Polynômes et fractions rationnelles

1L’anneau $\mathbb{K}[X]$ : degré, intégrité, racines

Notation. Dans tout le chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\R$ ou $\C$.

Définition. On admet l’existence d’un ensemble $\mathbb{K}[X]$, contenant $\mathbb{K}$ et un élément $X$ appelé indéterminée, dont tout élément s’écrit de manière unique $P=\sum_{k\in\N}a_{k}X^{k}=a_{0}+a_{1}X+\cdots+a_{n}X^{n}$, où la famille de scalaires $(a_{k})_{k\in\N}$ est presque nulle (tous nuls sauf un nombre fini). Muni des opérations usuelles, $\mathbb{K}[X]$ est un anneau commutatif. La construction de $\mathbb{K}[X]$ est hors programme. L’unicité des coefficients est l’outil le plus utilisé du chapitre : une égalité entre polynômes équivaut à l’égalité de leurs coefficients un à un — c’est le principe d’identification.

Définition. Soit $P=\sum_{k}a_{k}X^{k}$ non nul. Le degré $\deg P$ est le plus grand $k$ tel que $a_{k}\neq0$, et $a_{\deg P}$ le coefficient dominant ; $P$ est unitaire lorsque ce coefficient vaut $1$. La valuation $v(P)$ est le plus petit $k$ tel que $a_{k}\neq0$. On convient $\deg 0=-\infty$ et $v(0)=+\infty$. Enfin $\mathbb{K}_{n}[X]=\ens{P,\ \deg P\leq n}$ : stable par somme et par produit par un scalaire, pas par produit.

Propriété — degré et valuation. Pour $P,Q\in\mathbb{K}[X]$, $\lambda\in\mathbb{K}^{*}$ et $n\in\N$ : $\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$, avec égalité dès que $\deg P\neq\deg Q$, et $v(P+Q)\geq\min\bigl(v(P),v(Q)\bigr)$ ; $\boxed{\deg(PQ)=\deg P+\deg Q}$, $v(PQ)=v(P)+v(Q)$, $\deg(\lambda P)=\deg P$, $\deg\left(P^{n}\right)=n\deg P$ ; enfin $\deg(P\circ Q)=\deg P\times\deg Q$ si $P$ et $Q$ sont non constants, où $P\circ Q=P(Q)$.

Théorème — intégrité. $\mathbb{K}[X]$ est un anneau intègre : $PQ=0\Rightarrow P=0$ ou $Q=0$. Ses inversibles sont les constantes non nulles : $\mathbb{K}[X]^{\times}=\mathbb{K}^{*}$.

Idée de preuve (exigible). Si $P,Q\neq0$ ont pour coefficients dominants $a$ et $b$, celui de $X^{\deg P+\deg Q}$ dans $PQ$ vaut $ab\neq0$ ($\mathbb{K}$ est un corps) : d’où $PQ\neq0$ et le degré d’un produit. Si $PQ=1$, $\deg P+\deg Q=0$ force $\deg P=\deg Q=0$.

Définition. À $P=\sum_{k}a_{k}X^{k}$ on associe la fonction polynomiale $\widetilde{P}:\mathbb{K}\to\mathbb{K},\ x\mapsto\sum_{k}a_{k}x^{k}$, notée simplement $P$. L’application $P\mapsto\widetilde{P}$ est injective : un polynôme est déterminé par sa fonction polynomiale, ce qui légitime l’identification — licite ici car $\mathbb{K}$ est infini, fausse sur un corps fini. Un scalaire $a$ est racine de $P$ lorsque $P(a)=0$.

Théorème. $a$ est racine de $P\iff (X-a)\mid P$.

Idée de preuve (exigible). La division euclidienne par $X-a$ donne $P=(X-a)Q+R$ avec $\deg R<1$, donc $R$ constant ; en évaluant en $a$, $R=P(a)$. Ainsi $P=(X-a)Q+P(a)$.

