Espaces préhilbertiens

Dans toute la fiche $E$ est un $\R$-espace vectoriel : les scalaires sont réels, il n’est jamais question de produit scalaire hermitien. On note $\mathcal{C}(I,\R)$ l’espace des fonctions continues de $I$ dans $\R$.

1Produit scalaire

Définition. Un produit scalaire sur $E$ est une application $\varphi:E\times E\to\R$ bilinéaire (linéaire en chaque variable, l’autre étant fixée), symétrique ($\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$), positive ($\varphi(x,x)\geq0$ pour tout $x$) et définie ($\varphi(x,x)=0\Rightarrow x=0$) : une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Notation. On note $\left\langle x\,,\,y\right\rangle$, ou $(x\mid y)$, ou $x\cdot y$. Le couple $\bigl(E,\left\langle \cdot\,,\,\cdot\right\rangle\bigr)$ est un espace préhilbertien réel ; si de plus $E$ est de dimension finie, c’est un espace euclidien. La symétrie dispense de vérifier la linéarité par rapport à la seconde variable ; « positive » et « définie » restent deux conditions distinctes, et c’est la seconde que l’on oublie.

Propriété — les exemples du programme. Les applications suivantes sont des produits scalaires.

• Produit scalaire canonique de $\R^{n}$ : $\ \left\langle X\,,\,Y\right\rangle={}^{t}\!XY=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$. Produit scalaire canonique de $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ : $\ \left\langle A\,,\,B\right\rangle=\operatorname{tr}\bigl(A\,{}^{t}\!B\bigr)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}b_{i,j}$.
• Sur $\mathcal{C}\bigl(\intff{a}{b},\R\bigr)$ avec $a<b$, et sur $\R[X]$ ou $\R_{n}[X]$ : $\ \left\langle f\,,\,g\right\rangle=\int_{a}^{b}f(t)g(t)\dd t$, et plus généralement $\int_{a}^{b}fg\,w$ avec $w$ continue strictement positive sur $\intff{a}{b}$.

Idée de preuve (cas intégraux). Bilinéarité et positivité sont celles de l’intégrale ; le caractère défini vient du théorème « une fonction continue positive d’intégrale nulle est nulle » (chapitre 21), appliqué à $h=f^{2}$. C’est là, et là seulement, qu’intervient la continuité : sur les fonctions continues par morceaux, $\left\langle \cdot\,,\,\cdot\right\rangle$ reste positive mais n’est plus définie.

Méthode — montrer que $\varphi$ est un produit scalaire. bilinéarité ; symétrie ; $\varphi(x,x)\geq0$ en l’écrivant comme une somme de carrés ou une intégrale de carré ; puis $\varphi(x,x)=0\Rightarrow x=0$, une somme de carrés nulle ayant tous ses termes nuls.

2Norme associée, inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire

Définition. La norme associée au produit scalaire est $\ \norme{x}=\sqrt{\left\langle x\,,\,x\right\rangle}$, et la distance de $x$ à $y$ est $\ d\!\left(x,y\right)=\norme{x-y}$ ; un vecteur de norme $1$ est dit unitaire. On a $\norme{\lambda x}=\abs{\lambda}\norme{x}$ pour $\lambda\in\R$, et $\norme{x}=0\iff x=0$.

Propriété — identité remarquable et polarisation. Pour tous $x,y\in E$ :

d’où la formule de polarisation, qui reconstitue le produit scalaire à partir de la seule norme :

En ajoutant les deux premières égalités : $\ \norme{x+y}^{2}+\norme{x-y}^{2}=2\bigl(\norme{x}^{2}+\norme{y}^{2}\bigr)$.

Théorème — inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour tous $x,y\in E$ :

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration (exigible) — l’idée : un trinôme positif. Si $y=0$, tout est nul. Sinon $\Phi(t)=\norme{x+ty}^{2}=\norme{y}^{2}t^{2}+2\left\langle x\,,\,y\right\rangle t+\norme{x}^{2}$ est un trinôme du second degré ($\norme{y}^{2}\neq0$) positif sur $\R$ : son discriminant $4\left\langle x\,,\,y\right\rangle^{2}-4\norme{x}^{2}\norme{y}^{2}$ est $\leq0$, d’où l’inégalité. Égalité $\iff\Delta=0\iff\Phi$ a une racine $t_{0}$, et alors $\norme{x+t_{0}y}=0$ donne $x=-t_{0}y$ ; réciproquement si $x=\lambda y$, les deux membres valent $\abs{\lambda}\norme{y}^{2}$.

Théorème — inégalité triangulaire. $\ \boxed{\norme{x+y}\leq\norme{x}+\norme{y},}$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont positivement colinéaires (l’un est nul, ou $y=\lambda x$ avec $\lambda>0$). On en déduit $\bigl|\norme{x}-\norme{y}\bigr|\leq\norme{x-y}$.

