Analyse asymptotique

1Relations de comparaison : le cadre

Notation. Dans tout ce bloc, $a\in\overline{\R}=\R\cup\ens{-\infty,+\infty}$, et $f$, $g$ sont définies au voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$, avec $g$ qui ne s’annule pas sur un voisinage de $a$ privé de $a$ : c’est cette hypothèse qui donne un sens au quotient $\frac{f}{g}$, sur lequel portent toutes les définitions qui suivent.

Définition. Soient $f$ et $g$ comme ci-dessus. On dit que $f$ est dominée par $g$ en $a$, noté $f(x)=\underset{x\to a}{O}\bigl(g(x)\bigr)$, lorsque $\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$ ; négligeable devant $g$ en $a$, noté $f(x)=\underset{x\to a}{o}\bigl(g(x)\bigr)$, lorsque $\frac{f(x)}{g(x)}\xrightarrow[x\to a]{}0$ ; équivalente à $g$ en $a$, noté $f(x)\underset{x\to a}{\sim}g(x)$, lorsque $\frac{f(x)}{g(x)}\xrightarrow[x\to a]{}1$.

Propriété — liens entre les trois relations. $\ f=o(g)\Longrightarrow f=O(g)$ ; $f\sim g\Longrightarrow f=O(g)$ et $g=O(f)$ ; et surtout $\ f\underset{a}{\sim}g\iff f-g=\underset{a}{o}(g)\iff f=g+\underset{a}{o}(g)$. C’est cette deuxième forme qui sert dans les calculs : « $f$ vaut $g$, à un terme négligeable devant $g$ près ».

Propriété — propriétés conservées par équivalence. Si $f\underset{a}{\sim}g$, alors $f$ et $g$ ont la même limite dans $\overline{\R}$, et le même signe strict au voisinage de $a$ (car $\frac{f}{g}\geq\frac12>0$ près de $a$). En revanche $f\sim g$ n’entraîne pas $f-g\to0$ : $\ n^{2}+n\sim n^{2}$ alors que la différence tend vers $+\infty$.

Propriété — règles de manipulation. Soient $f_{1}\sim g_{1}$ et $f_{2}\sim g_{2}$ en $a$, et $\alpha\in\R$.

Théorème — croissances comparées. Soient $\alpha>0$, $\beta>0$ : le logarithme perd contre toute puissance, toute puissance perd contre l’exponentielle. En $+\infty$ : $\ (\ln x)^{\alpha}=o\!\left(x^{\beta}\right)$ et $x^{\alpha}=o\!\left(\e^{\beta x}\right)$. En $0^{+}$ : $\ x^{\beta}\abs{\ln x}^{\alpha}\to0$. En $-\infty$ : $\ \abs{x}^{\alpha}\e^{x}\to0$. Pour les suites, avec $q>1$ : $\ (\ln n)^{\alpha}=o\!\left(n^{\beta}\right)$, $\ n^{\alpha}=o\!\left(q^{n}\right)$ et $\ q^{n}=o(n!)$.

2Relations de comparaison : le cas des suites

Définition. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites, $(v_{n})$ ne s’annulant pas à partir d’un certain rang. On reprend mot pour mot les définitions précédentes avec $n\to+\infty$ : $\ u_{n}=O(v_{n})$ si $\left(\frac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ est bornée, $\ u_{n}=o(v_{n})$ si $\frac{u_{n}}{v_{n}}\to0$, $\ u_{n}\sim v_{n}$ si $\frac{u_{n}}{v_{n}}\to1$. Toutes les propriétés du bloc précédent — liens, conservation de la limite et du signe, règles de manipulation, interdits — restent valables telles quelles.

Méthode — équivalent d’une suite. factoriser par le terme dominant, puis se ramener à une variable qui tend vers $0$ pour appliquer un équivalent usuel : $\ \frac{3n^{3}-n+5}{2n^{3}+n^{2}}=\frac{n^{3}\left(3-\frac{1}{n^{2}}+\frac{5}{n^{3}}\right)}{n^{3}\left(2+\frac1n\right)}\sim\frac{3}{2}$, et $\ \sqrt{n^{2}+n}-n=n\left(\sqrt{1+\tfrac1n}-1\right)\sim n\cdot\frac{1}{2n}=\frac12$ (avec $h=\frac1n$ et $\sqrt{1+h}-1\sim\frac{h}{2}$).

Propriété — équivalents usuels en $0$. Pour $u\to0$ (donc aussi pour $u=u_{n}\to0$, ou $u=\varphi(x)\to0$) :

Chacun se lit sur le développement limité correspondant : le premier terme non nul d’un DL est un équivalent.

3Développements limités

Définition. Soient $I$ un intervalle, $a\in I$, $f$ définie sur $I$ et $n\in\N$. On dit que $f$ admet un développement limité à l’ordre $n$ en $a$ (un $DL_{n}(a)$) s’il existe $(a_{0},\dots,a_{n})\in\R^{n+1}$ tel que, pour $h$ voisin de $0$ avec $a+h\in I$,

Le polynôme $\sum a_{k}h^{k}$ est la partie régulière du développement.

