Mouvement dans un champ uniforme

1Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme

Définition. Un système est en chute libre lorsqu’il n’est soumis qu’à son poids. Le champ de pesanteur est uniforme sur une zone petite devant la Terre : $\vv{g}$ y a partout la même direction, le même sens et la même valeur.

Propriété. La deuxième loi de Newton donne $m\,\vv{a}_G=m\,\vv{g}$, donc

l’accélération ne dépend ni de la masse ni de la nature du corps. Elle est constante, verticale, vers le bas.

Propriété — le mouvement est plan. $\vv{a}_G$ étant constant et $\vv{v}_0$ donné, le mouvement se fait entièrement dans le plan vertical contenant $\vv{v}_0$ et $\vv{g}$ : la troisième coordonnée reste nulle à tout instant.

2Équations horaires et trajectoire

Méthode — établir les équations horaires. projeter $\vv{a}_G=\vv{g}$ sur les axes, puis primitiver deux fois en déterminant les constantes d’intégration avec les conditions initiales ($\vv{v}_0$ et la position de départ).

Propriété. Lancer depuis l’origine $O$ avec une vitesse $\vv{v}_0$ faisant l’angle $\alpha$ avec l’horizontale, dans le repère $(O\,;x,z)$ d’axe $(Oz)$ vertical ascendant :

En éliminant $t$ ($t=x/(v_0\cos\alpha)$), on obtient l’équation de la trajectoire, une parabole :

3Mouvement dans un champ électrique uniforme

Définition. Entre deux plaques parallèles distantes de $d$ et soumises à la tension $U$, le champ électrique est uniforme, perpendiculaire aux plaques et dirigé de la plaque positive vers la plaque négative, de valeur

Propriété. Une particule de charge $q$ y subit la force $\vv{F}=q\,\vv{E}$ (de même sens que $\vv{E}$ si $q>0$, de sens contraire si $q<0$). Le poids étant négligeable devant elle, la deuxième loi donne $\vv{a}=\dfrac{q}{m}\vv{E}$, constant : on retrouve les mêmes équations que pour la chute libre, avec $\dfrac{qE}{m}$ à la place de $g$.

Propriété — deux dispositifs. Dans un accélérateur linéaire, $\vv{v}_0$ est parallèle à $\vv{E}$ : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. Dans un déflecteur (condensateur plan), $\vv{v}_0$ est perpendiculaire à $\vv{E}$ : la trajectoire est une parabole, comme pour un projectile.

4Aspects énergétiques

Propriété. $E_c=\tfrac12 m v^{2}$ (en ${\mathrm{J}}$), $E_{pp}=m\,g\,z$ ($z$ compté sur un axe ascendant, origine choisie), $E_m=E_c+E_{pp}$.

Théorème — théorème de l’énergie cinétique. Entre deux positions $A$ et $B$, $\Delta E_c=E_c(B)-E_c(A)=\sum W_{AB}(\vv{F})$. Le travail du poids vaut $W_{AB}(\vv{P})=mg\,(z_A-z_B)$ et celui de la force électrique $W_{AB}(\vv{F})=q\,U_{AB}$, où $U_{AB}=V_A-V_B$ est la tension entre le point de départ $A$ et le point d’arrivée $B$.

Propriété. En chute libre, seul le poids travaille : l’énergie mécanique se conserve, $E_m=$ constante. Une variation de $E_m$ signale des frottements, qui dissipent de l’énergie.

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types