Déterminants

$\mathbb{K}$ désigne $\R$ ou $\C$. Dans toute la fiche, $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq1$, et $e=(e_{1},\dots,e_{n})$ une base de $E$. On note $\varepsilon(\sigma)$ la signature d’une permutation $\sigma\in\mathfrak{S}_{n}$ (chapitre 19). L’existence du déterminant est admise ; tout le reste est démontré.

1Formes $n$-linéaires alternées

Définition. Une application $f:E^{n}\to\mathbb{K}$ est $n$-linéaire si elle est linéaire en chacune de ses $n$ variables, les autres étant fixées. Elle est alternée si elle s’annule dès que deux de ses variables sont égales, et antisymétrique si l’échange de deux variables change son signe. On note $\Lambda_{n}(E)$ l’ensemble des formes $n$-linéaires alternées sur $E$.

Théorème — propriétés d’une forme $n$-linéaire alternée. Soit $f\in\Lambda_{n}(E)$ et $(x_{1},\dots,x_{n})\in E^{n}$.

Idée de preuve (exigible). Antisymétrie : en développant $f(\dots,x_{i}+x_{j},\dots,x_{i}+x_{j},\dots)=0$ par bilinéarité en ces deux places, les deux termes « diagonaux » sont nuls, d’où $f(\dots,x_{i},\dots,x_{j},\dots)=-f(\dots,x_{j},\dots,x_{i},\dots)$ ; le cas général suit en décomposant $\sigma$ en transpositions, $\varepsilon$ étant un morphisme. Famille liée : si $x_{i}=\sum_{j\neq i}\lambda_{j}x_{j}$, la linéarité en la $i$-ième place donne une somme de termes ayant deux variables égales. Invariance : même argument, le terme $\lambda f(\dots,x_{j},\dots)$ ayant deux variables égales.

Remarque. Une forme $n$-linéaire n’est pas linéaire : $f(\lambda x_{1},\dots,\lambda x_{n})=\lambda^{n}f(x_{1},\dots,x_{n})$. Ici « alternée » et « antisymétrique » sont équivalentes car $\mathbb{K}$ est $\R$ ou $\C$ (donc $2\neq0$).

2Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base

Théorème — existence et unicité. Il existe une unique forme $n$-linéaire alternée $f$ sur $E$ telle que $f(e_{1},\dots,e_{n})=1$ ; on la note $\det\nolimits_{e}$. De plus

L’existence est admise (elle n’est pas exigible) ; l’unicité et le fait que $\Lambda_{n}(E)$ soit une droite vectorielle se démontrent.

Idée de preuve de l’unicité (exigible). Soit $f\in\Lambda_{n}(E)$. En écrivant $x_{j}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}e_{i}$ et en développant par $n$-linéarité, on obtient une somme sur toutes les applications $\varphi:\intent{1}{n}\to\intent{1}{n}$ ; les termes où $\varphi$ n’est pas injective ont deux variables égales, donc sont nuls, et il ne reste que les $\varphi=\sigma\in\mathfrak{S}_{n}$, pour lesquelles $f\bigl(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)}\bigr)=\varepsilon(\sigma)f(e_{1},\dots,e_{n})$ :

Ainsi $f$ est entièrement déterminée par le scalaire $f(e_{1},\dots,e_{n})$, ce qui donne à la fois l’unicité et $f=f(e)\,\det\nolimits_{e}$.

Propriété — expression en coordonnées. Avec $x_{j}=\sum_{i}a_{ij}e_{i}$ : $\ \det\nolimits_{e}(x_{1},\dots,x_{n})=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j)j}$. Cette formule a $n!$ termes : elle sert à démontrer, jamais à calculer dès que $n\geq4$.

3Déterminant d’un endomorphisme

Définition — et théorème. Pour $u\in\mathcal{L}(E)$, le scalaire $\det\nolimits_{e}\bigl(u(e_{1}),\dots,u(e_{n})\bigr)$ ne dépend pas de la base $e$ choisie : on l’appelle déterminant de $u$, noté $\det u$.

Idée de preuve. $f:(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\det\nolimits_{e}\bigl(u(x_{1}),\dots,u(x_{n})\bigr)$ est $n$-linéaire alternée, donc $f=f(e)\,\det\nolimits_{e}$ ; en évaluant en $e'$ et en utilisant $\det\nolimits_{e'}=\det\nolimits_{e'}(e)\,\det\nolimits_{e}$, on obtient $\det\nolimits_{e'}\bigl(u(e'_{j})\bigr)=f(e)$.