Théorème — unicité des coefficients. Si $f$ admet un $DL_{n}(a)$, les coefficients $a_{0},\dots,a_{n}$ sont uniques.

Idée de preuve (exigible). Par différence, il suffit de montrer que si $\sum_{k=0}^{n}c_{k}h^{k}=o(h^{n})$ quand $h\to0$, alors tous les $c_{k}$ sont nuls. Sinon, soit $p$ le plus petit indice tel que $c_{p}\neq0$ : en divisant par $h^{p}$, on obtient $c_{p}+c_{p+1}h+\dots\to c_{p}$ d’une part, et $\frac{o(h^{n})}{h^{p}}=o\!\left(h^{n-p}\right)\to0$ d’autre part, donc $c_{p}=0$ : contradiction.

Propriété — conséquences immédiates. Troncature : si $f$ admet un $DL_{n}(a)$, elle admet un $DL_{p}(a)$ pour tout $p\leq n$, obtenu en tronquant la partie régulière. Parité : si $f$ est paire (resp. impaire) au voisinage de $0$, son $DL_{n}(0)$ ne contient que des puissances paires (resp. impaires). Ordres $0$ et $1$ : $f$ admet un $DL_{0}(a)$ si et seulement si $f$ est continue en $a$ (et alors $a_{0}=f(a)$), un $DL_{1}(a)$ si et seulement si $f$ est dérivable en $a$, et alors $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$.

Théorème — formule de Taylor-Young. Soient $n\in\N$, $I$ un intervalle, $f$ de classe $C^{n}$ sur $I$ et $a\in I$. Alors $f$ admet un $DL_{n}(a)$, donné par

Si $f$ est de classe $C^{n}$, l’unicité donne $a_{k}=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ : on lit les dérivées successives sur un DL obtenu autrement.

Idée de preuve de l’ordre $2$ (exigible). Soit $f$ deux fois dérivable en $a$ et $g(h)=f(a+h)-f(a)-f'(a)h-\frac{f''(a)}{2}h^{2}$ : alors $g(0)=0$ et $g'(h)=f'(a+h)-f'(a)-f''(a)h=h\,\varepsilon(h)$ avec $\varepsilon\to0$, par dérivabilité de $f'$ en $a$. L’égalité des accroissements finis donne $g(h)=h\,g'(\theta h)$ avec $\theta\in\intoo{0}{1}$, d’où $\abs{g(h)}\leq h^{2}\sup_{\abs{t}\leq\abs{h}}\abs{\varepsilon(t)}=o\!\left(h^{2}\right)$. Le cas général s’obtient par récurrence sur $n$, à partir du théorème de primitivation ci-dessous appliqué à $f'$.

Propriété — développements limités usuels en $0$, à tout ordre.

4Opérations sur les développements limités

Théorème — combinaison linéaire, produit, quotient. Si $f$ et $g$ admettent des $DL_{n}(0)$ de parties régulières $P$ et $Q$, alors $\lambda f+\mu g$ admet un $DL_{n}(0)$ de partie régulière $\lambda P+\mu Q$, et $fg$ un $DL_{n}(0)$ de partie régulière $PQ$ tronquée à l’ordre $n$. Si de plus $g(0)\neq0$, $\frac{f}{g}$ admet un $DL_{n}(0)$ ; en pratique on écrit $g=g(0)(1+u)$ avec $u\to0$, puis $\frac{1}{1+u}=1-u+u^{2}-\dots$

Théorème — primitivation. Soit $f$ dérivable sur $I$, $a\in I$. Si $f'$ admet un $DL_{n}(a)$ de partie régulière $\sum_{k=0}^{n}c_{k}h^{k}$, alors $f$ admet un $DL_{n+1}(a)$ :

On gagne un ordre, et la constante est $f(a)$. Idée de preuve. Poser $R(h)=f(a+h)-f(a)-\sum\frac{c_{k}}{k+1}h^{k+1}$ : $R(0)=0$ et $R'(h)=o\!\left(h^{n}\right)$, donc pour $\eta>0$ il existe $\delta>0$ tel que $\abs{R'}\leq\eta\abs{h}^{n}$ sur $\intff{-\delta}{\delta}$ ; l’IAF donne $\abs{R(h)}\leq\eta\abs{h}^{n+1}$, soit $R(h)=o\!\left(h^{n+1}\right)$.

Méthode — composition, sur des exemples simples. Aucun résultat général de composition n’est exigible : on procède par substitution, après avoir vérifié que la quantité substituée tend vers $0$. Pour le $DL_{4}(0)$ de $\e^{\sin x}$ : on pose $u=\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o\!\left(x^{4}\right)\to0$, puis $\e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{6}+\frac{u^{4}}{24}+o\!\left(u^{4}\right)$ ; comme $u\sim x$, $o\!\left(u^{4}\right)=o\!\left(x^{4}\right)$, et on développe chaque puissance en ne gardant que les termes de degré $\leq4$ : $\ \e^{\sin x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{8}+o\!\left(x^{4}\right)$.

