Limites et continuité

1Limite en un point : les définitions quantifiées

Définition. Soient $a\in I$ ou $a$ extrémité de $I$, et $\ell\in\R$. On dit que $f$ tend vers $\ell$ en $a$, et l’on note $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}\ell$ ou $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell$, si

Notation. Les autres cas s’obtiennent en remplaçant « $\abs{x-a}\leq\delta$ » et « $\abs{f(x)-\ell}\leq\varepsilon$ » par la condition correspondante :

Le quantificateur portant sur $\varepsilon$ (ou $A$) vient toujours en premier : $\delta$ (ou $B$) dépend de $\varepsilon$. Ainsi $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ s’écrit $\ \forall A\in\R,\ \exists B\in\R,\ \forall x\in I,\ x\geq B\Rightarrow f(x)\geq A$.

Définition — limites à droite, à gauche. Si $a$ n’est pas l’extrémité droite de $I$, la limite à droite de $f$ en $a$ est la limite en $a$ de la restriction de $f$ à $I\cap\intoo{a}{+\infty}$ ; on la note $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)$ ou $f(a^{+})$. Définition symétrique à gauche. Dans ces limites, la valeur $f(a)$ n’intervient pas.

Propriété. Soient $a$ intérieur à $I$ et $\ell\in\overline{\R}$. Si $f$ n’est pas définie en $a$ : $\ \lim\limits_{x\to a}f=\ell\iff f(a^{-})=f(a^{+})=\ell$. Si $f$ est définie en $a$ : $\ \lim\limits_{x\to a}f=\ell\iff f(a^{-})=f(a^{+})=\ell=f(a)$.

Théorème — unicité, valeur en $a$, bornitude locale. (i) Si $f$ admet une limite en $a$ dans $\overline{\R}$, cette limite est unique. (ii) Si $f$ est définie en $a$ et admet une limite $\ell$ en $a$, alors $\ell=f(a)$ (prendre $x=a$ dans la définition). (iii) Si $f$ admet une limite finie en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ : il existe $\delta>0$ et $M\in\R_{+}$ tels que $\abs{f(x)}\leq M$ pour tout $x\in I$ avec $\abs{x-a}\leq\delta$.

Idée de preuve. (i) Si $\ell\neq\ell'$ sont finies, appliquer les deux définitions avec $\varepsilon=\frac{\abs{\ell-\ell'}}{3}$ et $\delta=\min(\delta_{1},\delta_{2})$ : pour un $x$ de $I$ tel que $\abs{x-a}\leq\delta$ (il en existe, car $a$ est adhérent à $I$), $\abs{\ell-\ell'}\leq\abs{\ell-f(x)}+\abs{f(x)-\ell'}\leq\frac{2}{3}\abs{\ell-\ell'}$ : absurde. (iii) Prendre $\varepsilon=1$ : $\abs{f(x)}\leq\abs{\ell}+1$ sur le voisinage obtenu.

Méthode — prouver une limite « à la main ». « Soit $\varepsilon>0$. » — majorer $\abs{f(x)-\ell}$ par une expression simple de $\abs{x-a}$, quitte à se restreindre d’abord à un voisinage de $a$ (par exemple $\abs{x-a}\leq1$) pour contrôler les facteurs parasites — « Posons $\delta=\dots$ » (explicite, en fonction de $\varepsilon$) — vérifier l’implication — « Ceci valant pour tout $\varepsilon>0$, $f(x)\to\ell$. »

2Caractérisation séquentielle

Théorème — caractérisation séquentielle de la limite. Soient $a$ adhérent à $I$ et $\ell\in\overline{\R}$. Alors

Idée de preuve (exigible). $\Rightarrow$ : soit $\varepsilon>0$ ; $\delta$ associé, puis $N$ tel que $\abs{x_{n}-a}\leq\delta$ pour $n\geq N$ ; alors $\abs{f(x_{n})-\ell}\leq\varepsilon$ pour $n\geq N$. $\Leftarrow$ : par contraposée. Si $f$ ne tend pas vers $\ell$, il existe $\varepsilon_{0}>0$ tel que, pour tout $\delta>0$, un $x$ de $I$ vérifie $\abs{x-a}\leq\delta$ et $\abs{f(x)-\ell}>\varepsilon_{0}$ ; en prenant $\delta=\frac{1}{n+1}$ on construit $(x_{n})$ de limite $a$ avec $\abs{f(x_{n})-\ell}>\varepsilon_{0}$, donc $f(x_{n})\not\to\ell$.

