Dérivabilité et convexité

Dans toute la fiche, $I$ désigne un intervalle de $\R$ d’intérieur non vide et $f$ une fonction définie sur $I$, à valeurs réelles sauf mention contraire.

1Dérivabilité en un point

Définition. Soit $a\in I$. Le taux d’accroissement de $f$ en $a$ est $\ \tau_{a}(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, défini sur $I\setminus\ens{a}$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque $\tau_{a}$ admet une limite finie en $a$ ; cette limite est le nombre dérivé $f'(a)=\frac{\dd f}{\dd x}(a)$, soit encore $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Théorème — caractérisation par un développement limité d’ordre $1$. $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $\ell$ si et seulement s’il existe $\varepsilon$ de limite nulle en $0$ telle que $\ f(a+h)=f(a)+\ell h+h\,\varepsilon(h)\$ pour tout $h$ tel que $a+h\in I$.

Propriété — dérivabilité $\Longrightarrow$ continuité. Si $f$ est dérivable en $a$, elle est continue en $a$. La réciproque est fausse : $x\mapsto\abs{x}$ en $0$. Idée de preuve (exigible) : $f(x)-f(a)=(x-a)\tau_{a}(x)\to0\times f'(a)=0$.

Définition. $f$ est dérivable à droite (resp. à gauche) en $a$ si $\tau_{a}$ a une limite finie à droite (resp. à gauche) en $a$ ; on la note $f'_{d}(a)$ (resp. $f'_{g}(a)$). Si $a$ est intérieur à $I$ : $f$ est dérivable en $a$ $\iff$ $f'_{g}(a)$ et $f'_{d}(a)$ existent et sont égales.

Notation — interprétations. Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe admet au point $A\left(a\,;f(a)\right)$ une tangente d’équation $\ y=f(a)+f'(a)(x-a)$, position limite des sécantes $(AM)$ quand $M\to A$. Si $f'_{g}(a)$ et $f'_{d}(a)$ existent et diffèrent, $A$ est un point anguleux (deux demi-tangentes). Si $\abs{\tau_{a}(x)}\to+\infty$, la courbe admet en $A$ une tangente verticale. En cinématique, $f'(t)$ est la vitesse instantanée.

Fig. 1 — Point anguleux : $\abs{x}$ en $0$, $f'_{g}=-1\neq1=f'_{d}$. Fig. 2 — Tangente verticale : $\sqrt{x}$ en $0$. Fig. 3 — Tangente : $x^{2}$ en $1$.

2Opérations. Dérivée d’une réciproque

Théorème. Soient $f,g$ dérivables en $a$ et $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$. Alors $(\lambda f+\mu g)'(a)=\lambda f'(a)+\mu g'(a)$ et $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$ ; si $g(a)\neq0$, $\left(\frac{1}{g}\right)'(a)=-\frac{g'(a)}{g(a)^{2}}$ et $\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^{2}}$. Enfin, si $f$ est dérivable en $a$ et $g$ dérivable en $f(a)$, la composée $g\circ f$ est dérivable en $a$ et $\ (g\circ f)'(a)=f'(a)\times g'\bigl(f(a)\bigr)$.

Théorème — dérivée d’une réciproque. Soit $f:I\to\R$ continue et strictement monotone, donc bijective de $I$ sur l’intervalle $J=f(I)$ ; soient $a\in I$ et $b=f(a)$. Si $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)\neq0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et

Si $f'(a)=0$, alors $f^{-1}$ n’est pas dérivable en $b$ : tangente verticale. En particulier, si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'$ ne s’annule pas, $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et $\left(f^{-1}\right)'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}$. Les deux courbes étant symétriques par rapport à la droite $y=x$, les pentes $m$ et $\frac{1}{m}$ se correspondent, et une tangente horizontale devient verticale.

3Extremum local et point critique

Définition. $f$ admet un maximum local en $a\in I$ s’il existe $\eta>0$ tel que $f(x)\leq f(a)$ pour tout $x\in I\cap\intff{a-\eta}{a+\eta}$ ; de même pour un minimum local. Un point critique est un point où $f'$ s’annule.

Théorème — condition nécessaire d’extremum. Si $a$ est intérieur à $I$, si $f$ est dérivable en $a$ et si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $f'(a)=0$. Idée de preuve : pour un maximum local, $\tau_{a}(x)\geq0$ si $x<a$ et $\tau_{a}(x)\leq0$ si $x>a$ (proches de $a$) ; le passage à la limite donne $f'(a)\geq0$ et $f'(a)\leq0$.

4Théorème de Rolle et accroissements finis

Théorème — Rolle. Soient $a<b$ et $f:\intff{a}{b}\to\R$ continue sur $\intff{a}{b}$, dérivable sur $\intoo{a}{b}$, avec $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c\in\intoo{a}{b}$ tel que $f'(c)=0$.

