Fonctions de deux variables

1Le plan $\R^{2}$ : boules et ouverts

Notation. On identifie $\R^{2}$ et le plan muni d’un repère orthonormé. Un élément $A=(a,b)$ est appelé indifféremment point ou vecteur. On munit $\R^{2}$ de sa norme euclidienne canonique et du produit scalaire associé :

Définition — boule ouverte. Pour $A\in\R^{2}$ et $r>0$, la boule ouverte $\ B(A,r)=\ens{M\in\R^{2},\ \norme{M-A}<r}\$ est le disque de centre $A$ et de rayon $r$, privé de son cercle.

Définition — ouvert. Une partie $U$ de $\R^{2}$ est un ouvert de $\R^{2}$ si $\ \forall A\in U,\ \exists r>0,\ B(A,r)\subset U$ : tout point de $U$ est le centre d’un disque, de rayon strictement positif, entièrement contenu dans $U$.

Propriété. $\varnothing$ et $\R^{2}$ sont des ouverts ; toute boule ouverte est un ouvert ; une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert ; une intersection finie d’ouverts est un ouvert.

Méthode — montrer qu’un ensemble est ouvert. soit on exhibe, pour $A\in U$ quelconque, un rayon $r$ explicite (en fonction de $A$) tel que $B(A,r)\subset U$ ; soit on reconnaît $U$ comme réunion ou intersection finie d’ensembles $\ens{g>0}$ avec $g$ continue, qui sont des ouverts.

Remarque. Les ouverts ne servent ici qu’à disposer d’un cadre où « bouger un peu dans toutes les directions » a un sens : c’est exactement ce dont on a besoin pour dériver et pour parler d’extremum local. Aucune topologie de $\R^{2}$ n’est étudiée pour elle-même.

2Fonctions de deux variables, surface, lignes de niveau

Définition. Soit $U$ un ouvert de $\R^{2}$. Une fonction de deux variables sur $U$ est une application $f:U\to\R$. Son graphe $\ \mathcal{S}=\ens{\bigl(x,y,f(x,y)\bigr),\ (x,y)\in U}\subset\R^{3}\$ est appelé la surface d’équation $z=f(x,y)$.

Définition. Pour $\lambda\in\R$, la ligne de niveau $\lambda$ de $f$ est $\ \mathcal{C}_{\lambda}=\ens{(x,y)\in U,\ f(x,y)=\lambda}$. C’est la projection sur le plan $(xOy)$ de l’intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan horizontal $z=\lambda$ : ce sont les « courbes de niveau » d’une carte topographique.

Définition. $f$ est continue en $A\in U$ si $\ \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall M\in U,\ \norme{M-A}<\delta\implies\abs{f(M)-f(A)}<\varepsilon$, c’est-à-dire si $f(M)\to f(A)$ quand $\norme{M-A}\to0$ ; $f$ est continue sur $U$ si elle l’est en tout point de $U$.

Propriété. Les applications $(x,y)\mapsto x$, $(x,y)\mapsto y$ et les constantes sont continues ; somme, produit, quotient (de dénominateur ne s’annulant pas) et composition $g\circ f$ avec $g$ continue sur un intervalle contenant $f(U)$ conservent la continuité. En pratique, toute fonction obtenue par ces opérations à partir des fonctions usuelles est continue sur son ensemble de définition.

Remarque. « La notion de continuité est introduite uniquement en vue du calcul différentiel. L’étude de la continuité d’une fonction n’est pas un objectif du programme. » On ne cherchera donc jamais à étudier la continuité en un point où elle pose problème.

3Dérivées partielles, fonctions de classe $\mathcal{C}^{1}$

Définition — applications partielles. Soient $U$ un ouvert, $f:U\to\R$ et $(x_{0},y_{0})\in U$. Les applications partielles en $(x_{0},y_{0})$ sont $x\mapsto f(x,y_{0})$ et $y\mapsto f(x_{0},y)$, définies sur un intervalle ouvert contenant respectivement $x_{0}$ et $y_{0}$ (c’est ici que sert l’hypothèse « $U$ ouvert »).

