Espaces vectoriels

Dans toute la fiche, $\mathbb{K}$ désigne $\R$ ou $\C$, les lettres $n$, $p$ des entiers naturels non nuls, et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. La dimension finie, le rang et les applications linéaires font l’objet du chapitre 17 : aucun énoncé de cette fiche ne les utilise. Les espaces de dimension infinie n’y apparaissent qu’à travers les exemples $\mathbb{K}[X]$, $\mathbb{K}^{\N}$ et les espaces de fonctions, sans aucune étude générale.

1Structure de $\mathbb{K}$-espace vectoriel

Définition. Un $\mathbb{K}$-espace vectoriel est un ensemble $E$ muni d’une loi interne $+$ et d’une loi externe $\cdot:\mathbb{K}\times E\to E$ telles que $(E,+)$ soit un groupe abélien et que, pour tous $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ et $x,y\in E$,

Les éléments de $E$ sont les vecteurs, ceux de $\mathbb{K}$ les scalaires ; le neutre de $(E,+)$ est noté $0_{E}$. On écrit $\lambda x$ pour $\lambda\cdot x$.

Propriété — règles de calcul. Pour $\lambda\in\mathbb{K}$ et $x\in E$ : $\ 0_{\mathbb{K}}\,x=0_{E}$, $\ \lambda\,0_{E}=0_{E}$, $\ (-1)x=-x$, et

Idée de preuve. $0_{\mathbb{K}}x=(0_{\mathbb{K}}+0_{\mathbb{K}})x=0_{\mathbb{K}}x+0_{\mathbb{K}}x$, d’où $0_{\mathbb{K}}x=0_{E}$ en simplifiant dans le groupe $(E,+)$ ; si $\lambda x=0_{E}$ avec $\lambda\neq0$, alors $x=1\cdot x=(\lambda^{-1}\lambda)x=\lambda^{-1}(\lambda x)=0_{E}$ — c’est ici qu’on utilise que $\mathbb{K}$ est un corps.

Définition. Une famille $(\lambda_{i})_{i\in I}$ de scalaires est presque nulle (ou à support fini) lorsque $\ens{i\in I,\ \lambda_{i}\neq0}$ est fini. Pour une famille $(x_{i})_{i\in I}$ de vecteurs de $E$, on appelle combinaison linéaire de cette famille tout vecteur $\sum_{i\in I}\lambda_{i}x_{i}$, où $(\lambda_{i})_{i\in I}$ est une famille presque nulle de scalaires — la somme ne portant en réalité que sur l’ensemble fini des indices $i$ tels que $\lambda_{i}\neq0$. Pour une famille finie $(x_{1},\dots,x_{p})$ c’est simplement $\sum_{k=1}^{p}\lambda_{k}x_{k}$, sans condition. Par convention, la combinaison linéaire de la famille vide est $0_{E}$.

2Sous-espaces vectoriels

Définition. Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ lorsque $F$ est non vide et stable par $+$ et par la loi externe. Un sous-espace vectoriel, muni des lois induites, est lui-même un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ; c’est de très loin la façon la plus économique de prouver qu’un ensemble est un espace vectoriel.

Théorème — caractérisation d’un sous-espace vectoriel. Soit $F\subset E$. Alors

La condition « $0_{E}\in F$ » peut être remplacée par « $F\neq\varnothing$ », et la seconde par « $\forall\lambda\in\mathbb{K}$, $\forall(x,y)\in F^{2}$, $x+\lambda y\in F$ ».

Idée de preuve (exigible). Si $F$ est un sous-espace, il est non vide : il contient un $x$, donc $0_{E}=0_{\mathbb{K}}x$, et la stabilité donne $\lambda x+\mu y\in F$. Réciproquement, $0_{E}\in F$ donne $F\neq\varnothing$, et les choix $(\lambda,\mu)=(1,1)$ puis $(\lambda,\mu)=(\lambda,0)$ donnent les deux stabilités.

Méthode — rédaction type. pour montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel : (i) dire de quel espace $E$ on prétend que $F$ est un sous-espace, et vérifier $F\subset E$ ; (ii) vérifier $0_{E}\in F$ ; (iii) prendre $x,y\in F$ et $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ quelconques, et montrer $\lambda x+\mu y\in F$ en revenant à la condition qui définit $F$. Conclure.

Théorème — intersection. Si $(F_{i})_{i\in I}$ est une famille quelconque non vide de sous-espaces vectoriels de $E$, alors $\bigcap_{i\in I}F_{i}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Idée de preuve. $0_{E}$ appartient à chaque $F_{i}$ donc à l’intersection ; si $x,y$ sont dans l’intersection et $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$, alors $\lambda x+\mu y\in F_{i}$ pour chaque $i$, donc dans l’intersection.

Propriété — systèmes linéaires homogènes. Pour $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, l’ensemble $\ens{X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}),\ AX=0}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})$ : l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à $p$ inconnues est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^{p}$, dont la méthode du pivot fournit une famille génératrice explicite.