Propriété. Pour $u,v\in\mathcal{L}(E)$, $\lambda\in\mathbb{K}$ et $(x_{1},\dots,x_{n})\in E^{n}$ :

Idée de preuve. La composée s’obtient en appliquant deux fois le premier point : $\det(v\circ u)\det\nolimits_{e}(x)=\det\nolimits_{e}\bigl(v(u(x_{i}))\bigr)=\det(v)\,\det\nolimits_{e}\bigl(u(x_{i})\bigr)=\det v\det u\,\det\nolimits_{e}(x)$, et l’on évalue en $x=e$. Pour l’équivalence : $u\in\mathrm{GL}(E)$ si et seulement si $\bigl(u(e_{1}),\dots,u(e_{n})\bigr)$ est une base, c’est-à-dire si et seulement si $\det\nolimits_{e}\bigl(u(e_{1}),\dots\bigr)=\det u\neq0$.

Remarque. Dans une base adaptée : $\det(\lambda\,\operatorname{id}_{E})=\lambda^{n}$ ; un projecteur de rang $r$ avec $0<r<n$ a un déterminant nul ; la symétrie associée à $E=F\oplus G$ a pour déterminant $(-1)^{\dim G}$.

4Déterminant d’une matrice carrée

Définition. Pour $A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$, $\det A$ est le déterminant de la famille des colonnes de $A$ dans la base canonique de $\mathbb{K}^{n}$ ; on le note aussi entre barres verticales, et $\ \det A=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j)j}$. Si $u\in\mathcal{L}(E)$ a pour matrice $A$ dans une base $e$, alors $\det u=\det A$ ; si $(x_{1},\dots,x_{n})$ a pour matrice $A$ dans $e$, alors $\det\nolimits_{e}(x_{1},\dots,x_{n})=\det A$.

Théorème — propriétés. Pour $A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et $\lambda\in\mathbb{K}$ :

Idée de preuve (exigible). $\det(AB)$ : $AB$ est la matrice de $u\circ v$, où $u,v$ sont les endomorphismes de $\mathbb{K}^{n}$ canoniquement associés, et l’on applique $\det(u\circ v)=\det u\det v$. $\det{}^{t}\!A=\det A$ : dans la somme sur $\mathfrak{S}_{n}$, le changement d’indice $\sigma\mapsto\sigma^{-1}$ est une bijection, $\varepsilon(\sigma^{-1})=\varepsilon(\sigma)$ et $\prod_{j}a_{j\sigma(j)}=\prod_{i}a_{\sigma^{-1}(i)i}$. Le caractère alterné en lignes s’en déduit.

5Calcul pratique d’un déterminant

Propriété — petites tailles. $\ \begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=ad-bc$, et $\ \begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi$ (règle de Sarrus : les trois « diagonales descendantes » moins les trois « montantes », valable uniquement pour $n=3$).

Propriété — matrice triangulaire. Le déterminant d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), en particulier diagonale, est le produit de ses coefficients diagonaux ; elle est donc inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

Théorème — effet des opérations élémentaires. Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ de déterminant $D$. Les trois opérations élémentaires, sur les lignes comme sur les colonnes, transforment $D$ ainsi :

Définition. Pour $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ ($n\geq2$), on note $A_{ij}\in\mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{K})$ la matrice obtenue en supprimant la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne. Le cofacteur de $A$ en position $(i,j)$ est $\ c_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}$.

Théorème — développement selon une ligne ou une colonne. Pour $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ ($n\geq2$), et pour toute colonne $j$ et toute ligne $i$ fixées : $\ \det A=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}\,c_{kj}$ (développement selon la colonne $j$) et $\det A=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\,c_{ik}$ (selon la ligne $i$). Les signes $(-1)^{i+j}$ se disposent en damier, en commençant par $+$ en haut à gauche.

Méthode — calculer un déterminant. (1) développer selon une ligne ou une colonne riche en zéros ; (2) sinon en créer par des $L_{i}\leftarrow L_{i}+\lambda L_{j}$ (qui ne changent rien), puis développer ; (3) ou trianguler par le pivot, en comptant les échanges et les facteurs sortis. Penser à factoriser une ligne ou une colonne, et à exploiter la structure.

6Déterminants classiques

Théorème — déterminant de Vandermonde. Pour $x_{1},\dots,x_{n}\in\mathbb{K}$, le déterminant de la matrice $\bigl(x_{j}^{\,i-1}\bigr)_{1\leq i,j\leq n}$ vaut

qui est non nul si et seulement si les $x_{i}$ sont deux à deux distincts.