Méthode — DL en un point $a\neq0$. poser $x=a+h$ et développer $h\mapsto f(a+h)$ en $0$ : en $a=1$, $\ln x=\ln(1+h)=h-\frac{h^{2}}{2}+\frac{h^{3}}{3}+o\!\left(h^{3}\right)$ avec $h=x-1$.

5Applications à l’étude locale

Méthode — limites et équivalents. si le $DL_{n}(a)$ de $f$ a pour premier coefficient non nul $a_{p}$ (avec $p\leq n$), alors $f(a+h)\underset{h\to0}{\sim}a_{p}h^{p}$ : on obtient limites et équivalents sans forme indéterminée, là où le chapitre 9 demandait une quantité conjuguée. Gare à la perte d’ordre : dans un quotient ou une différence les premiers termes se compensent, et il faut partir plus haut que l’ordre voulu. Règle pratique : pour un résultat à l’ordre $q$ après division par $x^{p}$, développer le numérateur à l’ordre $p+q$ (ainsi $\frac{\sin x-x}{x^{3}}$ réclame $\sin$ à l’ordre $3$ au moins).

Théorème — position par rapport à la tangente. Soit $T:y=f(a)+f'(a)(x-a)$ la tangente à $\Cf$ en $a$. Si $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+a_{p}h^{p}+o\!\left(h^{p}\right)$ avec $a_{p}\neq0$ et $p\geq2$, la différence $f(a+h)-\bigl(f(a)+f'(a)h\bigr)\sim a_{p}h^{p}$ a le signe de $a_{p}h^{p}$ : si $p$ est pair, la courbe reste du même côté de $T$ (au-dessus si $a_{p}>0$) ; si $p$ est impair, elle traverse $T$ (point d’inflexion).

Théorème — extremum, condition d’ordre $2$. Soient $f$ deux fois dérivable en $a$ et $a$ intérieur à l’intervalle $I$. Condition nécessaire : si $f$ a un minimum (resp. maximum) local en $a$, alors $f'(a)=0$ et $f''(a)\geq0$ (resp. $\leq0$). Condition suffisante : si $f'(a)=0$ et $f''(a)>0$ (resp. $<0$), alors $f$ a en $a$ un minimum (resp. maximum) local strict. Idée de preuve. Taylor-Young à l’ordre $2$ : $f(a+h)-f(a)=\frac{f''(a)}{2}h^{2}+o\!\left(h^{2}\right)\sim\frac{f''(a)}{2}h^{2}$, du signe de $f''(a)$ près de $0$.

Méthode — asymptote oblique en $+\infty$. poser $h=\frac1x$ (donc $h\to0^{+}$) et chercher un développement $f(x)=\alpha x+\beta+\frac{\gamma}{x}+o\!\left(\frac1x\right)$. La droite $y=\alpha x+\beta$ est alors asymptote à $\Cf$ en $+\infty$, et $f(x)-(\alpha x+\beta)\sim\frac{\gamma}{x}$ donne la position de la courbe (au-dessus si $\gamma>0$, en dessous si $\gamma<0$).

6Développements asymptotiques

Définition. Obtenir un développement asymptotique, c’est écrire une quantité comme une somme finie de termes explicites de plus en plus petits, suivie d’un reste négligeable devant le dernier terme conservé : ainsi $\sqrt{n^{2}+n}=n+\frac12-\frac{1}{8n}+o\!\left(\frac1n\right)$. Un DL en est le cas particulier où les termes sont les puissances de $h$. La notion générale d’échelle de comparaison est hors programme : on travaille sur des exemples, en précisant chaque fois devant quoi le reste est négligeable.

Théorème — formule de Stirling. $\ \displaystyle n!\underset{n\to+\infty}{\sim}\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\e}\right)^{n}$. La démonstration n’est pas exigible.

Méthode — les quatre situations du programme. le ressort commun est la réinjection : on obtient un premier terme, on le reporte dans la relation de départ, ce qui donne le suivant, et ainsi de suite.

• fonction réciproque : écrire $y=f(a+h)$ sous forme de DL, puis inverser terme à terme en identifiant les coefficients de $h=f^{-1}(y)-a$ ;
• équation à paramètre : existence et unicité de la racine $x_{n}$ (théorème de la bijection), encadrement, $\lim x_{n}$, puis réinjection dans l’équation ;
• suite récurrente $u_{n+1}=f(u_{n})$ : chercher $\alpha$ tel que $u_{n+1}^{\alpha}-u_{n}^{\alpha}\to c\neq0$ ; le théorème de Cesàro donne $\frac{u_{n}^{\alpha}}{n}\to c$, d’où un équivalent de $u_{n}$ ;
• suite d’intégrales : encadrer l’intégrande, ou intégrer par parties pour obtenir une relation de récurrence.