Sommes et produits

1Sommes et produits d’une famille finie

Définition. Soient $I$ un ensemble fini et $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ une famille de réels. On note $\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}$ la somme et $\displaystyle\prod_{i\in I}a_{i}$ le produit de cette famille : les $a_{i}$ sont additionnés (resp. multipliés) dans un ordre quelconque, le résultat n’en dépendant pas. Par convention $\sum_{i\in\varnothing}a_{i}=0$ et $\prod_{i\in\varnothing}a_{i}=1$ : la somme vide est nulle, le produit vide vaut $1$ (éléments neutres de $+$ et de $\times$).

Notation. Lorsque $I=\intent{p}{n}$ avec $p\leq n$, on écrit $\displaystyle\sum_{i=p}^{n}a_{i}$ et $\displaystyle\prod_{i=p}^{n}a_{i}$ ; cette somme comporte $n-p+1$ termes, et non $n-p$. Pour $p>n$ la famille est vide. L’indice est muet : $\sum_{i=1}^{n}a_{i}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$, et cette lettre ne doit apparaître nulle part en dehors du signe $\sum$.

Propriété — règles de calcul. Soient $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ et $\left(b_{i}\right)_{i\in I}$ deux familles finies de réels, $\lambda,\mu\in\R$ et $n=\operatorname{card}(I)$.

2Télescopage

Théorème — somme et produit télescopiques. Soient $p\leq n$ des entiers et $\left(a_{k}\right)_{p\leq k\leq n+1}$ une famille de réels. Alors

Idée de preuve (exigible). Par découpage et translation d’indice, $\sum_{k=p}^{n}a_{k+1}=\sum_{j=p+1}^{n+1}a_{j}$ ; en retranchant $\sum_{k=p}^{n}a_{k}$, tous les termes d’indices $p+1,\dots,n$ se détruisent. On peut aussi raisonner par récurrence sur $n$.

Méthode — reconnaître un télescopage. pour calculer $\sum_{k=p}^{n}u_{k}$, chercher $\left(a_{k}\right)$ telle que $u_{k}=a_{k+1}-a_{k}$. Trois exemples à connaître : $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ donne $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$ ; $k\cdot k!=(k+1)!-k!$ donne $\sum_{k=1}^{n}k\cdot k!=(n+1)!-1$ ; et $\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\prod_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k}\cdot\prod_{k=2}^{n}\frac{k+1}{k}=\frac{1}{n}\cdot\frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2n}$.

3Les sommes usuelles

Théorème. Pour tout $n\in\N$ et tout $x\in\R$ :

Idées de preuve (exigibles). $\bullet$ Par télescopage : $(k+1)^{2}-k^{2}=2k+1$, donc $\sum_{k=1}^{n}(2k+1)=(n+1)^{2}-1$, c’est-à-dire $2\sum k+n=n^{2}+2n$, d’où $\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$. De même $(k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1$ donne $\sum k^{2}$, et $(k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1$ donne $\sum k^{3}$ : chaque fois, le télescopage fournit $\sum k^{p}$ en fonction des sommes de puissances inférieures. Une récurrence sur $n$ convient tout aussi bien. $\bullet$ Somme géométrique : si $x\neq1$, $(1-x)\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\sum_{k=0}^{n}x^{k}-\sum_{j=1}^{n+1}x^{j}=1-x^{n+1}$ par télescopage ; on développe de même $(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}$ pour factoriser $a^{n}-b^{n}$.

4Sommes doubles

Théorème — interversion des sommations. Soient $I$ et $J$ deux ensembles finis et $\left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ une famille de réels. Alors

Autrement dit : on peut sommer les termes d’un tableau ligne par ligne ou colonne par colonne.

Propriété — produit de deux sommes. Pour deux familles finies $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ et $\left(b_{j}\right)_{j\in J}$,

Les deux indices doivent porter des noms différents : écrire $\left(\sum_{i}a_{i}\right)\left(\sum_{i}b_{i}\right)=\sum_{i}a_{i}b_{i}$ est faux.

Méthode — traiter une somme double. dessiner le domaine d’indices, puis choisir l’ordre de sommation pour lequel la somme intérieure se calcule. Si le terme général se factorise en $a_{i}b_{j}$ et si le domaine est un rectangle $I\times J$, la somme double est un produit de deux sommes simples.

5Factorielle et coefficients binomiaux

Définition. Pour $n\in\N$, $\ \displaystyle n!=\prod_{k=1}^{n}k$, avec $0!=1$ (produit vide). On a $(n+1)!=(n+1)\,n!$ pour tout $n\in\N$.

Définition. Pour $n\in\N$ et $k\in\Z$, le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est défini par

Cette convention est essentielle : elle rend toutes les formules valables sans discussion de bornes.

Propriété. Pour $n\in\N$ et $k\in\Z$ :

6Formule du binôme de Newton

Théorème — binôme de Newton. Pour tous $a,b\in\R$ et tout $n\in\N$,

la seconde écriture s’obtenant de la première par le changement d’indice $k\mapsto n-k$ et la symétrie des $\binom{n}{k}$.

Idée de preuve (exigible). Récurrence sur $n$ ; pour $n=0$ les deux membres valent $1$, et si la formule vaut au rang $n$,

en posant $j=k+1$ dans la première somme, le coefficient de $a^{j}b^{\,n+1-j}$ est $\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}=\binom{n+1}{j}$ par Pascal.

Propriété — conséquences. Pour tout $n\in\N$ et tout $x\in\R$ : $\ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}$, $\displaystyle(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}$, et $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}=0$ dès que $n\geq1$ (cette dernière somme vaut $1$ pour $n=0$).