Dimension et applications linéaires

$\mathbb{K}$ désigne $\R$ ou $\C$, et $E$, $F$, $G$ des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels ; toute hypothèse de dimension finie est écrite explicitement. L’étude théorique des espaces de dimension infinie et la dualité sont hors programme.

1Espaces de dimension finie, existence de bases

Définition. $E$ est de dimension finie s’il admet une famille génératrice finie. Sinon, $E$ est dit de dimension infinie.

Notation. $\mathbb{K}^{n}$, $\mathbb{K}_{n}[X]$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ sont de dimension finie ; $\mathbb{K}[X]$ et $\mathbb{K}^{\N}$ ne le sont pas.

Théorème — base extraite. Soit $E\neq\ens{0}$ de dimension finie et $(x_{1},\dots,x_{n})$ une famille génératrice de $E$. Alors on peut en extraire une base : il existe $I\subset\intent{1}{n}$ tel que $(x_{i})_{i\in I}$ soit une base de $E$.

Théorème — base incomplète. Soit $E$ de dimension finie, $(x_{1},\dots,x_{n})$ une famille génératrice de $E$ et $(x_{i})_{i\in I}$ une sous-famille libre ($I\subset\intent{1}{n}$). Alors il existe $J$ avec $I\subset J\subset\intent{1}{n}$ tel que $(x_{j})_{j\in J}$ soit une base de $E$. En particulier : toute famille libre d’un espace de dimension finie se complète en une base à l’aide de vecteurs d’une famille génératrice donnée.

Idée de preuve (exigible). On considère l’ensemble des parties $J\supset I$ telles que $(x_{j})_{j\in J}$ soit libre ; il est non vide (il contient $I$) et fini, donc possède un élément $J$ de cardinal maximal. Pour $k\notin J$, la famille $(x_{j})_{j\in J}\cup(x_{k})$ est liée par maximalité, donc $x_{k}\in\operatorname{Vect}(x_{j})_{j\in J}$ (le seul coefficient pouvant être non nul dans une relation est celui de $x_{k}$, car $(x_{j})_{j\in J}$ est libre). Ainsi $\operatorname{Vect}(x_{j})_{j\in J}$ contient tous les $x_{k}$, donc contient $\operatorname{Vect}(x_{1},\dots,x_{n})=E$ : la famille est libre et génératrice, c’est une base.

Remarque. Il n’y a aucune unicité du complément, et on ne complète pas avec n’importe quel vecteur : $\bigl((1,1,0),(0,0,1)\bigr)$ est libre dans $\R^{3}$ mais $(2,2,0)$ ne la complète pas en une base.

2Dimension

Théorème — lemme fondamental. Si $E$ est engendré par $n$ vecteurs, alors toute famille de $n+1$ vecteurs de $E$ est liée. Autrement dit : dans un espace engendré par $n$ vecteurs, une famille libre a au plus $n$ éléments.

Idée de preuve (exigible). Récurrence sur $n$ : pour $n=1$, deux vecteurs d’une droite sont colinéaires ; pour l’hérédité, on décompose les $n+1$ vecteurs sur la famille génératrice et l’on élimine le dernier générateur par combinaisons, se ramenant à $n$ vecteurs d’un espace engendré par $n-1$ vecteurs.

Théorème — dimension. Si $E\neq\ens{0}$ est de dimension finie, toutes ses bases ont le même cardinal fini, appelé dimension de $E$ et noté $\dim E$. Par convention $\dim\ens{0}=0$.

Propriété — dimensions usuelles.

Théorème — caractérisation des bases par le cardinal. Soit $E$ de dimension finie $n\geq1$ et $\mathcal{F}$ une famille de exactement $n$ vecteurs de $E$. Alors

Méthode — prouver qu’une famille est une base. compter d’abord ses éléments. Si le cardinal vaut $\dim E$, une seule des deux vérifications suffit — en pratique la liberté, qui se ramène à un système linéaire homogène.

Définition. Le rang d’une famille finie de vecteurs est $\operatorname{rg}(x_{1},\dots,x_{n})=\dim\operatorname{Vect}(x_{1},\dots,x_{n})$. On a toujours $\operatorname{rg}(x_{1},\dots,x_{n})\leq n$, avec égalité si et seulement si la famille est libre.