Idée de preuve (exigible). $f$ continue sur le segment $\intff{a}{b}$ y atteint ses bornes $m$ et $M$ (théorème des bornes atteintes). Si $m=M$, $f$ est constante et tout $c$ convient. Sinon, comme $f(a)=f(b)$ ne peut valoir à la fois $m$ et $M$, l’une des bornes est atteinte en un point $c$ intérieur : $f$ y a un extremum local, donc $f'(c)=0$.

Théorème — égalité des accroissements finis (EAF). Sous les mêmes hypothèses de continuité et de dérivabilité (sans supposer $f(a)=f(b)$), il existe $c\in\intoo{a}{b}$ tel que $\ f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a)$. Idée de preuve (exigible) : appliquer Rolle à $g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$, qui vérifie $g(a)=g(b)=0$.

Remarque. Géométriquement, il existe un point où la tangente est parallèle à la corde ; en cinématique, la vitesse instantanée égale au moins une fois la vitesse moyenne. Le réel $c$ n’est en général ni unique ni calculable : l’EAF est un théorème d’existence.

Théorème — inégalité des accroissements finis (IAF). Si $f$ est dérivable sur $I$ avec $\abs{f'}\leq K$, alors $\ \abs{f(x)-f(y)}\leq K\abs{x-y}$ pour tous $x,y\in I$ : $f$ est $K$-lipschitzienne. Plus précisément, si $m\leq f'\leq M$ sur $\intff{a}{b}$, alors $m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)$.

Définition. $f$ est lipschitzienne sur $I$ s’il existe $K\geq0$ tel que $\abs{f(x)-f(y)}\leq K\abs{x-y}$ pour tous $x,y\in I$ ; une telle fonction est continue. La réciproque de l’IAF est fausse : $x\mapsto\sqrt{x}$ est $\frac12$-lipschitzienne sur $\intfo{1}{+\infty}$ mais pas sur $\intff{0}{1}$, où sa dérivée n’est pas bornée.

Méthode — suites $u_{n+1}=f(u_{n})$. si $J\subset I$ est stable par $f$ et contient $u_{0}$, si $\ell\in J$ vérifie $f(\ell)=\ell$ et si $\abs{f'}\leq K$ sur $J$, l’IAF donne $\abs{u_{n+1}-\ell}=\abs{f(u_{n})-f(\ell)}\leq K\abs{u_{n}-\ell}$, d’où par récurrence $\ \abs{u_{n}-\ell}\leq K^{n}\abs{u_{0}-\ell}$. Si $K<1$, alors $u_{n}\to\ell$ à vitesse géométrique. Les trois vérifications — stabilité, point fixe, majoration de $\abs{f'}$ — sont indispensables.

5Monotonie et théorème de la limite de la dérivée

Théorème — caractérisation de la monotonie. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Alors : $f$ constante $\iff f'=0$ ; $f$ croissante $\iff f'\geq0$ ; $f$ décroissante $\iff f'\leq0$ ; $f$ strictement croissante $\iff$ $f'\geq0$ et $\ens{f'=0}$ ne contient aucun intervalle d’intérieur non vide. En particulier $f'>0$ sauf en un nombre fini de points entraîne la stricte croissance. Idée de preuve : le sens direct par le signe de $\tau_{a}$, la réciproque par l’EAF entre deux points $x<y$.

Théorème — limite de la dérivée. Soient $a\in I$ et $f$ continue sur $I$, dérivable sur $I\setminus\ens{a}$. On suppose que $f'(x)\xrightarrow[x\to a]{}\ell$.

• Si $\ell\in\R$ : $f$ est dérivable en $a$, $f'(a)=\ell$, et $f'$ est continue en $a$.
• Si $\ell=\pm\infty$ : $f$ n’est pas dérivable en $a$ et sa courbe y admet une tangente verticale.

Idée de preuve (exigible). Soit $x\in I\setminus\ens{a}$ : $f$ est continue sur le segment d’extrémités $a$ et $x$, dérivable à l’intérieur, donc l’EAF fournit $c_{x}$ strictement entre $a$ et $x$ avec $\tau_{a}(x)=f'(c_{x})$. Comme $\abs{c_{x}-a}\leq\abs{x-a}$, on a $c_{x}\to a$, donc $\tau_{a}(x)\to\ell$ par composition de limites.

6Classes $C^{k}$ et formule de Leibniz

Définition. On pose $f^{(0)}=f$ et $f^{(k+1)}=\left(f^{(k)}\right)'$ tant que cela a un sens. Pour $k\in\N$, $f$ est de classe $C^{k}$ sur $I$ si $f$ est $k$ fois dérivable et si $f^{(k)}$ est continue ; $f$ est $C^{\infty}$ si elle est $C^{k}$ pour tout $k$. Les inclusions $C^{\infty}(I)\subset\cdots\subset C^{1}(I)\subset C^{0}(I)$ sont strictes.

Théorème — opérations. $C^{k}(I)$ est stable par combinaison linéaire et par produit ; $\frac{f}{g}\in C^{k}$ si $g$ ne s’annule pas ; $g\circ f\in C^{k}$ si $f\in C^{k}(I)$, $f(I)\subset J$ et $g\in C^{k}(J)$ ; si $f\in C^{k}(I)$ ($k\geq1$) est bijective sur $J$ et si $f'$ ne s’annule pas, $f^{-1}\in C^{k}(J)$. Les démonstrations relatives à la composée et à la réciproque ne sont pas exigibles.

