Nombres complexes

1Le corps $\C$, forme algébrique

Définition. On admet l’existence d’un corps commutatif $\C$ contenant $\R$, dont les opérations prolongent celles de $\R$, et d’un élément $i$ vérifiant $i^{2}=-1$, tels que tout $z\in\C$ s’écrive de manière unique $z=a+ib$ avec $(a,b)\in\R^{2}$. Le réel $a$ est la partie réelle $\Ree(z)$, le réel $b$ la partie imaginaire $\Imm(z)$. La construction de $\C$ est hors programme.

Propriété. L’unicité de l’écriture donne, pour $z\in\C$ : $\ z\in\R\iff \Imm(z)=0$ et $z\in i\R\iff \Ree(z)=0$. Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : une égalité dans $\C$ équivaut à deux égalités dans $\R$.

Propriété — inverse. Pour $z=a+ib$ non nul, $\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-ib}{a^{2}+b^{2}}$. On passe d’un quotient à la forme algébrique en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Propriété — identités valables dans $\C$. Pour $z,z'\in\C$ et $n\in\N$ :

Notation — plan complexe. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vv{u},\vv{v})$. Au complexe $z=a+ib$ on associe le point $M$ de coordonnées $(a,b)$, appelé image de $z$ ; réciproquement $z$ est l’affixe de $M$, notée $z_{M}$. L’affixe du vecteur $\vect{AB}$ est $z_{B}-z_{A}$.

2Conjugaison et module

Définition. Le conjugué de $z=a+ib$ est $\overline{z}=a-ib$ ; le module de $z$ est le réel positif $\abs{z}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.

Propriété — conjugaison. Pour $z,z'\in\C$ et $n\in\Z$ (avec $z\neq0$ si $n<0$) :

Géométriquement, $z\mapsto\overline{z}$ est la réflexion d’axe $(O;\vv{u})$.

Propriété — module. Pour $z,z'\in\C$ : $\ \abs{z}\geq0$ avec $\abs{z}=0\iff z=0$ ; $\ \boxed{\abs{z}^{2}=z\overline{z}}$ ; $\ \abs{zz'}=\abs{z}\abs{z'}$ ; $\ \left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{\abs{z}}{\abs{z'}}$ si $z'\neq0$ ; $\ \abs{z^{n}}=\abs{z}^{n}$ ; $\ \abs{\overline{z}}=\abs{z}$ ; $\ \abs{\Ree(z)}\leq\abs{z}$ et $\abs{\Imm(z)}\leq\abs{z}$. Si $z\neq0$, $\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{\abs{z}^{2}}$.

Remarque. $\abs{z-z_{0}}$ est la distance $\Omega M$ entre les points d’affixes $z_{0}$ et $z$ : $\abs{z-z_{0}}=r$ (avec $r>0$) décrit le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$, et $\abs{z-z_{0}}\leq r$ le disque fermé correspondant.

Théorème — inégalité triangulaire. Pour tous $z,z'\in\C$ : $\ \abs{z+z'}\leq\abs{z}+\abs{z'}$, avec égalité si et seulement si $z=0$ ou il existe $\lambda\in\R_{+}$ tel que $z'=\lambda z$. On en déduit $\ \bigl|\,\abs{z}-\abs{z'}\,\bigr|\leq\abs{z-z'}$ et, par récurrence, $\left|\sum_{k=1}^{n}z_{k}\right|\leq\sum_{k=1}^{n}\abs{z_{k}}$.

Idée de preuve (exigible). $\abs{z+z'}^{2}=\abs{z}^{2}+2\Ree(z\overline{z'})+\abs{z'}^{2}\leq\bigl(\abs{z}+\abs{z'}\bigr)^{2}$ car $\Ree(w)\leq\abs{w}$ ; les deux membres étant positifs, on conclut par croissance de $t\mapsto t^{2}$ sur $\R_{+}$. L’égalité impose $\Ree(z\overline{z'})=\abs{z\overline{z'}}$, i.e. $z\overline{z'}\in\R_{+}$, d’où $z'=\frac{z\overline{z'}}{\abs{z}^{2}}z$ si $z\neq0$.

3Nombres complexes de module $1$ et trigonométrie

Définition. On note $\U=\ens{z\in\C,\ \abs{z}=1}$ : c’est le cercle trigonométrique. Pour $t\in\R$ on pose $\ \e^{it}=\cos t+i\sin t$.

Propriété. $\U=\ens{\e^{it},\ t\in\R}$, et $\ \e^{it}=\e^{it'}\iff t\equiv t' \ [2\pi]$. De plus $z\in\U\iff \overline{z}=\dfrac{1}{z}$, et $\U$ est stable par produit et par passage à l’inverse.