3Sous-espaces et dimension

Théorème. Soit $E$ de dimension finie et $F$ un sous-espace de $E$. Alors $F$ est de dimension finie, $\ \dim F\leq\dim E$, et

Remarque. L’implication « $\dim F=\dim E\Rightarrow F=E$ » exige que $F$ soit un sous-espace de $E$ et $\dim E$ finie ; deux sous-espaces quelconques de même dimension n’ont, eux, aucune raison d’être égaux.

Théorème — formule de Grassmann. Si $E_{1}$ et $E_{2}$ sont deux sous-espaces de dimension finie de $E$,

Idée de preuve (exigible). On complète une base $(a_{i})$ de $E_{1}\cap E_{2}$ en une base $(a_{i},b_{j})$ de $E_{1}$ et en une base $(a_{i},c_{k})$ de $E_{2}$ ; la famille $(a_{i},b_{j},c_{k})$ est une base de $E_{1}+E_{2}$ — pour la liberté, on écrit $\sum\lambda_{j}b_{j}=-\sum\mu_{k}c_{k}\in E_{1}\cap E_{2}$.

Théorème — somme directe et dimension. Soient $E_{1},E_{2}$ de dimension finie. Alors

et, si $E$ est de dimension finie, deux des trois conditions suivantes entraînent la troisième — donc caractérisent $E=E_{1}\oplus E_{2}$ :

Théorème — existence d’un supplémentaire. Tout sous-espace $F$ d’un espace $E$ de dimension finie admet au moins un supplémentaire, et tous ses supplémentaires ont pour dimension $\dim E-\dim F$. Un supplémentaire n’est jamais unique dès que $F\neq\ens{0}$ et $F\neq E$.

Notation — base adaptée. Si $E=F\oplus G$, la concaténation d’une base de $F$ et d’une base de $G$ est une base de $E$, dite adaptée à la décomposition. Plus généralement pour $E=F_{1}\oplus\dots\oplus F_{m}$.

4Applications linéaires : noyau, image, rang

Définition. $u:E\to F$ est linéaire si $u(\lambda x+\mu y)=\lambda u(x)+\mu u(y)$ pour tous $x,y\in E$, $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$. On note $\mathcal{L}(E,F)$ l’ensemble de ces applications ; c’est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Un isomorphisme est une application linéaire bijective ; sa réciproque est alors linéaire.

Propriété. $\operatorname{Ker} u=\ens{x\in E,\ u(x)=0_{F}}$ est un sous-espace de $E$ ; $\operatorname{Im} u=u(E)$ est un sous-espace de $F$. Plus généralement l’image directe et l’image réciproque d’un sous-espace par $u$ sont des sous-espaces.

Théorème — caractérisation de l’injectivité. $u$ est injective $\iff\operatorname{Ker} u=\ens{0_{E}}$.

Idée de preuve (exigible). Si $u$ est injective et $u(x)=0=u(0)$ alors $x=0$. Réciproquement, $u(x)=u(y)\Rightarrow u(x-y)=0\Rightarrow x-y\in\operatorname{Ker} u=\ens{0}$, par linéarité.

Propriété — image et famille génératrice. Si $(x_{i})_{i\in I}$ engendre $E$, alors $\operatorname{Im} u=\operatorname{Vect}\bigl(u(x_{i})\bigr)_{i\in I}$. En particulier, si $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{p})$ est une base de $E$, $\ \operatorname{Im} u=\operatorname{Vect}\bigl(u(e_{1}),\dots,u(e_{p})\bigr)$ et $\ \operatorname{rg} u=\operatorname{rg}\bigl(u(e_{1}),\dots,u(e_{p})\bigr)$.

Définition. Si $\operatorname{Im} u$ est de dimension finie, le rang de $u$ est $\operatorname{rg} u=\dim\operatorname{Im} u$.

Propriété. Pour $u\in\mathcal{L}(E,F)$ et $v\in\mathcal{L}(F,G)$ (images de dimension finie) : $\ \operatorname{rg}(v\circ u)\leq\min(\operatorname{rg} u,\operatorname{rg} v)$. De plus le rang est invariant par composition par un isomorphisme : si $\varphi$ et $\psi$ sont des isomorphismes, $\operatorname{rg}(\psi\circ u\circ\varphi)=\operatorname{rg} u$.