3Sous-espace engendré par une partie

Théorème — et définition. Soit $A$ une partie de $E$. L’ensemble $\operatorname{Vect}(A)=\left\{\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}a_{k},\ m\in\N,\ \lambda_{k}\in\mathbb{K},\ a_{k}\in A\right\}$ des combinaisons linéaires d’éléments de $A$ (avec $\operatorname{Vect}(\varnothing)=\ens{0_{E}}$, cas $m=0$) est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $A$, et c’est le plus petit : pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$,

On l’appelle sous-espace engendré par $A$. C’est aussi l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de $E$ contenant $A$.

Idée de preuve (exigible). $\operatorname{Vect}(A)$ contient $0_{E}$ et est stable par combinaison linéaire (concaténer deux combinaisons linéaires en donne une troisième) : c’est un sous-espace, et il contient $A$ (cas $m=1$, $\lambda_{1}=1$). Si $F$ est un sous-espace contenant $A$, une récurrence sur $m$ donne $\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}a_{k}\in F$, d’où $\operatorname{Vect}(A)\subset F$. Ainsi $\operatorname{Vect}(A)$ est l’un des sous-espaces contenant $A$ et est inclus dans tous les autres : c’est leur intersection.

Notation. Pour une famille, on note $\operatorname{Vect}\left((x_{i})_{i\in I}\right)$, et $\operatorname{Vect}(x_{1},\dots,x_{p})=\ens{\lambda_{1}x_{1}+\cdots+\lambda_{p}x_{p},\ (\lambda_{1},\dots,\lambda_{p})\in\mathbb{K}^{p}}$ dans le cas fini.

Propriété. Pour $A,B\subset E$ : $\ A\subset B\implies\operatorname{Vect}(A)\subset\operatorname{Vect}(B)$ ; $\ \operatorname{Vect}\bigl(\operatorname{Vect}(A)\bigr)=\operatorname{Vect}(A)$ ; $\ A$ est un sous-espace vectoriel $\iff\operatorname{Vect}(A)=A$ ; enfin $\operatorname{Vect}(A\cup B)=\operatorname{Vect}(A)+\operatorname{Vect}(B)$.

Méthode — montrer $\operatorname{Vect}(\mathcal{F})=\operatorname{Vect}(\mathcal{G})$. double inclusion, chacune par le théorème ci-dessus : il suffit de vérifier que chaque vecteur de $\mathcal{F}$ est combinaison linéaire de $\mathcal{G}$, et réciproquement. On ne vérifie jamais l’égalité « élément par élément ».

Propriété — opérations qui ne changent pas le $\operatorname{Vect}$. On ne modifie pas $\operatorname{Vect}(x_{1},\dots,x_{p})$ en permutant deux vecteurs, en multipliant l’un d’eux par un scalaire non nul, en lui ajoutant une combinaison linéaire des autres, ou en supprimant un vecteur combinaison linéaire des autres.

4Familles génératrices, familles libres, bases

Définition. Une famille $(x_{i})_{i\in I}$ de vecteurs de $E$ est génératrice de $E$ lorsque $\operatorname{Vect}\left((x_{i})_{i\in I}\right)=E$, c’est-à-dire lorsque tout vecteur de $E$ est combinaison linéaire de la famille. On dit aussi qu’elle engendre $E$.

Définition. Une famille finie $(x_{1},\dots,x_{p})$ est libre lorsque

Elle est liée dans le cas contraire, c’est-à-dire s’il existe une relation linéaire non triviale entre ses vecteurs. Une famille quelconque $(x_{i})_{i\in I}$ est libre lorsque toute sous-famille finie est libre ; de façon équivalente, lorsque la seule famille presque nulle $(\lambda_{i})_{i\in I}$ telle que $\sum_{i\in I}\lambda_{i}x_{i}=0_{E}$ est la famille nulle.

Remarque — cas limites. la famille vide est libre et engendre $\ens{0_{E}}$ ; $(x)$ est libre $\iff x\neq0_{E}$ ; $(x,y)$ est liée $\iff$ $x$ et $y$ sont colinéaires ; toute famille contenant $0_{E}$ ou deux fois le même vecteur est liée ; toute sous-famille d’une famille libre est libre.

Propriété — ajout d’un vecteur à une famille libre. Soient $(x_{1},\dots,x_{p})$ une famille libre de $E$ et $x\in E$. Alors

Idée de preuve. Si $x=\sum\mu_{k}x_{k}$, la relation $\sum\mu_{k}x_{k}-x=0$ est non triviale : la famille est liée. Réciproquement, d’une relation $\sum\lambda_{k}x_{k}+\lambda x=0$ on tire, si $\lambda\neq0$, que $x\in\operatorname{Vect}(x_{1},\dots,x_{p})$ ; donc $\lambda=0$, puis tous les $\lambda_{k}$ sont nuls par liberté.