Définition — dérivées partielles. $f$ admet une dérivée partielle par rapport à $x$ en $(x_{0},y_{0})$ si la première application partielle est dérivable en $x_{0}$ ; on note alors

Méthode — calculer une dérivée partielle. pour $\partial f/\partial x$, on dérive l’expression de $f$ par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une constante ; toutes les règles de dérivation d’une variable (produit, quotient, composée) s’appliquent telles quelles.

Définition — classe $\mathcal{C}^{1}$. $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l’ouvert $U$ si ses deux dérivées partielles existent en tout point de $U$ et si les deux fonctions $\partial f/\partial x$ et $\partial f/\partial y$ sont continues sur $U$.

Propriété — opérations. Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $U$ et $\lambda\in\R$, alors $f+\lambda g$, $fg$ et $f/g$ sur $\ens{g\neq0}$ le sont, avec les formules usuelles ($\partial (fg)/\partial x=\partial f/\partial x\,g+f\,\partial g/\partial x$, etc.). Si de plus $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un intervalle ouvert contenant $f(U)$, alors $\varphi\circ f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $U$ et

En particulier toute fonction polynomiale, et toute fonction obtenue à partir des fonctions usuelles par ces opérations, est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l’ouvert où elle est définie.

4Gradient, développement limité à l’ordre $1$, plan tangent

Définition — gradient. Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $U$ et $(x_{0},y_{0})\in U$, le gradient de $f$ en $(x_{0},y_{0})$ est le vecteur de $\R^{2}$

Théorème — développement limité à l’ordre $1$. Soient $U$ un ouvert, $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $U$ et $(x_{0},y_{0})\in U$. Alors, quand $(h,k)\to(0,0)$,

soit, à l’aide du gradient, $\ f\bigl((x_{0},y_{0})+(h,k)\bigr)=f(x_{0},y_{0})+\left\langle \nabla f(x_{0},y_{0})\,,\,(h,k)\right\rangle+o\bigl(\norme{(h,k)}\bigr)$.

La démonstration est hors programme. Ce qu’il faut retenir : près de $(x_{0},y_{0})$, $f$ est bien approchée par une fonction affine des deux variables — c’est l’approximation linéaire.

Remarque. Une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $U$ est en particulier continue sur $U$ : le développement limité donne $f(M)\to f(A)$ quand $M\to A$.

Théorème — plan tangent. Avec les mêmes hypothèses, le plan d’équation

$$\boxed{z=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}$$

est le plan tangent à la surface $z=f(x,y)$ au point $\bigl(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})\bigr)$ : c’est le plan dont le graphe approche celui de $f$ à un $o\bigl(\norme{(h,k)}\bigr)$ près.

Méthode — approximation numérique. pour estimer $f(x_{0}+h,y_{0}+k)$ avec $h,k$ petits, on calcule $f$ et $\nabla f$ en un point simple voisin, puis $f(x_{0}+h,y_{0}+k)\approx f(x_{0},y_{0})+\left\langle \nabla f(x_{0},y_{0})\,,\,(h,k)\right\rangle$.

Figure 1 — La surface $z=f(x,y)$ et son plan tangent en un point : au voisinage du point de contact, les deux se confondent au premier ordre.

5Dérivée selon un vecteur et règle de la chaîne

Définition — dérivée selon un vecteur. Soient $f:U\to\R$, $A\in U$ et $u\in\R^{2}$. La dérivée de $f$ en $A$ selon le vecteur $u$ est, lorsqu’elle existe, $\ D_{u}f(A)=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{f(A+tu)-f(A)}{t}$. ($U$ étant ouvert, $A+tu\in U$ pour $t$ assez petit : le quotient a un sens.)