Théorème — formule de Leibniz. Si $f$ et $g$ sont $n$ fois dérivables sur $I$, alors $fg$ l’est et

Idée de preuve (exigible) : récurrence sur $n$, le cas $n=1$ étant la dérivée d’un produit ; l’hérédité regroupe les termes grâce à la relation de Pascal $\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$ — c’est le mécanisme de la formule du binôme.

Méthode — dérivée $n$-ième. chercher un produit d’un polynôme de degré petit par une fonction dont on connaît toutes les dérivées : la somme de Leibniz est alors finie. Sinon, calculer $f'$, $f''$, $f'''$, conjecturer, démontrer par récurrence.

Propriété — formulaire. $\left(\e^{\lambda x}\right)^{(n)}=\lambda^{n}\e^{\lambda x}$ ($\lambda\in\C$) ; $\left(\dfrac{1}{x-\alpha}\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^{n}n!}{(x-\alpha)^{n+1}}$ ; $\left(\ln x\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}$ ($n\geq1$) ; $\left(x^{m}\right)^{(n)}=\dfrac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$ si $n\leq m$ et $0$ si $n>m$ ; $\cos^{(n)}(x)=\cos\!\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$, $\sin^{(n)}(x)=\sin\!\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$.

7Fonctions à valeurs complexes

Définition. $f:I\to\C$ est dérivable en $a$ si $\Ree f$ et $\Imm f$ le sont, et alors $f'(a)=(\Ree f)'(a)+i(\Imm f)'(a)$ ; c’est équivalent à l’existence dans $\C$ de $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Les classes $C^{k}$ se définissent de même. Les formules de dérivation d’une combinaison linéaire (à coefficients complexes), d’un produit, d’un quotient et la formule de Leibniz restent valables, et $\left(\e^{\varphi}\right)'=\varphi'\e^{\varphi}$ pour $\varphi:I\to\C$ dérivable.

8Fonctions convexes

Définition. $f:I\to\R$ est convexe si $\ \forall(x,y)\in I^{2},\ \forall\lambda\in\intff{0}{1},\ f\bigl((1-\lambda)x+\lambda y\bigr)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$ ; elle est concave si $-f$ est convexe. Géométriquement : sur $\intff{x}{y}$, la courbe est en dessous de la corde joignant les points d’abscisses $x$ et $y$.

Théorème — inégalité de Jensen. Si $f$ est convexe sur $I$, pour tous $x_{1},\dots,x_{n}\in I$ et $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\in\R_{+}$ de somme $1$ :

Idée de preuve (exigible). Récurrence sur $n$ : si $\lambda_{n+1}\neq1$, écrire $\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_{i}x_{i}=(1-\lambda_{n+1})y+\lambda_{n+1}x_{n+1}$ avec $y=\sum_{i=1}^{n}\frac{\lambda_{i}}{1-\lambda_{n+1}}x_{i}\in I$, appliquer la définition puis l’hypothèse de récurrence à $y$.

Théorème — croissance des pentes. $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si, pour tout $a\in I$, la pente $\tau_{a}:x\mapsto\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est croissante sur $I\setminus\ens{a}$. D’où l’inégalité des trois pentes : pour $x<y<z$ dans $I$,

Théorème — cas dérivable. Soit $f$ dérivable sur $I$. Sont équivalents : (i) $f$ est convexe ; (ii) $f'$ est croissante sur $I$ ; (iii) la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, c’est-à-dire $f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a)$ pour tous $a,x\in I$. Si $f$ est deux fois dérivable : $f$ convexe $\iff f''\geq0$ sur $I$.

Idée de preuve de (i) $\Rightarrow$ (iii) (exigible). Par croissance des pentes, pour $x>a$ : $\tau_{a}(x)\geq\lim_{t\to a^{+}}\tau_{a}(t)=f'(a)$, d’où $f(x)-f(a)\geq f'(a)(x-a)$ ; pour $x<a$ l’inégalité entre pentes est inversée, mais $x-a<0$ la retourne : même conclusion.

Notation. À retenir : une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses cordes. Cela fournit deux familles d’inégalités, l’une locale (tangentes), l’autre globale (cordes, Jensen).

Définition. Soit $f$ dérivable sur $I$ et $a$ intérieur à $I$. Le point $A\left(a\,;f(a)\right)$ est un point d’inflexion si $f$ change de convexité en $a$ ; la courbe y traverse sa tangente. Si $f$ est deux fois dérivable, cela équivaut à un changement de signe de $f''$ en $a$ ; en particulier $f''(a)=0$, condition nécessaire non suffisante ($x\mapsto x^{4}$ en $0$).

Fig. 4 — $\exp$ est convexe : sous ses cordes, au-dessus de ses tangentes. Fig. 5 — $x\mapsto\frac{x^{3}}{3}$ : inflexion en $0$, où $f''$ change de signe.