Lunette astronomique et photons

1Partie A — Rappels sur la lentille convergente

Propriété. Une lentille mince convergente, de centre O et de distance focale $f'=\overline{\text{OF}'}>0$, vérifie $1/\overline{\text{OA}'}-1/\overline{\text{OA}}=1/f'$ et donne le grandissement $\gamma=\overline{\text{A}'\text{B}'}/\overline{\text{AB}}=\overline{\text{OA}'}/\overline{\text{OA}}$ ; sa vergence est $C=1/f'$, en dioptries (${\mathrm{\delta}}$). L’image d’un objet à l’infini se forme dans le plan focal image.

Notation. Trois rayons se construisent sans calcul : par O, non dévié ; parallèle à l’axe, il ressort par F$'$ ; passant par F, il ressort parallèle à l’axe.

2Partie A — La lunette astronomique afocale

Définition. Une lunette astronomique est formée de deux lentilles convergentes : l’objectif, de grande distance focale $f'_{\text{obj}}$, tourné vers l’objet, et l’oculaire, de courte distance focale $f'_{\text{oc}}$, côté œil. Elle est afocale lorsque $\text{F}'_{\text{obj}}=\text{F}_{\text{oc}}$ : un objet à l’infini donne alors une image à l’infini, observable par un œil au repos.

Propriété — marche des rayons. Un objet à l’infini vu sous l’angle $\theta$ donne dans le plan focal commun une image intermédiaire réelle renversée $\text{A}_1\text{B}_1=f'_{\text{obj}}\tan\theta\approx f'_{\text{obj}}\,\theta$ ; cette image étant dans le plan focal objet de l’oculaire, le faisceau émergent est parallèle, incliné de $\theta'\approx \text{A}_1\text{B}_1/f'_{\text{oc}}$.

Théorème. Le grossissement de la lunette afocale vaut

et son encombrement (distance entre les deux lentilles) vaut $L=f'_{\text{obj}}+f'_{\text{oc}}$. L’image finale est renversée.

Remarque. Caractéristiques commerciales « 60/700 » : diamètre de l’objectif ${60\,\mathrm{mm}}$ (il fixe la lumière collectée, donc la luminosité) et distance focale ${700\,\mathrm{mm}}$. Changer d’oculaire change $G$ ; un grossissement trop élevé assombrit l’image.

3Partie B — Le photon

Définition. La lumière est constituée de photons, particules de masse nulle se déplaçant à la célérité $c$, transportant chacune l’énergie

L’énergie s’exprime souvent en électronvolts : ${1\,\mathrm{eV}}={1{,}60\times10^{-19}\,\mathrm{J}}$, et $hc={1{,}24\times10^{3}\,\mathrm{eV}{\cdot}\mathrm{nm}}$ permet le calcul direct $E\,({\mathrm{eV}})=1{,}24\times 10^{3}/\lambda\,({\mathrm{nm}})$.

Propriété — flux de photons. Une source de puissance $P$ émettant des photons d’énergie $E$ en émet $N=P/E$ par seconde ; une surface $S$ soumise à l’éclairement $\mathcal{E}$ (${\mathrm{W}{\cdot}\mathrm{m}^{-2}}$) reçoit $P=\mathcal{E}\,S$.

Propriété — absorption et émission. Un atome n’absorbe ou n’émet qu’un photon dont l’énergie vaut exactement un écart entre deux de ses niveaux : $\abs{E_p-E_n}=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}$. D’où les spectres de raies, la LED (émission) et la cellule photovoltaïque (absorption).

4Partie B — Effet photoélectrique et rendement

Définition. L’effet photoélectrique est l’émission d’électrons par un métal éclairé. Elle n’a lieu que si la fréquence dépasse la fréquence seuil $\nu_0$ (c’est-à-dire $\lambda\leq\lambda_0=c/\nu_0$), quelle que soit l’intensité lumineuse : c’est le photon qui interagit individuellement avec un électron.

Théorème. Bilan énergétique, pour $\nu\geq\nu_0$ :

où $W_{\text{ext}}$ est le travail d’extraction du métal et $E_{\text{c,max}}$ l’énergie cinétique maximale de l’électron émis. Augmenter l’intensité lumineuse augmente le nombre d’électrons émis, pas leur énergie.

Définition. Le rendement d’une cellule photovoltaïque est $\eta=\dfrac{P_{\text{élec}}}{P_{\text{lumineuse}}}$ (sans unité, souvent en pourcentage).

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types