Théorème — polynômes de degrés distincts. Toute famille finie de polynômes non nuls de $\mathbb{K}[X]$ de degrés deux à deux distincts est libre.

Idée de preuve (exigible). Soient $P_{1},\dots,P_{m}$ non nuls de degrés deux à deux distincts et $\lambda_{1}P_{1}+\cdots+\lambda_{m}P_{m}=0$ avec les $\lambda_{k}$ non tous nuls. Soit $k_{0}$ l’indice, parmi ceux tels que $\lambda_{k}\neq0$, pour lequel $\deg P_{k}$ est maximal : il est unique puisque les degrés sont distincts. Le coefficient de $X^{\deg P_{k_{0}}}$ dans la somme vaut alors $\lambda_{k_{0}}\times(\text{coefficient dominant de } P_{k_{0}})\neq0$, ce qui contredit la nullité du polynôme. Donc tous les $\lambda_{k}$ sont nuls.

Définition. Une base de $E$ est une famille à la fois libre et génératrice de $E$.

Théorème — coordonnées. Une famille $\mathcal{B}=(e_{i})_{i\in I}$ de $E$ est une base de $E$ si et seulement si tout vecteur $x$ de $E$ s’écrit d’une unique manière $x=\sum_{i\in I}\lambda_{i}e_{i}$ avec $(\lambda_{i})_{i\in I}$ presque nulle. Les scalaires $\lambda_{i}$ sont les coordonnées de $x$ dans $\mathcal{B}$.

Idée de preuve (exigible). L’existence de l’écriture pour tout $x$ est exactement le caractère générateur. Son unicité équivaut à la liberté : deux écritures d’un même $x$ diffèrent par une relation linéaire nulle, et réciproquement une relation linéaire non triviale fournit deux écritures distinctes de $0_{E}$.

Théorème — bases de degrés échelonnés. Soient $n\in\N$ et $P_{0},\dots,P_{n}$ des polynômes de $\mathbb{K}[X]$ tels que $\deg P_{k}=k$ pour tout $k\in\intent{0}{n}$. Alors $(P_{0},\dots,P_{n})$ est une base de $\mathbb{K}_{n}[X]$.

Idée de preuve. La famille est libre (degrés deux à deux distincts, polynômes non nuls). Pour le caractère générateur, on montre par récurrence sur $m\in\intent{0}{n}$ que $\mathbb{K}_{m}[X]\subset\operatorname{Vect}(P_{0},\dots,P_{m})$ : si $\deg Q\leq m$ et si $a$ est le coefficient de $X^{m}$ dans $Q$, le polynôme $Q-\frac{a}{c_{m}}P_{m}$ (où $c_{m}\neq0$ est le coefficient dominant de $P_{m}$) est de degré $\leq m-1$.

5Somme de deux sous-espaces, somme directe

Définition. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Leur somme est

Propriété. $F+G$ est un sous-espace vectoriel de $E$, et c’est le plus petit sous-espace contenant $F\cup G$ : $F+G=\operatorname{Vect}(F\cup G)$. De plus $F+G=F\iff G\subset F$. Si $F=\operatorname{Vect}(\mathcal{F})$ et $G=\operatorname{Vect}(\mathcal{G})$, alors $F+G=\operatorname{Vect}(\mathcal{F}\cup\mathcal{G})$ : on obtient une famille génératrice de la somme en concaténant des familles génératrices.

Définition. La somme $F+G$ est directe lorsque tout vecteur de $F+G$ s’écrit d’une unique manière $x+y$ avec $x\in F$ et $y\in G$. On note alors $F\oplus G$.

Théorème — caractérisation d’une somme directe. $\ \boxed{F+G \text{ est directe}\iff F\cap G=\ens{0_{E}}.}$

Idée de preuve (exigible). Si la somme est directe et $z\in F\cap G$, alors $z=z+0_{E}=0_{E}+z$ sont deux décompositions de $z$ : l’unicité impose $z=0_{E}$. Réciproquement, si $F\cap G=\ens{0_{E}}$ et $x+y=x'+y'$ avec $x,x'\in F$, $y,y'\in G$, alors $x-x'=y'-y$ appartient à $F$ et à $G$, donc est nul.

Définition. On dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ lorsque $E=F\oplus G$, c’est-à-dire

Méthode — montrer que $E=F\oplus G$. deux rédactions. (1) Par les deux conditions : montrer $F\cap G=\ens{0_{E}}$ (prendre $z\in F\cap G$ et montrer $z=0$), puis $F+G=E$ (partir de $x\in E$ et construire une décomposition). (2) Par analyse-synthèse : soit $x\in E$ ; on suppose $x=u+v$ avec $u\in F$, $v\in G$, on en déduit les seules valeurs possibles de $u$ et $v$ (unicité), puis on vérifie qu’elles conviennent (existence). La seconde donne les deux conditions d’un coup et fournit la décomposition explicite.