Nombres réels et suites numériques

1Les ensembles de nombres usuels

Notation. $\N\subset\Z\subset\D\subset\Q\subset\R$, où $\D=\ens{\frac{a}{10^{n}},\ a\in\Z,\ n\in\N}$ est l’ensemble des décimaux et $\Q=\ens{\frac{p}{q},\ p\in\Z,\ q\in\N^{*}}$ celui des rationnels ; les éléments de $\R\setminus\Q$ sont les irrationnels ($\sqrt2$ en est un). Les constructions de ces ensembles, et en particulier celle de $\R$, sont hors programme : on admet l’existence de $\R$, corps totalement ordonné contenant $\Q$ et vérifiant la propriété de la borne supérieure. On pose $\overline{\R}=\R\cup\ens{-\infty,+\infty}$ (droite achevée), avec $-\infty<x<+\infty$ pour tout réel $x$.

Définition — approximations décimales. Pour $x\in\R$ et $n\in\N$, l’approximation décimale par défaut de $x$ à $10^{-n}$ près est $d_{n}=\frac{\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor}{10^{n}}$, celle par excès est $d_{n}+10^{-n}$ ; ainsi $d_{n}\leq x<d_{n}+10^{-n}$, et $(d_{n})$ est une suite croissante de décimaux de limite $x$.

2Borne supérieure, borne inférieure

Définition. Soit $A\subset\R$. Un réel $M$ est la borne supérieure de $A$, notée $\sup A$, s’il est le plus petit des majorants de $A$ : $M$ majore $A$, et tout majorant $M'$ de $A$ vérifie $M\leq M'$. Symétriquement, $\inf A$ est le plus grand des minorants. Ces bornes, quand elles existent, sont uniques.

Théorème — propriété de la borne supérieure – admise. Toute partie de $\R$ non vide et majorée admet une borne supérieure ; toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure (appliquer le premier point à $-A=\ens{-x,\ x\in A}$ : $\inf A=-\sup(-A)$).

Théorème — caractérisation de la borne supérieure. Soient $A\subset\R$ non vide et $M\in\R$. Alors

De même, $m=\inf A$ si et seulement si $m$ minore $A$ et $\ \forall\varepsilon>0,\exists x\in A,\ x<m+\varepsilon$. Enfin, $A$ admet un maximum si et seulement si $\sup A$ existe et appartient à $A$, et alors $\max A=\sup A$.

Propriété — traduction séquentielle. Soit $A\subset\R$ non vide. Si $A$ est majorée, il existe une suite $(a_{n})$ d’éléments de $A$ de limite $\sup A$ ; si $A$ n’est pas majorée, il existe une suite d’éléments de $A$ de limite $+\infty$.

Idée de preuve (exigible). Premier point : la caractérisation avec $\varepsilon=\frac{1}{n+1}$ fournit $a_{n}\in A$ tel que $\sup A-\frac{1}{n+1}<a_{n}\leq\sup A$ ; on conclut par encadrement. Second point : « $A$ non majorée » s’écrit $\forall M\in\R,\exists x\in A,\ x>M$ ; on prend $M=n$.

Méthode — montrer que $M=\sup A$. deux étapes, jamais une seule : (i) $M$ majore $A$ ; (ii) aucun réel plus petit ne majore $A$ — soit en exhibant pour tout $\varepsilon>0$ un $x\in A$ avec $x>M-\varepsilon$, soit en construisant une suite d’éléments de $A$ de limite $M$. Si de plus $M\in A$, conclure $M=\max A$.

Théorème — caractérisation des intervalles. $I\subset\R$ est un intervalle si et seulement si $\ \forall(a,b)\in I^{2},\ a\leq b\Longrightarrow\intff{a}{b}\subset I$.

Définition. $A\subset\R$ est dense dans $\R$ si tout intervalle ouvert non vide rencontre $A$ : $\ \forall(x,y)\in\R^{2},\ x<y\Longrightarrow A\cap\intoo{x}{y}\neq\varnothing$. Caractérisation séquentielle : $A$ est dense dans $\R$ si et seulement si tout réel est limite d’une suite d’éléments de $A$.

Théorème. $\D$, $\Q$ et $\R\setminus\Q$ sont denses dans $\R$.

Idée de preuve (exigible). Soient $x<y$ et $n\in\N$ tel que $10^{-n}<y-x$. Posons $d=\frac{\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor+1}{10^{n}}\in\D$ : de $\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor\leq10^{n}x<\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor+1$ on tire $x<d\leq x+10^{-n}<y$. Pour les irrationnels : $\intoo{x-\sqrt2}{y-\sqrt2}$ contient un rationnel $r$, et $r+\sqrt2\in\intoo{x}{y}$ est irrationnel (sinon $\sqrt2=(r+\sqrt2)-r\in\Q$).