Théorème — nombre de racines. Si $P\neq0$, le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{K}$, comptées sans multiplicité, est majoré par $\deg P$. Donc : un polynôme de degré $\leq n$ ayant $n+1$ racines distinctes est nul ; un polynôme ayant une infinité de racines est nul.

Idée de preuve (exigible). Récurrence sur $\deg P$ : si $a$ est racine, $P=(X-a)Q$ avec $\deg Q=\deg P-1$ ; toute racine $b\neq a$ vérifie $(b-a)Q(b)=0$ donc $Q(b)=0$ ($\mathbb{K}$ est intègre), et l’on applique l’hypothèse de récurrence à $Q$.

Méthode — schéma de Horner. pour évaluer $P=a_{n}X^{n}+\cdots+a_{0}$ en $\alpha$, calculer $b_{n}=a_{n}$ puis $b_{k}=b_{k+1}\alpha+a_{k}$ : alors $b_{0}=P(\alpha)$, en $n$ additions et $n$ multiplications seulement, et $b_{n},\dots,b_{1}$ sont les coefficients du quotient de $P$ par $X-\alpha$.

2Divisibilité, division euclidienne

Définition. $B$ divise $A$ (noté $B\mid A$) lorsqu’il existe $Q\in\mathbb{K}[X]$ tel que $A=BQ$. La divisibilité est transitive ; si $B\mid A_{1}$ et $B\mid A_{2}$, alors $B\mid(UA_{1}+VA_{2})$ pour tous $U,V$ ; si $B\mid A$ avec $A\neq0$, alors $\deg B\leq\deg A$.

Théorème — polynômes associés. $A\mid B$ et $B\mid A\iff \exists\lambda\in\mathbb{K}^{*},\ B=\lambda A$ : on dit que $A$ et $B$ sont associés. Deux polynômes associés et unitaires sont égaux. Preuve : $B=AQ$ et $A=BQ'$ donnent $A=AQQ'$, donc $QQ'=1$ par intégrité, donc $Q\in\mathbb{K}^{*}$.

Théorème — division euclidienne. Soient $A\in\mathbb{K}[X]$ et $B\in\mathbb{K}[X]$ non nul. Il existe un unique couple $(Q,R)\in\mathbb{K}[X]^{2}$ tel que

$Q$ est le quotient, $R$ le reste ; de plus $B\mid A\iff R=0$.

Idée de preuve (exigible). Existence par récurrence sur $\deg A$ : si $\deg A<\deg B$, prendre $(0,A)$ ; sinon, avec $n=\deg A$, $m=\deg B$ et $a,b$ les coefficients dominants, le polynôme $A-\frac{a}{b}X^{\,n-m}B$ est de degré $<n$ et l’hypothèse de récurrence s’applique. Unicité : $B(Q-Q')=R'-R$ ; si $Q\neq Q'$ le membre de gauche est de degré $\geq\deg B$, celui de droite $<\deg B$ : absurde.

Méthode — division posée. disposer $A$ et $B$ par degrés décroissants sans omettre les monômes de coefficient nul, éliminer à chaque étape le terme dominant du dividende courant jusqu’à un degré $<\deg B$, puis contrôler en redéveloppant $BQ+R$.

3Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ : le parallèle avec $\Z$

Toute l’arithmétique du chapitre 11 se transpose : le degré remplace la valeur absolue, « unitaire » remplace « positif ».

Théorème — pgcd. Soient $A,B\in\mathbb{K}[X]$ non tous deux nuls. Il existe un unique polynôme unitaire $D$ tel que les diviseurs communs de $A$ et $B$ soient exactement les diviseurs de $D$ ; c’est le diviseur commun de degré maximal, noté $A\wedge B$. Les autres pgcd sont les $\lambda D$, $\lambda\in\mathbb{K}^{*}$. On a $A\wedge B=B\wedge A$, $A\wedge0=A$ normalisé ($A\neq0$), $A\wedge1=1$, $A\wedge B=(A-QB)\wedge B$ pour tout $Q$, et l’associativité, qui autorise $A_{1}\wedge\cdots\wedge A_{n}$.

