Sons et effet Doppler

1Rappels sur l’onde sonore

Définition. Un son est une onde mécanique progressive longitudinale : une succession de compressions et de dilatations du milieu, qui ne se propage donc pas dans le vide. Sa célérité $c$ ne dépend que du milieu ($c\approx{340\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ dans l’air, environ ${1\,500\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ dans l’eau) ; sa fréquence $f$ est imposée par la source et ne change pas en changeant de milieu. La période $T=1/f$ et la longueur d’onde vérifient $\lambda=c\,T=\dfrac{c}{f}$.

2Intensité et niveau d’intensité sonore

Définition. L’intensité sonore $I$ est la puissance sonore reçue par unité de surface, en ${\mathrm{W}{\cdot}\mathrm{m}^{-2}}$. Le niveau d’intensité sonore $L$ se calcule à partir du seuil d’audibilité $I_0={1{,}0\times10^{-12}\,\mathrm{W}{\cdot}\mathrm{m}^{-2}}$ :

Remarque. L’échelle est logarithmique car l’oreille perçoit des intensités s’étalant sur douze ordres de grandeur : $I_0$ correspond à $L={0\,\mathrm{dB}}$, le seuil de douleur (${120\,\mathrm{dB}}$) à $I={1\,\mathrm{W}{\cdot}\mathrm{m}^{-2}}$. Utile : $\log(10^{x})=x$, $\log(ab)=\log a+\log b$, $\log(a^{n})=n\log a$, $\log 2\approx 0{,}30$.

Propriété — additivité. Les intensités s’ajoutent, jamais les niveaux : $I=I_1+I_2+\cdots$ Pour $n$ sources identiques de niveau $L_1$ : $L_n=L_1+10\log n$. En particulier, doubler le nombre de sources ajoute ${3{,}0\,\mathrm{dB}}$ ; dix sources identiques ajoutent ${10\,\mathrm{dB}}$.

3Atténuation

Propriété — atténuation géométrique. Une source ponctuelle de puissance $P$ rayonne dans toutes les directions : à la distance $d$, l’énergie se répartit sur une sphère d’aire $4\pi d^{2}$, donc

Doubler la distance divise $I$ par $4$, soit une perte de $10\log 4={6{,}0\,\mathrm{dB}}$.

Définition. L’atténuation $A$ due à l’absorption par un matériau traversé est la diminution du niveau : $A=L_{\text{avant}}-L_{\text{après}}$, en ${\mathrm{dB}}$ (elle est parfois donnée par mètre de matériau traversé). Les atténuations successives, en décibels, s’ajoutent.

Remarque. Exposition au bruit : le seuil réglementaire (${85\,\mathrm{dB}}$ pour une journée de travail de ${8\,\mathrm{h}}$) et le seuil de douleur (${120\,\mathrm{dB}}$) s’expriment par un niveau, mais la dose reçue est proportionnelle à $I\times$ durée : la durée admissible est divisée par deux chaque fois que le niveau augmente de ${3\,\mathrm{dB}}$.

4Effet Doppler

Définition. L’effet Doppler est le décalage entre la fréquence $f_E$ émise par une source et la fréquence $f_R$ perçue par un récepteur, lorsque la distance entre eux varie. Lorsque la source se rapproche, les fronts d’onde successifs sont resserrés : la longueur d’onde perçue diminue et la fréquence perçue augmente ; elle diminue lorsque la source s’éloigne.

Théorème. Pour un émetteur se déplaçant à la vitesse $v<c$ sur la droite qui le joint à un récepteur fixe :

Méthode — établir la relation, à savoir refaire. Pendant une période $T_E$, deux compressions successives sont émises ; entre ces deux émissions, la première a parcouru $c\,T_E$ et l’émetteur $v\,T_E$ dans la même direction. Devant un émetteur qui se rapproche, elles sont donc séparées de $\lambda_R=(c-v)\,T_E$ : le récepteur les reçoit à la période $T_R=\dfrac{\lambda_R}{c}=\dfrac{c-v}{c}\,T_E$, d’où $f_R=\dfrac{1}{T_R}=f_E\,\dfrac{c}{c-v}$. Derrière un émetteur qui s’éloigne, $\lambda_R=(c+v)\,T_E$.

Propriété — approximation des faibles vitesses. Si $v\ll c$, alors $\dfrac{\abs{\Delta f}}{f_E}=\dfrac{\abs{f_R-f_E}}{f_E}\approx\dfrac{v}{c}$, d’où $v\approx c\,\dfrac{\abs{\Delta f}}{f_E}$ : la mesure du décalage donne la vitesse.

Remarque. Applications : radar et échographie Doppler (l’onde fait l’aller-retour, ce qui double le décalage), vélocimétrie, astrophysique — le décalage vers le rouge (redshift) des galaxies qui s’éloignent, avec $\dfrac{\abs{\Delta\lambda}}{\lambda_0}\approx\dfrac{v}{c}$.

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types