Démonstration (exigible). $\norme{x+y}^{2}=\norme{x}^{2}+2\left\langle x\,,\,y\right\rangle+\norme{y}^{2}\leq\norme{x}^{2}+2\norme{x}\norme{y}+\norme{y}^{2}=\bigl(\norme{x}+\norme{y}\bigr)^{2}$ par Cauchy-Schwarz, puis croissance de la racine carrée. Égalité $\iff\left\langle x\,,\,y\right\rangle=\norme{x}\norme{y}$, soit $x,y$ colinéaires et $\left\langle x\,,\,y\right\rangle\geq0$ : colinéarité de même sens.

3Orthogonalité, familles orthonormées, Gram-Schmidt

Définition. Deux vecteurs $x,y$ sont orthogonaux, noté $x\perp y$, si $\left\langle x\,,\,y\right\rangle=0$. Une famille $(x_{1},\dots,x_{p})$ est orthogonale si $\left\langle x_{i}\,,\,x_{j}\right\rangle=0$ pour $i\neq j$ ; elle est orthonormée (ou orthonormale) si de plus $\norme{x_{i}}=1$ pour tout $i$, c’est-à-dire si $\left\langle x_{i}\,,\,x_{j}\right\rangle=\delta_{i,j}$.

Théorème — théorème de Pythagore. $\ x\perp y\iff\norme{x+y}^{2}=\norme{x}^{2}+\norme{y}^{2}$. Plus généralement, si $(x_{1},\dots,x_{p})$ est orthogonale,

Idée de preuve (exigible). C’est l’identité remarquable, lue dans les deux sens ; pour $p$ vecteurs, développer $\norme{\sum_{i}x_{i}}^{2}=\sum_{i,j}\left\langle x_{i}\,,\,x_{j}\right\rangle$, où seuls survivent les termes $i=j$.

Théorème — liberté. Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. En particulier toute famille orthonormée est libre.

Démonstration (exigible) — l’idée : tester contre chaque vecteur. Si $\sum_{i}\lambda_{i}x_{i}=0$, le produit scalaire avec $x_{j}$ donne $\lambda_{j}\norme{x_{j}}^{2}=0$, et $x_{j}\neq0$ force $\lambda_{j}=0$.

Définition — orthogonal d’une partie. Pour $X\subset E$ non vide, $\ X^{\perp}=\ens{y\in E,\ \forall x\in X,\ \left\langle x\,,\,y\right\rangle=0}$.

Propriété. $X^{\perp}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ : c’est l’intersection des noyaux des formes linéaires $y\mapsto\left\langle x\,,\,y\right\rangle$, $x\in X$. De plus $X^{\perp}=\bigl(\operatorname{Vect} X\bigr)^{\perp}$, $X\subset Y\Rightarrow Y^{\perp}\subset X^{\perp}$, $E^{\perp}=\ens{0}$, $\ens{0}^{\perp}=E$ ; et pour un sous-espace $F$ : $F\cap F^{\perp}=\ens{0}$, $F\subset\bigl(F^{\perp}\bigr)^{\perp}$.

Théorème — algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Soit $(v_{1},\dots,v_{p})$ une famille libre de $E$. Il existe une unique famille orthonormée $(e_{1},\dots,e_{p})$ telle que $\operatorname{Vect}(e_{1},\dots,e_{k})=\operatorname{Vect}(v_{1},\dots,v_{k})$ et $\left\langle v_{k}\,,\,e_{k}\right\rangle>0$ pour tout $k\in\intent{1}{p}$. Elle est donnée par $w_{1}=v_{1}$, puis pour $k\geq2$

Idée de preuve (exigible). Récurrence : $w_{k}\neq0$ sinon $v_{k}\in\operatorname{Vect}(v_{1},\dots,v_{k-1})$ contredirait la liberté ; et $\left\langle w_{k}\,,\,e_{j}\right\rangle=\left\langle v_{k}\,,\,e_{j}\right\rangle-\left\langle v_{k}\,,\,e_{j}\right\rangle=0$ pour $j<k$, d’où l’orthonormalité ; enfin $\left\langle v_{k}\,,\,e_{k}\right\rangle=\norme{w_{k}}>0$.

4Bases orthonormées d’un espace euclidien

Théorème — existence. Tout espace euclidien $E$ de dimension $n\geq1$ admet une base orthonormée : il suffit d’appliquer Gram-Schmidt à une base quelconque de $E$.

Théorème — base orthonormée incomplète. Soit $E$ euclidien de dimension $n$. Toute famille orthonormée $(e_{1},\dots,e_{p})$ de $E$ se complète en une base orthonormée $(e_{1},\dots,e_{n})$ de $E$. Idée de preuve. Elle est libre, donc se complète en une base (chapitre 17), et Gram-Schmidt laisse inchangés les $p$ premiers vecteurs, déjà orthonormés.