Théorème — algorithme d’Euclide. On pose $R_{0}=A$, $R_{1}=B\neq0$ et, tant que $R_{k}\neq0$, on note $R_{k+1}$ le reste de la division euclidienne de $R_{k-1}$ par $R_{k}$. L’algorithme s’arrête, et $A\wedge B$ est le dernier reste non nul, rendu unitaire.

Idée de preuve. Terminaison : $(\deg R_{k})_{k\geq1}$ est strictement décroissante dans $\N$ tant que $R_{k}\neq0$. Correction : $R_{k-1}\wedge R_{k}=R_{k}\wedge R_{k+1}$, donc $A\wedge B=R_{N}\wedge0=R_{N}$ normalisé.

Théorème — Bézout et Gauss. Soient $A,B,C\in\mathbb{K}[X]$, avec $A,B$ non tous nuls et $D=A\wedge B$. Relation de Bézout : il existe $(U,V)\in\mathbb{K}[X]^{2}$ tel que $AU+BV=D$ ; on l’obtient par l’algorithme d’Euclide étendu, en remontant les divisions pour exprimer chaque reste en fonction de $A$ et $B$. On dit que $A$ et $B$ sont premiers entre eux lorsque $A\wedge B=1$ ; théorème de Bézout : $A\wedge B=1\iff\exists\,(U,V)\in\mathbb{K}[X]^{2},\ AU+BV=1$. Lemme de Gauss : si $A\mid BC$ et $A\wedge B=1$, alors $A\mid C$.

Idées de preuve (exigibles). Bézout ($\Leftarrow$) : tout diviseur commun $E$ divise $AU+BV=1$, donc $\deg E=0$. Gauss : de $AU+BV=1$ on tire $C=ACU+(BC)V$, combinaison de deux multiples de $A$.

Propriété — conséquences. Si $A\mid C$, $B\mid C$ et $A\wedge B=1$, alors $AB\mid C$ ; si $A\wedge C=1$ et $B\wedge C=1$, alors $(AB)\wedge C=1$ ; si $D=A\wedge B$, $A=DA_{1}$, $B=DB_{1}$, alors $A_{1}\wedge B_{1}=1$. Le ppcm $A\vee B$ ($A,B$ non nuls) est l’unique multiple commun unitaire de degré minimal ; les multiples communs sont ses multiples, et $(A\wedge B)(A\vee B)$ est associé à $AB$.

Définition. $P$ est irréductible dans $\mathbb{K}[X]$ lorsque $\deg P\geq1$ et que ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles et les $\lambda P$. Tout polynôme de degré $1$ est irréductible, et tout polynôme de degré $\geq1$ s’écrit, de façon unique à l’ordre près, comme produit d’une constante et de facteurs irréductibles unitaires. L’irréductibilité dépend du corps : $X^{2}+1$ est irréductible dans $\R[X]$ mais vaut $(X-i)(X+i)$ dans $\C[X]$ ; et « pas de racine dans $\mathbb{K}$ » n’entraîne pas « irréductible » dès le degré $4$, comme le montre $X^{4}+X^{2}+1=\left(X^{2}+X+1\right)\left(X^{2}-X+1\right)$, sans racine réelle.

4Dérivation formelle, multiplicité d’une racine

Définition. Pour $P=\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$, le polynôme dérivé est $P'=\sum_{k=1}^{n}k\,a_{k}X^{k-1}$, et $P^{(0)}=P$, $P^{(k+1)}=\left(P^{(k)}\right)'$. Si $\deg P=n\geq1$ alors $\deg P'=n-1$ ; si $P$ est constant, $P'=0$. Pour $\mathbb{K}=\R$, $\widetilde{P'}=\bigl(\widetilde{P}\bigr)'$ : la dérivée formelle prolonge la dérivée usuelle.

