Séries et familles sommables

1Séries numériques : vocabulaire et premiers théorèmes

Définition. Soit $(u_{n})_{n\in\N}$ une suite d’éléments de $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$. La série de terme général $u_{n}$, notée $\sum u_{n}$, est la donnée de la suite $(S_{n})$ de ses sommes partielles $S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}$. Elle converge si $(S_{n})$ converge ; sa limite est alors sa somme $\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}$, et $R_{n}=S-S_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}$ est son reste d’ordre $n$ (qui tend vers $0$). Sinon elle diverge. La nature d’une série est le fait qu’elle converge ou qu’elle diverge.

Notation. Si $(u_{n})$ n’est définie qu’à partir de $n_{0}$, on note $\sum_{n\geq n_{0}}u_{n}$. Modifier un nombre fini de termes ne change pas la nature de la série (mais change la somme).

Propriété — linéarité. Si $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ convergent et si $(\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^{2}$, alors $\sum(\lambda u_{n}+\mu v_{n})$ converge, de somme $\lambda\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}+\mu\sum_{n=0}^{+\infty}v_{n}$. Si $\sum u_{n}$ converge et $\sum v_{n}$ diverge, $\sum(u_{n}+v_{n})$ diverge (la somme de deux séries divergentes est de nature indéterminée). Pour $u_{n}\in\C$, $\sum u_{n}$ converge si et seulement si $\sum\Ree(u_{n})$ et $\sum\Imm(u_{n})$ convergent, et alors $\Ree\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\Ree(u_{n})$.

Théorème — condition nécessaire. Si $\sum u_{n}$ converge, alors $u_{n}\to0$. Par contraposée, si $(u_{n})$ ne tend pas vers $0$, $\sum u_{n}$ diverge : on dit qu’elle diverge grossièrement. Idée de preuve (exigible) : $u_{n}=S_{n}-S_{n-1}\to S-S=0$.

Remarque. La réciproque est fausse : $\frac1n\to0$ et $\sum\frac1n$ diverge. Ce critère ne démontre jamais une convergence.

Théorème — lien suite-série. Soit $(a_{n})$ une suite de $\mathbb{K}$. La suite $(a_{n})$ converge si et seulement si la série télescopique $\sum\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ converge, et alors $\sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=\lim a_{n}-a_{0}$. Idée de preuve (exigible) : $\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)=a_{n+1}-a_{0}$ (télescopage) ; les suites $(S_{n})$ et $(a_{n+1})$ ne diffèrent que de la constante $a_{0}$.

Méthode — deux lectures d’un même énoncé. pour étudier une suite, étudier la série de ses accroissements ; pour sommer une série, chercher à écrire $u_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ (télescopage).

2Les séries de référence

Théorème — série géométrique. Soit $q\in\C$. La série $\sum q^{n}$ converge si et seulement si $\abs{q}<1$, et alors

Idée de preuve (exigible). Si $q\neq1$, $S_{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ et $q^{n}\to0$ dès que $\abs{q}<1$ ; si $\abs{q}\geq1$, $\abs{q^{n}}\geq1$ ne tend pas vers $0$ (divergence grossière), et $S_{n}=n+1$ si $q=1$.

Théorème — séries de Riemann. Soit $\alpha\in\R$. La série $\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha>1$. En particulier la série harmonique $\sum\frac1n$ diverge et $\sum\frac{1}{n^{2}}$ converge. Démonstration exigible, par la méthode des rectangles (ci-dessous).

Théorème — exponentielle. Pour tout $z\in\C$, $\sum\frac{z^{n}}{n!}$ est absolument convergente et $\ \boxed{\e^{z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^{n}}{n!}}$

Idée de preuve. Convergence absolue : pour $n\geq N\geq2\abs{z}$ on a $\frac{\abs{z}^{n+1}}{(n+1)!}\leq\frac12\frac{\abs{z}^{n}}{n!}$, donc $\frac{\abs{z}^{n}}{n!}\leq\frac{\abs{z}^{N}}{N!}2^{N-n}$ : domination par une série géométrique. Somme : la formule de Taylor avec reste intégral (chapitre 21) appliquée à $g:t\mapsto\e^{tz}$ sur $\intff{0}{1}$, de classe $C^{\infty}$ avec $g^{(k)}(t)=z^{k}\e^{tz}$, donne $\e^{z}-\sum_{k=0}^{n}\frac{z^{k}}{k!}=\frac{z^{n+1}}{n!}\int_{0}^{1}(1-t)^{n}\e^{tz}\dd t$, de module majoré par $\frac{\abs{z}^{n+1}}{(n+1)!}\e^{\abs{z}}\to0$.

3Séries à termes positifs ou nuls

Théorème — critère fondamental. Si $u_{n}\geq0$ pour tout $n$, la suite $(S_{n})$ est croissante et $\ \sum u_{n}$ converge $\iff(S_{n})$ est majorée. Sinon $S_{n}\to+\infty$, et l’on écrit $\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}=+\infty$.