3Généralités sur les suites réelles

Notation. Une suite réelle est une application $u:\N\to\R$, notée $(u_{n})$. Trois modes de définition : explicite ($u_{n}=f(n)$), par récurrence ($u_{0}$ donné et $u_{n+1}=f(u_{n})$, ou relation à plusieurs termes), implicite ($u_{n}$ unique solution d’une équation dépendant de $n$). Une propriété est vraie à partir d’un certain rang (apcr) s’il existe $N$ telle qu’elle soit vraie pour tout $n\geq N$. Enfin, $(u_{n})$ est majorée si $\exists M\in\R,\forall n\in\N,\ u_{n}\leq M$ ; minorée si $\exists m\in\R,\forall n\in\N,\ m\leq u_{n}$ ; bornée si elle est majorée et minorée, ce qui équivaut à $\exists M\in\R_{+},\forall n\in\N,\ \abs{u_{n}}\leq M$ ; croissante si $u_{n}\leq u_{n+1}$ pour tout $n$ (strictement si $u_{n}<u_{n+1}$) ; stationnaire si elle est constante apcr.

4Limite d’une suite réelle

Définition. Soient $(u_{n})$ une suite réelle et $\ell\in\R$. On dit que $(u_{n})$ converge vers $\ell$, et on note $u_{n}\to\ell$ ou $\lim u_{n}=\ell$, si

$(u_{n})$ tend vers $+\infty$ si $\ \forall A\in\R,\exists N\in\N,\forall n\geq N,\ u_{n}\geq A$ ; vers $-\infty$ si $\ \forall A\in\R,\exists N\in\N,\forall n\geq N,\ u_{n}\leq A$. La suite est convergente si elle a une limite finie, divergente sinon (limite infinie, ou pas de limite).

Remarque. Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges — ce qui ne change rien : avoir $\abs{u_{n}-\ell}\leq\varepsilon$ apcr pour tout $\varepsilon>0$ équivaut à l’avoir avec $<$ (appliquer l’un à $\varepsilon/2$). Le rang $N$ dépend de $\varepsilon$ ; on l’écrit au besoin $N_{\varepsilon}$.

Méthode — rédiger une preuve de convergence. « Soit $\varepsilon>0$. » — majorer $\abs{u_{n}-\ell}$ par une expression simple $v_{n}$ de limite nulle — résoudre $v_{n}\leq\varepsilon$ en $n$ — « Posons $N=\dots$ » (un entier explicite, par exemple $N=\left\lfloor 1/\varepsilon\right\rfloor+1$) — « Alors, pour tout $n\geq N$, $\abs{u_{n}-\ell}\leq v_{n}\leq\varepsilon$. » — « Ceci valant pour tout $\varepsilon>0$, $u_{n}\to\ell$. »

Théorème — unicité, bornitude. Une suite réelle admet au plus une limite dans $\overline{\R}$, et toute suite convergente est bornée.

Idées de preuve (exigibles). Unicité : si $u_{n}\to\ell$ et $u_{n}\to\ell'$ avec $\ell\neq\ell'$ réels, les deux définitions avec $\varepsilon=\frac{\abs{\ell-\ell'}}{3}$ et $n\geq\max(N_{\varepsilon},N'_{\varepsilon})$ donnent $\abs{\ell-\ell'}\leq\abs{\ell-u_{n}}+\abs{u_{n}-\ell'}\leq\frac{2}{3}\abs{\ell-\ell'}$, donc $\abs{\ell-\ell'}\leq0$ : absurde (cas mixtes analogues). Bornitude : $\varepsilon=1$ donne $N$ tel que $\abs{u_{n}}\leq\abs{\ell}+1$ pour $n\geq N$, et $M=\max\bigl(\abs{u_{0}},\dots,\abs{u_{N-1}},\abs{\ell}+1\bigr)$ — maximum d’un nombre fini de réels — majore $(\abs{u_{n}})$.

Théorème — opérations. Soient $(u_{n})$, $(v_{n})$ de limites $\ell,\ell'\in\R$ et $\lambda\in\R$ : $u_{n}+v_{n}\to\ell+\ell'$, $\lambda u_{n}\to\lambda\ell$, $u_{n}v_{n}\to\ell\ell'$, $\abs{u_{n}}\to\abs{\ell}$, et si $\ell'\neq0$ alors $v_{n}\neq0$ apcr et $\frac{u_{n}}{v_{n}}\to\frac{\ell}{\ell'}$ ; ces énoncés s’étendent aux limites infinies hors des formes indéterminées. Le produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle tend vers $0$ — sans hypothèse de convergence sur la suite bornée : $\frac{\sin n}{n}\to0$.

Théorème — comparaison. Soient $(u_{n})$, $(v_{n})$, $(w_{n})$ réelles.