Propriété — opérations. Pour $P,Q\in\mathbb{K}[X]$, $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$, $n\in\N$, $a\in\mathbb{K}$ et $k\leq m$ : $(\lambda P+\mu Q)'=\lambda P'+\mu Q'$ ; $(PQ)'=P'Q+PQ'$ ; $(P\circ Q)'=Q'\times\left(P'\circ Q\right)$ ; $\left(\left(X-a\right)^{m}\right)^{(k)}=\frac{m!}{(m-k)!}\left(X-a\right)^{m-k}$ ; et la formule de Leibniz $\displaystyle (PQ)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}P^{(k)}Q^{(n-k)}$.

Théorème — formule de Taylor polynomiale. Pour $P\in\mathbb{K}_{n}[X]$ et $a\in\mathbb{K}$ : $\ \boxed{P=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(X-a)^{k}}$ — une égalité de polynômes, exacte et sans reste, qui exprime $P$ en fonction des puissances de $X-a$.

Idée de preuve. Une récurrence sur $\deg P$ permet d’écrire $P=\sum_{k=0}^{n}c_{k}(X-a)^{k}$ ; en dérivant $j$ fois et en évaluant en $a$, il ne reste que $j!\,c_{j}$.

Définition. Soient $P\neq0$, $a\in\mathbb{K}$ et $m\in\N^{*}$. $a$ est racine de $P$ de multiplicité $m$ lorsque $(X-a)^{m}\mid P$ et $(X-a)^{m+1}\nmid P$, c’est-à-dire lorsque $P=(X-a)^{m}Q$ avec $Q(a)\neq0$ : racine simple si $m=1$, double si $m=2$ (et multiplicité $0$ si $P(a)\neq0$).

Théorème — caractérisation par les dérivées. Pour $P\neq0$, $a\in\mathbb{K}$, $m\in\N^{*}$ :

et $(X-a)^{m}\mid P\iff P(a)=\cdots=P^{(m-1)}(a)=0$. De plus, si $a$ est de multiplicité $m\geq1$ pour $P$, elle est de multiplicité exactement $m-1$ pour $P'$. En particulier : $P$ n’a que des racines simples $\iff \boxed{P\wedge P'=1}$.

Idée de preuve (exigible). La formule de Taylor en $a$ écrit $P$ comme polynôme en $X-a$ ; sa valuation est le plus petit $k$ tel que $P^{(k)}(a)\neq0$, et c’est par définition la multiplicité de $a$. Les deux conditions sont nécessaires : sans « $P^{(m)}(a)\neq0$ » on n’obtient que $(X-a)^{m}\mid P$, c’est-à-dire multiplicité $\geq m$ ; et $P^{(m)}(a)=0$ signifie une multiplicité $>m$, pas $=m$.

Définition. $P$ de degré $n\geq1$ est scindé sur $\mathbb{K}$ lorsqu’il est produit de facteurs de degré $1$ de $\mathbb{K}[X]$ :

où $c$ est le coefficient dominant, les $a_{i}$ les racines distinctes de multiplicités $m_{i}$, et $x_{1},\dots,x_{n}$ la liste des racines comptées avec multiplicité. Autrement dit : $P$ est scindé $\iff$ la somme des multiplicités de ses racines dans $\mathbb{K}$ vaut $\deg P$.

Théorème — relations coefficients-racines. Soit $P=\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$ de degré $n\geq1$, scindé, de racines $x_{1},\dots,x_{n}$ comptées avec multiplicité. En notant $\sigma_{p}=\sum_{1\leq i_{1}<\cdots<i_{p}\leq n}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{p}}$, on a $\sigma_{p}=(-1)^{p}\frac{a_{n-p}}{a_{n}}$ pour $1\leq p\leq n$ ; en particulier

Seules la somme et le produit sont à connaître : les autres se retrouvent en développant $a_{n}\prod_{j}(X-x_{j})$. Pour $P=X^{3}+pX^{2}+qX+r$ scindé : $\sigma_{1}=-p$, $\sigma_{2}=q$, $\sigma_{3}=-r$, d’où $\sum x_{j}^{2}=\sigma_{1}^{2}-2\sigma_{2}=p^{2}-2q$.