Théorème — comparaison et équivalence. Soient $(u_{n})$, $(v_{n})$ deux suites réelles.

Idées de preuve (exigibles). Comparaison : $S_{n}\leq T_{n}\leq\sum_{k=0}^{+\infty}v_{k}$, donc $(S_{n})$ est croissante majorée. Équivalence : pour $n$ assez grand $\frac12v_{n}\leq u_{n}\leq\frac32v_{n}$ (définition de $\sim$ avec $\varepsilon=\frac12$), puis comparaison dans les deux sens.

Méthode — nature des séries de Riemann, démonstration exigible. on applique le théorème à $f:t\mapsto t^{-\alpha}$, positive décroissante sur $\intfo{1}{+\infty}$ dès que $\alpha>0$. Si $\alpha\leq0$, $\frac{1}{n^{\alpha}}\not\to0$ : divergence grossière. Si $\alpha>0$ et $\alpha\neq1$, $\int_{1}^{n}t^{-\alpha}\dd t=\frac{n^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}$, suite majorée si et seulement si $\alpha>1$. Si $\alpha=1$, $\int_{1}^{n}\frac{\dd t}{t}=\ln n\to+\infty$ : divergence, et l’encadrement donne $\ln(n+1)\leq\sum_{k=1}^{n}\frac1k\leq1+\ln n$, donc $\sum_{k=1}^{n}\frac1k\sim\ln n$.

4Convergence absolue et séries alternées

Définition. $\sum u_{n}$ (à termes dans $\R$ ou $\C$) est absolument convergente si la série à termes positifs $\sum\abs{u_{n}}$ converge.

Théorème. Toute série absolument convergente converge, et $\left|\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}\right|\leq\sum_{n=0}^{+\infty}\abs{u_{n}}$. Critère de domination : si $(u_{n})$ est à valeurs complexes, $(v_{n})$ à valeurs dans $\R_{+}$, $u_{n}=O(v_{n})$ et $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ est absolument convergente, donc convergente.

Idée de preuve (exigible). Cas réel : $u_{n}^{+}=\max(u_{n},0)$ et $u_{n}^{-}=\max(-u_{n},0)$ sont positifs, majorés par $\abs{u_{n}}$, et $u_{n}=u_{n}^{+}-u_{n}^{-}$ ; les séries $\sum u_{n}^{\pm}$ convergent par comparaison, puis $\sum u_{n}$ par linéarité. Cas complexe : séparer $\Ree$ et $\Imm$, majorés en module par $\abs{u_{n}}$.

Théorème — séries alternées. Soit $(u_{n})$ une suite réelle positive, décroissante, de limite nulle. Alors $\sum(-1)^{n}u_{n}$ converge, et en notant $S$ sa somme :

Idée de preuve (exigible). $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont adjacentes : $S_{2n+2}-S_{2n}=u_{2n+2}-u_{2n+1}\leq0$, $S_{2n+3}-S_{2n+1}=u_{2n+2}-u_{2n+3}\geq0$ et $S_{2n}-S_{2n+1}=u_{2n+1}\to0$ ; elles convergent donc vers une limite commune $S$ avec $S_{2n+1}\leq S\leq S_{2n}$, d’où $R_{2n}\in\intff{-u_{2n+1}}{0}$ et $R_{2n+1}\in\intff{0}{u_{2n+2}}$.

Remarque — la décroissance est indispensable. et doit être démontrée : avec $u_{2k}=\frac{1}{k+1}$ et $u_{2k+1}=\frac{1}{(k+1)^{2}}$, la suite $(u_{n})$ tend vers $0$ sans être décroissante, et $\sum(-1)^{n}u_{n}$ diverge.

5Familles sommables de réels positifs

Notation — calcul dans $\intfo{0}{+\infty}$. on prolonge l’ordre et l’addition de $\R_{+}$ à $\intfo{0}{+\infty}=\R_{+}\cup\ens{+\infty}$ par $x\leq+\infty$ et $x+(+\infty)=+\infty$. Toute partie non vide $A$ y admet une borne supérieure : $\sup A$ au sens usuel si $A$ est majorée dans $\R$, et $+\infty$ sinon.

Définition. Soient $I$ un ensemble quelconque, $\mathcal{F}(I)$ l’ensemble de ses parties finies et $(u_{i})_{i\in I}$ une famille d’éléments de $\intfo{0}{+\infty}$. On pose

(avec $\sum_{i\in\varnothing}u_{i}=0$). La famille est sommable lorsque $\sum_{i\in I}u_{i}<+\infty$.

Remarque. Cette définition n’utilise aucun ordre sur $I$ : on somme « en vrac ». Elle redonne la somme usuelle si $I$ est fini ; pour $I=\N$, une famille positive $(u_{n})_{n\in\N}$ est sommable si et seulement si la série $\sum u_{n}$ converge, avec la même somme.