Théorème. Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $U$, alors $D_{u}f(A)$ existe pour tout $u\in\R^{2}$ et

En particulier $D_{(1,0)}f(A)=\partial f/\partial x(A)$ et $D_{(0,1)}f(A)=\partial f/\partial y(A)$.

Propriété — direction de plus forte croissance. Supposons $\nabla f(A)\neq0$. Pour tout vecteur unitaire $u$, l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

avec égalité si et seulement si $u$ est colinéaire à $\nabla f(A)$. La valeur maximale $\norme{\nabla f(A)}$ est atteinte pour $u=\dfrac{\nabla f(A)}{\norme{\nabla f(A)}}$ : le gradient indique la direction dans laquelle $f$ croît le plus vite, et sa norme donne ce taux de croissance maximal.

Théorème — règle de la chaîne, le long d’un arc. Soient $I$ un intervalle, $x$ et $y$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$ telles que $\gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)\in U$ pour tout $t\in I$, et $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l’ouvert $U$. Alors $f\circ\gamma:t\mapsto f\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$ et

Théorème — règle de la chaîne, deux variables. Soient $V$ un ouvert de $\R^{2}$, $\varphi$ et $\psi$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $V$ telles que $\bigl(\varphi(u,v),\psi(u,v)\bigr)\in U$ pour tout $(u,v)\in V$, et $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $U$. Alors $F:(u,v)\mapsto f\bigl(\varphi(u,v),\psi(u,v)\bigr)$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $V$ et

6Extremums

Définition. Soient $A$ une partie de $\R^{2}$, $f:A\to\R$ et $P\in A$. $f$ admet en $P$ un maximum global sur $A$ si $f(M)\leq f(P)$ pour tout $M\in A$, et un maximum local s’il existe $r>0$ tel que $f(M)\leq f(P)$ pour tout $M\in A\cap B(P,r)$ ; on définit de même les minima en renversant l’inégalité. Un extremum est un maximum ou un minimum ; il est dit strict si l’inégalité est stricte pour $M\neq P$.

Définition — point critique. Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un ouvert $U$. Un point $P\in U$ est un point critique de $f$ si

Théorème — condition nécessaire d’extremum. Soient $U$ un ouvert de $\R^{2}$ et $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $U$. Si $f$ admet un extremum local en $P\in U$, alors $P$ est un point critique de $f$.

Démonstration (exigible). Notons $P=(x_{0},y_{0})$ et supposons par exemple $f$ maximale localement en $P$ : il existe $r>0$ tel que $B(P,r)\subset U$ et $f(M)\leq f(P)$ sur $B(P,r)$. L’application partielle $\sigma:x\mapsto f(x,y_{0})$ est dérivable sur l’intervalle ouvert $\intoo{x_{0}-r}{x_{0}+r}$ et y admet un maximum en un point intérieur, $x_{0}$ ; le théorème correspondant à une variable donne $\sigma'(x_{0})=0$, c’est-à-dire $\partial f/\partial x(P)=0$. De même avec $y\mapsto f(x_{0},y)$ : $\partial f/\partial y(P)=0$, d’où $\nabla f(P)=0$. $\square$

Méthode — étudier les extremums sur un ouvert. aucune condition suffisante n’est au programme : après avoir déterminé les points critiques, on conclut par des arguments élémentaires. Extremum global : écrire $f(M)-f(P)$ comme une somme de carrés ou une quantité de signe constant (factorisation, forme canonique), ou majorer par une inégalité classique. Point critique qui n’est pas un extremum : exhiber deux vecteurs $u$ pour lesquels $t\mapsto f(P+tu)-f(P)$ change de signe. Extremum local : étudier le signe de $f\bigl(P+(h,k)\bigr)-f(P)$ pour $(h,k)$ petit, en minorant les termes de plus bas degré. Sur une partie $A$ non ouverte : séparer les points autour desquels $A$ contient une boule (points critiques) et le bord (paramétrage, puis étude à une variable).