5Polynômes scindés, factorisation dans $\C[X]$ et dans $\R[X]$

Théorème — théorème de d’Alembert-Gauss. Tout polynôme de $\C[X]$ de degré $\geq1$ admet au moins une racine dans $\C$ : $\C$ est algébriquement clos. La démonstration est hors programme.

Théorème — conséquences dans $\C[X]$. Soit $P\in\C[X]$ de degré $n\geq1$, de coefficient dominant $c$. Alors $P$ est scindé sur $\C$ : $P=c\prod_{i=1}^{r}(X-a_{i})^{m_{i}}$, les $a_{i}$ distincts et $\sum_{i}m_{i}=n$, écriture unique à l’ordre près ; les irréductibles de $\C[X]$ sont exactement les polynômes de degré $1$ ; $B\mid P$ si et seulement si chaque racine de $B$ est racine de $P$ avec une multiplicité au moins égale ; et deux polynômes de $\C[X]$ sont premiers entre eux si et seulement si ils n’ont aucune racine commune.

Théorème — factorisation de $X^{n}-1$. Pour $n\in\N^{*}$, dans $\C[X]$ :

Idée de preuve (exigible). $X^{n}-1$ est unitaire de degré $n$ et admet les $n$ racines $n$-ièmes de l’unité, distinctes : il est scindé à racines simples ; la seconde égalité s’obtient en divisant par $X-1$.

Théorème — racines conjuguées. Soient $P\in\R[X]$ et $a\in\C$. Alors $\overline{a}$ est racine de $P$ de même multiplicité que $a$.

Idée de preuve (exigible). Les $P^{(k)}$ sont à coefficients réels, donc $\overline{P^{(k)}(a)}=P^{(k)}(\overline{a})$ ; ainsi $P^{(k)}(a)=0\iff P^{(k)}(\overline{a})=0$ pour tout $k$, et la caractérisation par les dérivées donne l’égalité des multiplicités.

Théorème — irréductibles et factorisation dans $\R[X]$. Les irréductibles de $\R[X]$ sont les polynômes de degré $1$ et les polynômes de degré $2$ de discriminant strictement négatif. Tout $P\in\R[X]$ de degré $\geq1$ et de coefficient dominant $c$ s’écrit donc, de façon unique à l’ordre près,

les $a_{i}$ réels distincts et les trinômes distincts. Conséquence : tout polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle.

Méthode — factoriser dans $\R[X]$. factoriser dans $\C[X]$, puis regrouper les racines conjuguées : $(X-a)(X-\overline{a})=X^{2}-2\Ree(a)X+\abs{a}^{2}$, de discriminant $<0$ dès que $a\notin\R$.

6Interpolation de Lagrange

Théorème. Soient $n\in\N^{*}$, $x_{1},\dots,x_{n}\in\mathbb{K}$ deux à deux distincts et $y_{1},\dots,y_{n}\in\mathbb{K}$. Il existe un unique $L\in\mathbb{K}_{n-1}[X]$ tel que $L(x_{i})=y_{i}$ pour tout $i$, à savoir

et, en posant $\Pi=\prod_{j=1}^{n}(X-x_{j})$, l’ensemble de tous les $Q\in\mathbb{K}[X]$ tels que $Q(x_{i})=y_{i}$ pour tout $i$ est $\ens{L+\Pi S,\ S\in\mathbb{K}[X]}$.

Idée de preuve (exigible). Unicité : la différence de deux solutions de $\mathbb{K}_{n-1}[X]$ est de degré $\leq n-1$ avec $n$ racines distinctes, donc nulle. Existence : les $L_{i}$ sont bien définis, de degré $n-1$, et $L_{i}(x_{j})=\delta_{ij}$. Description : $Q$ convient $\iff Q-L$ s’annule en tous les $x_{i}\iff\Pi\mid(Q-L)$, les $X-x_{j}$ étant premiers entre eux deux à deux.