Théorème — calculs dans une base orthonormée. Soit $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{n})$ une base orthonormée de $E$. Pour tous $x,y\in E$ :

où $X$, $Y$ sont les colonnes de coordonnées dans $\mathcal{B}$ : dans une base orthonormée, tout produit scalaire se lit comme le produit scalaire canonique sur les coordonnées. Idée de preuve. Si $x=\sum_{i}x_{i}e_{i}$, le produit scalaire avec $e_{j}$ donne $x_{j}=\left\langle x\,,\,e_{j}\right\rangle$ ; puis développer par bilinéarité avec $\left\langle e_{i}\,,\,e_{j}\right\rangle=\delta_{i,j}$.

5Supplémentaire orthogonal, projection orthogonale, distance

Théorème — supplémentaire orthogonal. Soient $E$ préhilbertien et $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie. Alors $\boxed{E=F\oplus F^{\perp},}$ et $F^{\perp}$ s’appelle le supplémentaire orthogonal de $F$ dans $E$.

Démonstration (exigible) — l’idée : poser le candidat et vérifier. $F\cap F^{\perp}=\ens{0}$, car $x\in F\cap F^{\perp}$ donne $\left\langle x\,,\,x\right\rangle=0$. Soit $(e_{1},\dots,e_{p})$ une base orthonormée de $F$ (qui existe, $F$ étant euclidien) ; pour $x\in E$, posons $y=\sum_{i=1}^{p}\left\langle x\,,\,e_{i}\right\rangle e_{i}\in F$ et $z=x-y$ : alors $\left\langle z\,,\,e_{j}\right\rangle=0$ pour tout $j$, donc $z\perp F$ et $x=y+z$.

Définition. La projection orthogonale sur $F$, notée $p_{F}$, est la projection sur $F$ parallèlement à $F^{\perp}$ : $p_{F}(x)$ est l’unique vecteur de $F$ tel que $x-p_{F}(x)\in F^{\perp}$. C’est un projecteur ($p_{F}^{2}=p_{F}$), d’image $F$ et de noyau $F^{\perp}$.

Théorème — expression dans une base orthonormée de $F$. Si $(e_{1},\dots,e_{p})$ est une base orthonormée de $F$, alors

C’est le vecteur $y$ construit ci-dessus. Si la base de $F$ est seulement orthogonale, $p_{F}(x)=\sum_{i}\frac{\left\langle x\,,\,e_{i}\right\rangle}{\norme{e_{i}}^{2}}e_{i}$.

Théorème — dimension de l’orthogonal. Si $E$ est euclidien de dimension $n$ et $F$ un sous-espace de $E$ : $\ \boxed{\dim F^{\perp}=n-\dim F,}\$ et $\ \bigl(F^{\perp}\bigr)^{\perp}=F$.

Définition — distance à un sous-espace. Pour $x\in E$ et $F$ de dimension finie, $\ d\!\left(x,F\right)=\inf\limits_{y\in F}\norme{x-y}$.

Théorème — caractérisation du projeté par la distance. Soient $F$ de dimension finie et $x\in E$. Alors

et $p_{F}(x)$ est l’unique vecteur de $F$ réalisant cette borne inférieure : pour tout $y\in F$ distinct de $p_{F}(x)$, $\norme{x-y}>d\!\left(x,F\right)$.

Démonstration (exigible) — l’idée : Pythagore sur $x-y=\bigl(x-p_{F}(x)\bigr)+\bigl(p_{F}(x)-y\bigr)$. Pour $y\in F$, le premier terme est dans $F^{\perp}$, le second dans $F$ : ils sont orthogonaux, donc $\norme{x-y}^{2}=\norme{x-p_{F}(x)}^{2}+\norme{p_{F}(x)-y}^{2}\geq\norme{x-p_{F}(x)}^{2}$, avec égalité si et seulement si $y=p_{F}(x)$.

Théorème — hyperplan et vecteur normal. Soit $u\in E$ non nul. Alors $H=\operatorname{Vect}(u)^{\perp}=\ens{u}^{\perp}$ est le noyau de la forme linéaire non nulle $y\mapsto\left\langle u\,,\,y\right\rangle$ : c’est un hyperplan de $E$, de vecteur normal $u$. En dimension finie, tout hyperplan est de cette forme, son vecteur normal étant unique à un scalaire non nul près. Pour tout $x\in E$ :

Idée de preuve. $\bigl(u/\norme{u}\bigr)$ est une base orthonormée de $\operatorname{Vect}(u)$, donc $p_{\operatorname{Vect}(u)}(x)=\frac{\left\langle x\,,\,u\right\rangle}{\norme{u}^{2}}u$ ; puis $p_{H}=\operatorname{id}_{E}-p_{\operatorname{Vect}(u)}$ et $d\!\left(x,H\right)=\norme{p_{\operatorname{Vect}(u)}(x)}$.