5Endomorphismes, projecteurs et symétries

Définition. Un endomorphisme de $E$ est un élément de $\mathcal{L}(E)=\mathcal{L}(E,E)$. $\bigl(\mathcal{L}(E),+,\circ\bigr)$ est un anneau d’unité $\operatorname{id}_{E}$, non commutatif dès que $\dim E\geq2$. On note $vu$ pour $v\circ u$ et $u^{k}$ pour $u\circ\dots\circ u$. Les automorphismes de $E$ forment le groupe $\mathrm{GL}(E)$ des inversibles de cet anneau.

Définition. Si $E=F\oplus G$, la projection sur $F$ parallèlement à $G$ est $p:x=x_{F}+x_{G}\mapsto x_{F}$, et la symétrie associée est $s:x\mapsto x_{F}-x_{G}$.

Théorème — caractérisations. Soit $p\in\mathcal{L}(E)$. Alors

et dans ce cas $\ \boxed{E=\operatorname{Im} p\oplus\operatorname{Ker} p}$ avec $\operatorname{Im} p=\operatorname{Ker}(p-\operatorname{id}_{E})$ : les vecteurs de $\operatorname{Im} p$ sont exactement les vecteurs invariants. De même $s^{2}=\operatorname{id}_{E}$ si et seulement si $s$ est la symétrie associée à $E=\operatorname{Ker}(s-\operatorname{id}_{E})\oplus\operatorname{Ker}(s+\operatorname{id}_{E})$. Enfin $p\mapsto s=2p-\operatorname{id}_{E}$ est une bijection entre projecteurs et symétries.

Idée de preuve (exigible). Si $p^{2}=p$ : pour $x\in E$, $x=p(x)+\bigl(x-p(x)\bigr)$ avec $p(x)\in\operatorname{Im} p$ et $p\bigl(x-p(x)\bigr)=p(x)-p^{2}(x)=0$, donc $E=\operatorname{Im} p+\operatorname{Ker} p$. Si $y\in\operatorname{Im} p\cap\operatorname{Ker} p$, écrivons $y=p(x)$ : alors $y=p(x)=p^{2}(x)=p(y)=0$. D’où la somme directe, et $p$ est bien l’identité sur $\operatorname{Im} p$.

Remarque. $E=\operatorname{Im} u\oplus\operatorname{Ker} u$ est faux pour un endomorphisme quelconque : pour $u:(x,y)\mapsto(y,0)$ dans $\R^{2}$, $\operatorname{Im} u=\operatorname{Ker} u=\R\times\ens{0}$. Le théorème du rang ne donne que l’égalité des dimensions.

Figure 1 — Projection et symétrie associées à $E=F\oplus G$ ; hyperplan $H$, droite supplémentaire et hyperplan affine $a+H$.

6Applications linéaires en dimension finie

Théorème — détermination par l’image d’une base. Soit $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{p})$ une base de $E$ et $(f_{1},\dots,f_{p})$ une famille quelconque de $F$. Il existe une unique $u\in\mathcal{L}(E,F)$ telle que $u(e_{i})=f_{i}$ pour tout $i$ ; elle est donnée par $u\left(\sum\lambda_{i}e_{i}\right)=\sum\lambda_{i}f_{i}$. De plus

Théorème — espaces isomorphes. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement s’ils ont même dimension. En particulier tout espace de dimension $n$ est isomorphe à $\mathbb{K}^{n}$ (isomorphisme « coordonnées dans une base »). Enfin $\ \dim\mathcal{L}(E,F)=\dim E\times\dim F$.

Théorème — dimensions égales. Soient $E$ et $F$ de même dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors

En particulier, en dimension finie, un endomorphisme inversible à gauche ou à droite est inversible.

Remarque. L’équivalence tombe si $\dim E\neq\dim F$, et en dimension infinie : sur $\mathbb{K}[X]$, $P\mapsto XP$ est injective non surjective et $P\mapsto P'$ surjective non injective.

Théorème — théorème du rang. Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$ avec $E$ de dimension finie.

• Forme géométrique : si $S$ est un supplémentaire de $\operatorname{Ker} u$ dans $E$, alors $u$ induit un isomorphisme de $S$ sur $\operatorname{Im} u$.
• Formule : $\ \boxed{\dim E=\dim\operatorname{Ker} u+\operatorname{rg} u.}$

Idée de preuve (exigible). Soit $S$ un supplémentaire de $\operatorname{Ker} u$ (il existe, $E$ étant de dimension finie) et $\widetilde{u}:S\to\operatorname{Im} u$ la restriction de $u$. Injectivité : $\operatorname{Ker}\widetilde{u}=S\cap\operatorname{Ker} u=\ens{0}$. Surjectivité : pour $x\in E$, $x=x_{S}+x_{K}$ donne $u(x)=u(x_{S})\in\widetilde{u}(S)$. Donc $\dim S=\operatorname{rg} u$, et $\dim E=\dim\operatorname{Ker} u+\dim S$.