7Fractions rationnelles et éléments simples

Définition. On admet l’existence du corps $\mathbb{K}(X)$ des fractions rationnelles : ses éléments s’écrivent $F=\frac{P}{Q}$ avec $Q\neq0$, deux écritures $\frac{P}{Q}$ et $\frac{P_{1}}{Q_{1}}$ représentant la même fraction si et seulement si $PQ_{1}=P_{1}Q$. La construction de $\mathbb{K}(X)$ est hors programme. Toute $F\neq0$ s’écrit de manière unique $F=\frac{P}{Q}$ avec $P\wedge Q=1$ et $Q$ unitaire : c’est la forme irréductible. On pose alors $\deg F=\deg P-\deg Q\in\Z$, et $\deg(FG)=\deg F+\deg G$, $\deg(F+G)\leq\max(\deg F,\deg G)$. Les zéros de $F$ sont les racines de $P$, ses pôles les racines de $Q$, avec leurs multiplicités ; la fonction rationnelle associée est définie sur $\mathbb{K}$ privé des pôles.

Théorème — partie entière. Pour $F=\frac{P}{Q}$, la division euclidienne $P=QE+R$ donne $F=E+\frac{R}{Q}$ avec $\deg\frac{R}{Q}<0$ : $E$ est la partie entière de $F$, l’unique polynôme tel que $\deg(F-E)<0$, nul si et seulement si $\deg F<0$.

Théorème — décomposition en éléments simples. Soit $F\in\mathbb{K}(X)$ de forme irréductible $\frac{P}{Q}$, et $Q=c\prod_{i=1}^{r}Q_{i}^{\,m_{i}}$ la décomposition de $Q$ en irréductibles unitaires distincts de $\mathbb{K}[X]$. Alors $F$ s’écrit de manière unique

La démonstration est hors programme. Sur $\C$ les termes sont des $\frac{\lambda_{i,k}}{(X-a_{i})^{k}}$ ; sur $\R$ s’y ajoutent des $\frac{\alpha X+\beta}{\left(X^{2}+pX+q\right)^{k}}$, un par facteur irréductible de degré $2$ et par exposant.

Théorème — coefficient d’un pôle simple. Si $a$ est un pôle simple de $F=\frac{P}{Q}$ (forme irréductible), le coefficient de $\frac{1}{X-a}$ vaut $\ \lambda=\frac{P(a)}{Q'(a)}=\lim_{x\to a}(x-a)F(x)$.

Idée de preuve (exigible). $Q=(X-a)Q_{1}$ avec $Q_{1}(a)\neq0$, et $\lambda=\frac{P(a)}{Q_{1}(a)}$ ; or $Q'=Q_{1}+(X-a)Q_{1}'$ donne $Q'(a)=Q_{1}(a)$.

Méthode — calculer une décomposition en éléments simples. (1) rendre la forme irréductible et factoriser $Q$ ; (2) extraire la partie entière si $\deg P\geq\deg Q$ ; (3) écrire la forme a priori sans oublier un terme ; (4) multiplier par $(X-a)^{m}$ et évaluer en $a$ pour le coefficient de $\frac{1}{(X-a)^{m}}$ (pour un pôle simple, $\frac{P(a)}{Q'(a)}$) ; (5) obtenir le reste par évaluation en $0$ ou $1$, parité, ou limite de $xF(x)$ en $+\infty$, et contrôler en un point qui n’est pas un pôle.

Théorème — décomposition de $P'/P$. Si $P$ est non constant et scindé sur $\mathbb{K}$, de racines distinctes $a_{1},\dots,a_{r}$ de multiplicités $m_{1},\dots,m_{r}$, alors $\ \dfrac{P'}{P}=\displaystyle\sum_{i=1}^{r}\frac{m_{i}}{X-a_{i}}$ : tous les pôles sont simples et les coefficients sont les multiplicités. Preuve : dériver $P=c\prod_{i}(X-a_{i})^{m_{i}}$, puis diviser par $P$.