Idée de preuve (exigible). Récurrence sur $n$ : on effectue $L_{k}\leftarrow L_{k}-x_{1}L_{k-1}$ pour $k$ de $n$ à $2$ (dans cet ordre), ce qui met ${}^{t}\!(1,0,\dots,0)$ en première colonne et $x_{j}^{k-2}(x_{j}-x_{1})$ en position $(k,j)$ ; on développe selon la première colonne, puis on factorise $(x_{j}-x_{1})$ dans chaque colonne $j\geq2$ : il reste $\prod_{j=2}^{n}(x_{j}-x_{1})\,V(x_{2},\dots,x_{n})$.

Remarque — lien avec les polynômes de Lagrange. Pour des $x_{i}$ distincts, $V\neq0$ traduit que $P\mapsto\bigl(P(x_{1}),\dots,P(x_{n})\bigr)$ est un isomorphisme de $\mathbb{K}_{n-1}[X]$ sur $\mathbb{K}^{n}$ : c’est l’interpolation de Lagrange.

Propriété — déterminant tridiagonal. Si $D_{n}$ est le déterminant de la matrice $n\times n$ de diagonale $a$, de sur-diagonale $b$ et de sous-diagonale $c$ (zéros ailleurs), alors, en développant selon la première colonne puis la première ligne du cofacteur obtenu,

On conclut avec la théorie des suites récurrentes linéaires d’ordre $2$.

Méthode — déterminant dont toutes les lignes ont la même somme. faire $C_{1}\leftarrow C_{1}+C_{2}+\dots+C_{n}$ pour faire apparaître une colonne constante, la factoriser, puis créer des zéros par $L_{i}\leftarrow L_{i}-L_{1}$. Exemple : le déterminant de diagonale $a$ et de coefficients $b$ ailleurs vaut $(a-b)^{n-1}\bigl(a+(n-1)b\bigr)$.

7Comatrice et inverse

Définition. La comatrice de $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ ($n\geq2$) est la matrice de ses cofacteurs : $\mathrm{Com}(A)=\bigl(c_{ij}\bigr)_{1\leq i,j\leq n}$ avec $c_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}$.

Théorème. Pour toute $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ : $\ \boxed{A\times{}^{t}\!\mathrm{Com}(A)={}^{t}\!\mathrm{Com}(A)\times A=\det(A)\,I_{n}.}$ Par conséquent, si $A$ est inversible,

Idée de preuve (exigible). Le coefficient $(i,i)$ de $A\,{}^{t}\!\mathrm{Com}(A)$ est $\sum_{j}a_{ij}c_{ij}=\det A$ : c’est le développement selon la ligne $i$. Pour $i\neq k$, le coefficient $(i,k)$ est $\sum_{j}a_{ij}c_{kj}$ : c’est le développement, selon la ligne $k$, du déterminant de la matrice obtenue à partir de $A$ en remplaçant la ligne $k$ par la ligne $i$ — matrice ayant deux lignes égales, donc de déterminant nul.

Remarque. En taille $2$, $A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ donne $\mathrm{Com}(A)=\begin{pmatrix}d&-c\\ -b&a\end{pmatrix}$, d’où la formule connue $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$. Dès $n=3$, la comatrice est un outil théorique : le pivot de Gauss est bien plus rapide pour inverser.

8Systèmes de Cramer

Définition. Un système de Cramer est un système linéaire $AX=B$ de $n$ équations à $n$ inconnues dont la matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ est inversible, c’est-à-dire $\det A\neq0$. Il admet alors une unique solution.

Théorème — formules de Cramer. Si $\det A\neq0$, l’unique solution de $AX=B$ a pour coordonnées $\ x_{j}=\dfrac{\det A_{j}^{\,B}}{\det A}$ pour $j\in\intent{1}{n}$, où $A_{j}^{\,B}$ est obtenue en remplaçant la $j$-ième colonne de $A$ par $B$.

Idée de preuve. Le système s’écrit $\sum_{k}x_{k}C_{k}=B$ ($C_{k}$ : colonnes de $A$). En remplaçant $B$ par cette somme dans $\det A_{j}^{\,B}$ et en développant par linéarité en la $j$-ième place, les termes $k\neq j$ ont deux colonnes égales : il reste $x_{j}\det A$.

Remarque. Ces formules servent à discuter (dépendance en un paramètre, caractère entier d’une solution), pas à calculer : un système $4\times4$ demanderait cinq déterminants d’ordre $4$.