Les deux derniers points démontrent l’existence de la limite, le premier la suppose acquise. Attention : le passage à la limite affaiblit les inégalités strictes — $\frac{1}{n+1}>0$ pour tout $n$ et la limite vaut $0$ ; de « $u_{n}<v_{n}$ » on ne tire donc que $\ell\leq\ell'$.

5Suites monotones, suites adjacentes

Théorème — théorème de la limite monotone. Toute suite réelle monotone admet une limite dans $\overline{\R}$. Si $(u_{n})$ est croissante : lorsqu’elle est majorée, elle converge et $\lim u_{n}=\sup\ens{u_{n},\ n\in\N}$ ; lorsqu’elle n’est pas majorée, $u_{n}\to+\infty$. Énoncé symétrique pour une suite décroissante (avec $\inf$ et $-\infty$).

Idée de preuve (exigible). $(u_{n})$ croissante majorée : $A=\ens{u_{n},n\in\N}$ est non vide et majorée, donc $\ell=\sup A$ existe. Soit $\varepsilon>0$ ; la caractérisation de $\sup$ fournit $N$ tel que $u_{N}>\ell-\varepsilon$, et la croissance donne $\ell-\varepsilon<u_{N}\leq u_{n}\leq\ell$ pour $n\geq N$. Non majorée : pour $A\in\R$ il existe $N$ avec $u_{N}>A$, donc $u_{n}\geq u_{N}>A$ pour $n\geq N$.

Définition. Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes si $(u_{n})$ est croissante, $(v_{n})$ décroissante et $v_{n}-u_{n}\to0$.

Théorème — suites adjacentes. Deux suites adjacentes convergent vers une même limite $\ell$ et, pour tout $n$, $\ u_{n}\leq\ell\leq v_{n}$ — d’où la majoration d’erreur $\abs{\ell-u_{n}}\leq v_{n}-u_{n}$.

Idée de preuve (exigible). $(v_{n}-u_{n})$ est décroissante de limite $0$, donc positive : $u_{n}\leq v_{n}$ pour tout $n$. Alors $(u_{n})$ croît et est majorée par $v_{0}$, $(v_{n})$ décroît et est minorée par $u_{0}$ : elles convergent vers $\ell$ et $\ell'$, et $\ell'-\ell=\lim(v_{n}-u_{n})=0$. L’encadrement s’obtient en passant à la limite dans $u_{n}\leq u_{p}$ et $v_{p}\leq v_{n}$ ($p\geq n$). Attention : une suite croissante majorée converge, mais pas vers son majorant — $u_{n}=1-\frac{1}{n+1}$ est majorée par $17$ et tend vers $1=\sup\ens{u_{n}}$.

6Suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass

Définition. Une suite extraite (ou sous-suite) de $(u_{n})$ est une suite $\left(u_{\varphi(n)}\right)_{n\in\N}$ avec $\varphi:\N\to\N$ strictement croissante ; on a alors $\varphi(n)\geq n$ pour tout $n$ (récurrence immédiate).

Théorème. Si $u_{n}\to\ell$ dans $\overline{\R}$, toute suite extraite de $(u_{n})$ tend vers $\ell$. Réciproque partielle : si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers une même limite $\ell$, alors $u_{n}\to\ell$.

Idées de preuve. Première : si $\abs{u_{n}-\ell}\leq\varepsilon$ dès que $n\geq N$, alors $\varphi(n)\geq n\geq N$ pour $n\geq N$. Seconde : avec $N_{1},N_{2}$ adaptés aux deux extraites, tout $n\geq\max(2N_{1},2N_{2}+1)$ est pair ou impair et convient.

Méthode — prouver qu’une suite n’a pas de limite. exhiber deux suites extraites de limites différentes : $\bigl((-1)^{n}\bigr)$ diverge car les indices pairs donnent $1$ et les impairs $-1$.

Théorème — Bolzano-Weierstrass. De toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente.

Idée de preuve (exigible) : dichotomie. Soit $(u_{n})$ à valeurs dans $I_{0}=\intff{a}{b}$. On construit des segments emboîtés $I_{p}=\intff{a_{p}}{b_{p}}$ de longueur $\frac{b-a}{2^{p}}$ contenant chacun $u_{n}$ pour une infinité d’indices (on coupe $I_{p}$ en deux et l’on garde une moitié contenant une infinité de termes) : $(a_{p})$ et $(b_{p})$ sont adjacentes, de limite commune $\ell$. On choisit à l’étape $p$ un indice $\varphi(p)>\varphi(p-1)$ avec $u_{\varphi(p)}\in I_{p}$, et $a_{p}\leq u_{\varphi(p)}\leq b_{p}$ donne $u_{\varphi(p)}\to\ell$.