Propriété — opérations. Pour $(u_{i})_{i\in I}$, $(v_{i})_{i\in I}$ à valeurs dans $\intfo{0}{+\infty}$ et $\lambda\in\R_{+}^{*}$ : $\sum_{i\in I}(u_{i}+v_{i})=\sum_{i\in I}u_{i}+\sum_{i\in I}v_{i}$, $\ \sum_{i\in I}\lambda u_{i}=\lambda\sum_{i\in I}u_{i}$, et $u_{i}\leq v_{i}$ pour tout $i$ entraîne $\sum_{i\in I}u_{i}\leq\sum_{i\in I}v_{i}$. Pour toute bijection $\sigma:J\to I$, $\ \sum_{j\in J}u_{\sigma(j)}=\sum_{i\in I}u_{i}$ : la somme est invariante par permutation.

Théorème — sommation par paquets, puis Fubini positif. Soit $(u_{i})_{i\in I}$ une famille d’éléments de $\intfo{0}{+\infty}$.

• Si $(I_{j})_{j\in J}$ est une partition de $I$, alors, dans $\intfo{0}{+\infty}$, $\ \displaystyle\sum_{i\in I}u_{i}=\sum_{j\in J}\left(\sum_{i\in I_{j}}u_{i}\right)$.
• Cas d’un produit : pour une famille $(u_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$, $\ \displaystyle\sum_{(i,j)\in I\times J}u_{i,j}=\sum_{i\in I}\left(\sum_{j\in J}u_{i,j}\right)=\sum_{j\in J}\left(\sum_{i\in I}u_{i,j}\right)$,

en partitionnant $I\times J$ en « lignes » $\ens{i}\times J$ puis en « colonnes » $I\times\ens{j}$. La démonstration est hors programme.

6Familles sommables de nombres complexes

Définition. Une famille $(u_{i})_{i\in I}$ de nombres complexes est sommable si $\sum_{i\in I}\abs{u_{i}}<+\infty$ ; l’ensemble de ces familles se note $\boxed{\ell^{1}(I)}$. On lui associe alors un unique nombre complexe $\sum_{i\in I}u_{i}$, qui prolonge la somme finie. Pour $I=\N$, $(u_{n})\in\ell^{1}(\N)$ équivaut à la convergence absolue de $\sum u_{n}$, et $\sum_{n\in\N}u_{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}$.

Propriété. Soient $(u_{i})_{i\in I},(v_{i})_{i\in I}\in\ell^{1}(I)$ et $(\lambda,\mu)\in\C^{2}$.

Théorème — paquets et Fubini. Soit $(u_{i})_{i\in I}\in\ell^{1}(I)$ et $(I_{j})_{j\in J}$ une partition de $I$. Alors chaque $(u_{i})_{i\in I_{j}}$ est sommable, la famille $\left(\sum_{i\in I_{j}}u_{i}\right)_{j\in J}$ est sommable et $\ \sum_{i\in I}u_{i}=\sum_{j\in J}\left(\sum_{i\in I_{j}}u_{i}\right)$. En particulier, si $(u_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$ est sommable,

La démonstration est hors programme.

Méthode — la pratique recommandée par le programme. mener d’abord le calcul formel (échange de sommes, regroupement par paquets), puis le justifier : la sommabilité s’obtient en appliquant Fubini positif à la famille des modules, ce qui est toujours licite.

Théorème — famille produit, puis produit de Cauchy. Si $(a_{i})_{i\in I}\in\ell^{1}(I)$ et $(b_{i'})_{i'\in I'}\in\ell^{1}(I')$, alors $\left(a_{i}b_{i'}\right)\in\ell^{1}(I\times I')$ et $\sum_{(i,i')}a_{i}b_{i'}=\left(\sum_{i\in I}a_{i}\right)\left(\sum_{i'\in I'}b_{i'}\right)$ (extension à un nombre fini de familles sommables, sans rédaction de la démonstration). En particulier, si $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ sont absolument convergentes et si $c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$, alors $\sum c_{n}$ est absolument convergente et

Idée de preuve. La famille $\left(a_{p}b_{q}\right)$ est sommable sur $\N^{2}$ ; on la somme par paquets selon les diagonales $I_{n}=\ens{(p,q),\ p+q=n}$, qui partitionnent $\N^{2}$, et l’on a $\sum_{(p,q)\in I_{n}}a_{p}b_{q}=c_{n}$.

Remarque — l’exponentielle est un morphisme. avec $a_{n}=\frac{z^{n}}{n!}$ et $b_{n}=\frac{z'^{\,n}}{n!}$, la formule du binôme donne $c_{n}=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z^{k}z'^{\,n-k}=\frac{(z+z')^{n}}{n!}$, d’où $\e^{z}\e^{z'}=\e^{z+z'}$ : on retrouve que $\exp$ est un morphisme de $(\C,+)$ dans $(\C^{*},\times)$.