Propriété. Pour $s,t\in\R$ et $n\in\Z$ : $\ \e^{i(s+t)}=\e^{is}\e^{it}$, $\ \overline{\e^{it}}=\e^{-it}=\dfrac{1}{\e^{it}}$, $\ \e^{i0}=1$, et

Idée de preuve (exigible). $\e^{i(s+t)}=\e^{is}\e^{it}$ n’est que la réécriture des formules d’addition de $\cos$ et $\sin$ ; Moivre s’en déduit par récurrence pour $n\in\N$, puis par passage à l’inverse pour $n<0$ ; Euler s’obtient en additionnant ou soustrayant $\e^{it}$ et $\e^{-it}$.

Théorème — technique de l’angle moitié. Pour $t,p,q\in\R$ :

Idée de preuve (exigible). Factoriser par l’exponentielle de l’angle moitié : $1-\e^{it}=\e^{it/2}\left(\e^{-it/2}-\e^{it/2}\right)$, puis reconnaître $-2i\sin(t/2)$ par Euler.

Méthode — linéariser $\cos^{p}t\,\sin^{q}t$. remplacer $\cos t$ et $\sin t$ par les formules d’Euler, développer par le binôme, puis regrouper les termes conjugués $\e^{ikt}+\e^{-ikt}=2\cos(kt)$.

Méthode — exprimer $\cos(nt)$ et $\sin(nt)$ en fonction de $\cos t$ et $\sin t$. écrire $\cos(nt)+i\sin(nt)=(\cos t+i\sin t)^{n}$ (Moivre), développer par le binôme, puis identifier parties réelle et imaginaire.

Théorème — sommes trigonométriques. Soient $t\in\R$ et $n\in\N$. Si $t\not\equiv 0\ [2\pi]$,

et $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\sin(kt)=\frac{\sin\!\left(\frac{(n+1)t}{2}\right)}{\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)}\sin\!\left(\frac{nt}{2}\right)$. Si $t\equiv0\ [2\pi]$, les sommes valent respectivement $n+1$ et $0$.

4Forme trigonométrique et arguments

Théorème. Tout $z\in\C^{*}$ s’écrit $z=r\e^{i\theta}$ avec $r>0$ et $\theta\in\R$ ; alors $r=\abs{z}$ est unique et $\theta$ est unique modulo $2\pi$. Tout tel $\theta$ est un argument de $z$, on note $\arg z$ l’un d’eux, l’égalité entre arguments s’entendant modulo $2\pi$.

Propriété. Pour $z,z'\in\C^{*}$ et $n\in\Z$ :

De plus $z\in\R_{+}^{*}\iff\arg z\equiv0\ [2\pi]$, $z\in\R^{*}\iff\arg z\equiv0\ [\pi]$, $z\in i\R^{*}\iff\arg z\equiv\frac{\pi}{2}\ [\pi]$.

Méthode — passage à la forme trigonométrique. calculer $r=\abs{z}$, puis écrire $\frac{z}{r}=\cos\theta+i\sin\theta$ et lire $\theta$ sur le cercle à partir du couple $(\cos\theta,\sin\theta)$ — jamais de $\tan\theta$ seul, qui ne détermine $\theta$ que modulo $\pi$.

Théorème — transformation de $a\cos t+b\sin t$. Soient $(a,b)\in\R^{2}\setminus\ens{(0,0)}$ et $A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$. En notant $\varphi$ un argument de $a+ib$, on a, pour tout $t\in\R$,

Idée de preuve. $a\cos t+b\sin t=\Ree\bigl((a-ib)\e^{it}\bigr)=\Ree\bigl(A\e^{-i\varphi}\e^{it}\bigr)=A\cos(t-\varphi)$.

5Équations algébriques dans $\C$

Théorème — racines carrées. Tout $Z\in\C^{*}$ admet exactement deux racines carrées, opposées l’une de l’autre.

Méthode — racines carrées sous forme algébrique. pour $Z=x+iy$, on cherche $\delta=\alpha+i\beta$ tel que $\delta^{2}=Z$. Le système

(les deux premières équations traduisent $\delta^{2}=Z$, la troisième $\abs{\delta}^{2}=\abs{Z}$) donne $\alpha^{2}=\frac{\abs{Z}+x}{2}$, $\beta^{2}=\frac{\abs{Z}-x}{2}$, et le signe de $\alpha\beta$ est celui de $y$.

Théorème — équation du second degré. Soient $a,b,c\in\C$ avec $a\neq0$, et $\Delta=b^{2}-4ac$. Soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ dans $\C$. Alors

Si $\Delta=0$, ces deux racines sont confondues (racine double). Dans tous les cas $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$, et

Réciproquement, deux complexes de somme $S$ et de produit $P$ sont exactement les racines de $z^{2}-Sz+P=0$.

