Écoulement d’un fluide

1Décrire un écoulement

Définition. L’écoulement est en régime permanent (ou stationnaire) lorsque, en chaque point du fluide, la vitesse, la pression et la masse volumique ne dépendent plus du temps. Une ligne de courant est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide : en régime permanent, c’est aussi la trajectoire d’une particule de fluide. Un resserrement des lignes de courant signale une zone où le fluide va plus vite.

Définition. Le modèle du fluide parfait incompressible suppose la masse volumique $\rho$ constante et la viscosité nulle : aucun frottement, donc aucune perte de charge. Il convient à l’eau ou à l’air en écoulement régulier, pas aux fluides visqueux (huile), aux conduites très longues ni aux écoulements turbulents.

2Poussée d’Archimède

Définition. La poussée d’Archimède $\vv{\Pi}$ est la résultante des forces pressantes exercées par un fluide sur un corps plongé dedans. Elle existe parce que la pression augmente avec la profondeur : la force pressante sur la face inférieure l’emporte sur celle qui s’exerce sur la face supérieure.

Théorème. Un corps plongé dans un fluide de masse volumique $\rho_{\text{f}}$ subit une poussée verticale, dirigée vers le haut, opposée au poids du fluide déplacé :

où $V_{\text{imm}}$ est le volume immergé du corps, en ${\mathrm{m}^{3}}$ ($\Pi$ en ${\mathrm{N}}$). $\Pi$ ne dépend ni de la profondeur, ni de la masse, ni de la nature du corps.

Propriété — flottabilité. Un corps homogène de masse volumique $\rho_{\text{c}}$ abandonné dans un fluide au repos coule si $\rho_{\text{c}}>\rho_{\text{f}}$ et monte si $\rho_{\text{c}}<\rho_{\text{f}}$ ; il flotte alors à l’équilibre avec $\dfrac{V_{\text{imm}}}{V}=\dfrac{\rho_{\text{c}}}{\rho_{\text{f}}}$.

3Débit volumique et conservation du débit

Définition. Le débit volumique à travers une section est le volume de fluide qui la traverse par unité de temps : $D_v=\dfrac{V}{\Delta t}=S\,v$, en ${\mathrm{m}^{3}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$, avec $S$ l’aire de la section (${\mathrm{m}^{2}}$) et $v$ la vitesse moyenne du fluide (${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$) ; ${1\,\mathrm{L}}={1\times10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}}$.

Propriété — conservation du débit. Pour un fluide incompressible en régime permanent, dans une conduite sans fuite ni dérivation, le débit volumique est le même à travers toutes les sections : $D_v=S_1v_1=S_2v_2$, donc $\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{S_1}{S_2}$. Le fluide va d’autant plus vite que la section est étroite ; pour une conduite cylindrique de diamètre $d$, $S=\pi d^{2}/4$ et $v_2/v_1=(d_1/d_2)^{2}$.

4Relation de Bernoulli

Théorème. Pour un fluide parfait incompressible en écoulement permanent, la quantité

garde la même valeur en tout point d’une même ligne de courant ($P$ en ${\mathrm{Pa}}$, $v$ en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$, $z$ altitude en ${\mathrm{m}}$ sur un axe vertical orienté vers le haut). Chaque terme est une énergie par unité de volume, en ${\mathrm{J}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}}$ : c’est un bilan d’énergie mécanique.

Méthode — appliquer Bernoulli. choisir deux points A et B d’une même ligne de courant, écrire $P_A+\tfrac12\rho v_A^{\,2}+\rho g z_A=P_B+\tfrac12\rho v_B^{\,2}+\rho g z_B$, puis simplifier : $z_A=z_B$ si la conduite est horizontale, $P=P_{\text{atm}}$ au contact de l’air libre, $v\approx 0$ à la surface libre d’un grand réservoir ; les vitesses inconnues viennent de la conservation du débit.

5Applications directes

Propriété — effet Venturi. Dans une conduite horizontale, $P+\tfrac12\rho v^{2}$ est constante : là où la section se resserre, la vitesse augmente donc la pression diminue (débitmètre à Venturi, trompe à eau, pulvérisateur ; dans des tubes manométriques, l’eau monte moins haut au col).

Propriété — formule de Torricelli. Un réservoir ouvert, de grande section, percé à la profondeur $h$ sous la surface libre, éjecte le liquide à la vitesse $v=\sqrt{2\,g\,h}$, indépendante de la nature du liquide. Pour un château d’eau dont la surface libre est à la hauteur $H$ au-dessus d’un robinet, le modèle donne une surpression $\rho g H$ robinet fermé et la même vitesse $\sqrt{2gH}$ robinet ouvert.

Propriété — portance. L’air circulant plus vite sur l’extrados d’une aile que sur l’intrados, la pression y est plus faible : il en résulte une force verticale $F=\tfrac12\rho_{\text{air}}S\,(v_e^{\,2}-v_i^{\,2})$ vers le haut.

Remarque. Les vitesses mesurées sont plus faibles que prévu : viscosité, pertes de charge et rétrécissement du jet échappent au modèle.

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types