7Suites complexes

Définition. Soient $(z_{n})$ une suite complexe et $\ell\in\C$ : $z_{n}\to\ell$ si $\ \forall\varepsilon>0,\exists N\in\N,\forall n\geq N,\ \abs{z_{n}-\ell}\leq\varepsilon$ ($\abs{\cdot}$ = module) ; la suite est bornée si $(\abs{z_{n}})$ est majorée.

Propriété. $z_{n}\to\ell\iff\Ree(z_{n})\to\Ree(\ell)$ et $\Imm(z_{n})\to\Imm(\ell)$. Unicité de la limite, « convergente $\Rightarrow$ bornée » et opérations restent valables. Il n’y a en revanche ni ordre, ni monotonie, ni gendarmes dans $\C$ : seule la majoration $\abs{z_{n}-\ell}\leq w_{n}\to0$ subsiste.

Théorème — Bolzano-Weierstrass dans $\C$. De toute suite complexe bornée on peut extraire une suite convergente : on extrait une sous-suite le long de laquelle $(\Ree(z_{n}))$ converge, puis, la partie imaginaire restant bornée, on extrait à nouveau — une extraite d’une extraite est une extraite.

8Suites classiques

Propriété. Si $u_{n+1}=u_{n}+r$ alors $u_{n}=u_{0}+nr$ ; si $u_{n+1}=qu_{n}$ alors $u_{n}=u_{0}q^{n}$. Pour $q\in\R$ : $q^{n}\to0$ si $\abs{q}<1$, $q^{n}\to+\infty$ si $q>1$, et $(q^{n})$ n’a pas de limite si $q\leq-1$. Pour $z\in\C$ : $z^{n}\to0$ si $\abs{z}<1$, et $(z^{n})$ diverge si $\abs{z}\geq1$ et $z\neq1$.

Théorème — suites arithmético-géométriques. Soient $a\in\R\setminus\ens{1}$, $b\in\R$ et $u_{n+1}=au_{n}+b$. L’équation $\ell=a\ell+b$ a l’unique solution $\ell=\frac{b}{1-a}$, et $(u_{n}-\ell)$ est géométrique de raison $a$ :

On ne mémorise pas la formule : on cherche la solution constante $\ell$, on soustrait $\ell=a\ell+b$ de $u_{n+1}=au_{n}+b$, et on reconnaît une suite géométrique. (Si $a=1$, la suite est arithmétique.)

Théorème — récurrences linéaires d’ordre $2$. Soient $(a,b)\in\C\times\C^{*}$ et $\mathcal{E}$ l’ensemble des suites complexes vérifiant $\ \forall n\in\N,\ u_{n+2}=a\,u_{n+1}+b\,u_{n}$. Soit $r^{2}=ar+b$ l’équation caractéristique, de discriminant $\Delta=a^{2}+4b$.

Dans tous les cas, $(\lambda,\mu)$ est déterminé de façon unique par $u_{0}$ et $u_{1}$. Exemple : $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n}$ avec $u_{0}=1$, $u_{1}=4$ ; $r^{2}=5r-6$ a pour racines $2$ et $3$, et $\lambda+\mu=1$, $2\lambda+3\mu=4$ donnent $u_{n}=2\cdot3^{n}-2^{n}$.

Idée de preuve (exigible), cas $\Delta\neq0$. $(r_{1}^{n})$, $(r_{2}^{n})$ et leurs combinaisons linéaires sont dans $\mathcal{E}$ (calcul direct). Réciproquement, $r_{1}\neq r_{2}$ assure que $\lambda+\mu=u_{0}$, $\lambda r_{1}+\mu r_{2}=u_{1}$ a une unique solution ; $v_{n}=\lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}$ est dans $\mathcal{E}$ et coïncide avec $(u_{n})$ en $0$ et $1$, donc partout par récurrence double.

Méthode — étude de $u_{n+1}=f(u_{n})$. soient $I\subset\R$, $f:I\to\R$ et $u_{0}\in I$.

• Intervalle stable : montrer $f(I)\subset I$ ; alors $u_{n}\in I$ pour tout $n$ par récurrence, et la suite est bien définie. Toujours la première étape.
• Monotonie : étudier le signe de $f(x)-x$ sur $I$. Si $f$ croît sur $I$, $(u_{n})$ est monotone, de sens donné par celui de $u_{1}-u_{0}$ ; si $f$ décroît, $f\circ f$ croît et l’on étudie séparément $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$.
• Convergence puis identification : conclure par la limite monotone (la stabilité de $I$ fournit la borne) ; ensuite, si $u_{n}\to\ell$ avec $\ell\in I$ et $f$ continue en $\ell$, passer à la limite dans $u_{n+1}=f(u_{n})$ donne $\ell=f(\ell)$ : $\ell$ est un point fixe.
• Représentation graphique : tracer $\mathcal{C}_{f}$ et $y=x$, puis construire les termes en « escalier » ($f$ croît) ou en « escargot » ($f$ décroît).