7Formes linéaires et hyperplans

Définition. Une forme linéaire sur $E$ est un élément de $\mathcal{L}(E,\mathbb{K})$. Si $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{n})$ est une base de $E$, les formes coordonnées $e_{i}^{*}:\sum\lambda_{j}e_{j}\mapsto\lambda_{i}$ sont des formes linéaires.

Définition. Un hyperplan de $E$ est le noyau d’une forme linéaire non nulle.

Théorème. Soit $E$ de dimension finie $n\geq1$ et $H$ un sous-espace de $E$. Alors

Plus précisément : si $H$ est un hyperplan et $D$ une droite non contenue dans $H$, alors $E=H\oplus D$ ; réciproquement, tout supplémentaire d’une droite est un hyperplan.

Idée de preuve (exigible). Soit $H=\operatorname{Ker}\varphi$ avec $\varphi\neq0$ : $\varphi$ est surjective sur $\mathbb{K}$ (son image est un sous-espace non nul de $\mathbb{K}$), donc $\operatorname{rg}\varphi=1$ et le théorème du rang donne $\dim H=n-1$. Si $D=\mathbb{K} a$ avec $a\notin H$, alors $\varphi(a)\neq0$ et $H\cap D=\ens{0}$ ; comme $\dim H+\dim D=n$, on a $E=H\oplus D$. Concrètement, $x=\left(x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(a)}a\right)+\frac{\varphi(x)}{\varphi(a)}a$.

Propriété — équations. En dimension $n$, un hyperplan $H$ admet, dans une base fixée, une équation $\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}=0$ avec $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})\neq(0,\dots,0)$, et deux équations d’un même hyperplan sont proportionnelles (de rapport non nul).

Théorème — intersections d’hyperplans. L’intersection de $m$ hyperplans de $E$ ($\dim E=n$) est un sous-espace de dimension $\geq n-m$. Réciproquement, tout sous-espace de dimension $n-m$ est l’intersection de $m$ hyperplans : c’est son système d’équations, formé de $m$ équations indépendantes.

Remarque. Dans $\R^{2}$ les hyperplans sont les droites vectorielles ($ax+by=0$) ; dans $\R^{3}$ ce sont les plans vectoriels ($ax+by+cz=0$), et une droite vectorielle est l’intersection de deux plans, donc décrite par un système de deux équations indépendantes.

8Sous-espaces affines

Définition. Un sous-espace affine de $E$ est une partie de la forme $\mathcal{A}=a+F=\ens{a+x,\ x\in F}$, où $a\in E$ et $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, appelé direction de $\mathcal{A}$ ; on pose $\dim\mathcal{A}=\dim F$. La direction est unique, et $a+F=b+F\iff b-a\in F$ : tout point de $\mathcal{A}$ peut servir de point de base. Un hyperplan affine est un sous-espace affine de direction un hyperplan.

Remarque. Un sous-espace affine n’est un sous-espace vectoriel que s’il contient $0$, c’est-à-dire si $a\in F$. L’intersection de deux sous-espaces affines est vide ou un sous-espace affine de direction $F_{1}\cap F_{2}$ : contrairement au cas vectoriel, elle peut être vide.

Théorème — équation linéaire. Soient $u\in\mathcal{L}(E,F)$ et $b\in F$. L’ensemble $\mathcal{S}=\ens{x\in E,\ u(x)=b}$ est

• vide si $b\notin\operatorname{Im} u$ ;
• le sous-espace affine $x_{0}+\operatorname{Ker} u$ si $b\in\operatorname{Im} u$, où $x_{0}$ est une solution particulière.

Autrement dit : solution générale $=$ solution particulière $+$ solution générale de l’équation homogène, et $\dim\mathcal{S}=\dim\operatorname{Ker} u$.

Remarque. Ce seul énoncé recouvre les systèmes linéaires $AX=B$, les équations différentielles $y'+ay=b$ et $y''+by'+cy=f$, les suites arithmético-géométriques, et l’interpolation de Lagrange.