Remarque. Si $a,b,c$ sont réels et $\Delta<0$, alors $\delta=i\sqrt{-\Delta}$ et les racines sont conjuguées.

Théorème — factorisation par une racine. Si $P$ est une fonction polynomiale à coefficients complexes de degré $n\geq1$ et si $P(a)=0$, alors il existe une fonction polynomiale $Q$ de degré $n-1$, de même coefficient dominant, telle que $P(z)=(z-a)Q(z)$ pour tout $z\in\C$.

6Racines $n$-ièmes

Définition. Pour $n\in\N^{*}$, $\U_{n}=\ens{z\in\C,\ z^{n}=1}$ est l’ensemble des racines $n$-ièmes de l’unité.

Notation. Pour $n=3$, on note traditionnellement $j=\e^{2i\pi/3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; alors $\U_{3}=\ens{1,j,j^{2}}$, $\ \overline{j}=j^{2}=\frac{1}{j}$ et $\ 1+j+j^{2}=0$.

Théorème — racines $n$-ièmes d’un complexe. Soit $a=\rho\,\e^{i\alpha}$ avec $\rho>0$. L’équation $z^{n}=a$ admet exactement $n$ solutions : $\ z_{k}=\rho^{1/n}\,\e^{i\frac{\alpha+2k\pi}{n}}$, $k\in\intent{0}{n-1}$. Comme $z_{k}=z_{0}\,\omega^{k}$, on obtient toutes les solutions en multipliant une solution particulière par les racines $n$-ièmes de l’unité.

7Exponentielle complexe

Définition. Pour $z\in\C$, on pose $\ \e^{z}=\exp(z)=\e^{\Ree(z)}\,\e^{i\,\Imm(z)}$. Cette définition prolonge à la fois l’exponentielle réelle et la notation $\e^{it}$.

Propriété. Pour $z,z'\in\C$ : $\ \e^{z}\neq0$, $\ \abs{\e^{z}}=\e^{\Ree(z)}$, $\ \arg\!\left(\e^{z}\right)\equiv\Imm(z)\ [2\pi]$, $\ \e^{z+z'}=\e^{z}\e^{z'}$, $\ \e^{-z}=\dfrac{1}{\e^{z}}$, $\ \overline{\e^{z}}=\e^{\overline{z}}$.

Théorème. $\ \e^{z}=\e^{z'}\iff z-z'\in2i\pi\Z$. En particulier $\e^{z}=1\iff z\in2i\pi\Z$ : $\exp$ n’est pas injective, elle est $2i\pi$-périodique.

Méthode — résoudre $\e^{z}=a$. si $a=0$, pas de solution. Si $a\neq0$, écrire $a=\rho\e^{i\alpha}$ avec $\rho>0$ ; alors, en posant $z=x+iy$, $\e^{x}=\rho$ et $y\equiv\alpha\ [2\pi]$, d’où $\mathcal{S}=\ens{\ln\rho+i(\alpha+2k\pi),\ k\in\Z}$ : l’exponentielle complexe est une surjection de $\C$ sur $\C^{*}$.

8Interprétation géométrique

Propriété. Soient $A$, $B$, $C$ d’affixes $a$, $b$, $c$, avec $A\neq B$ et $A\neq C$. Alors

On en déduit : $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \dfrac{c-a}{b-a}\in\R$ ; $(AB)\perp(AC)\iff \dfrac{c-a}{b-a}\in i\R^{*}$.

Théorème — application $z\mapsto az+b$. Soient $a\in\C^{*}$, $b\in\C$ et $f:z\mapsto az+b$.

• Si $a=1$, $f$ est la translation de vecteur d’affixe $b$ (sans point fixe si $b\neq0$).
• Si $a\neq1$, $f$ admet un unique point fixe $\omega=\frac{b}{1-a}$ et $f(z)-\omega=a(z-\omega)$ pour tout $z$ : $f$ est la similitude directe de centre $\Omega$ (d’affixe $\omega$), de rapport $\abs{a}$, d’angle $\arg a$, composée de l’homothétie et de la rotation de centre $\Omega$ correspondantes.
• Cas particuliers : si $a\in\R^{*}\setminus\ens{1}$, $f$ est l’homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $a$ ; si $\abs{a}=1$ et $a\neq1$, $f$ est la rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\arg a$.

Enfin $z\mapsto\overline{z}$ est la réflexion d’axe $(O;\vv{u})$. Toute étude générale des similitudes est hors programme.