ses satellites, puis écrire $M=\dfrac{4\pi^{2}\,r^{3}}{G\,T^{2}}$. La masse du satellite n’intervient pas.

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types