Méthode — montrer qu’une fonction n’a pas de limite en $a$. exhiber deux suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ de limite $a$ telles que $\bigl(f(x_{n})\bigr)$ et $\bigl(f(y_{n})\bigr)$ aient des limites différentes — ou une seule suite $(x_{n})\to a$ telle que $\bigl(f(x_{n})\bigr)$ n’ait pas de limite.

3Opérations, composition, comparaison

Théorème — opérations. Soient $f,g$ de limites $\ell,\ell'\in\R$ en $a$ et $\lambda,\mu\in\R$. Alors, en $a$ : $\lambda f+\mu g\to\lambda\ell+\mu\ell'$, $\ fg\to\ell\ell'$, $\abs{f}\to\abs{\ell}$, et si $\ell'\neq0$ alors $g$ ne s’annule pas au voisinage de $a$ et $\frac{f}{g}\to\frac{\ell}{\ell'}$. Ces énoncés s’étendent aux limites infinies hors des formes indéterminées $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$. Enfin, le produit d’une fonction bornée au voisinage de $a$ et d’une fonction de limite nulle en $a$ tend vers $0$.

Théorème — composition. Soient $f:I\to\R$, $g:J\to\R$ avec $f(I)\subset J$, et $a,b,c\in\overline{\R}$. Si $\ f(x)\xrightarrow[x\to a]{}b$ et $g(y)\xrightarrow[y\to b]{}c$, alors $\ (g\circ f)(x)\xrightarrow[x\to a]{}c$.

Théorème — comparaison. Au voisinage de $a$ :

Les deux derniers points démontrent l’existence de la limite, le premier la suppose acquise ; et le passage à la limite affaiblit les inégalités strictes.

4Continuité en un point

Définition. Soit $a\in I$. $f$ est continue en $a$ si $\ \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$, c’est-à-dire

$f$ est continue à droite (resp. à gauche) en $a$ si $f(a^{+})=f(a)$ (resp. $f(a^{-})=f(a)$) ; si $a$ est intérieur à $I$, $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle l’est à droite et à gauche. $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ ; on note $\mathcal{C}(I,\R)$ l’ensemble de ces fonctions.

Propriété — caractérisation séquentielle. $f$ est continue en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_{n})$ d’éléments de $I$ de limite $a$, $f(x_{n})\to f(a)$.

Propriété — opérations. Une combinaison linéaire, un produit, un quotient (là où le dénominateur ne s’annule pas) et une composée de fonctions continues sont continues. Les fonctions usuelles (polynomiales, rationnelles, $\exp$, $\ln$, $x^{\alpha}$, $\cos$, $\sin$, $\tan$, $\abs{\cdot}$, $\sqrt{\cdot}$, $\operatorname{Arcsin}$, $\operatorname{Arccos}$, $\operatorname{Arctan}$, $\operatorname{ch}$, $\operatorname{sh}$, $\operatorname{th}$) sont continues sur leur ensemble de définition.

Théorème — prolongement par continuité. Soient $a\notin I$ une extrémité finie de $I$ et $f:I\to\R$. Si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, alors la fonction $\tilde{f}$ définie sur $I\cup\ens{a}$ par $\tilde{f}=f$ sur $I$ et $\tilde{f}(a)=\ell$ est continue en $a$ : c’est le prolongement par continuité de $f$ en $a$, et il est unique.

Méthode — étudier la continuité d’une fonction définie par morceaux. sur chaque morceau ouvert, invoquer les opérations sur les fonctions usuelles ; aux points de raccord $a$, calculer $f(a^{-})$, $f(a^{+})$ et $f(a)$, et conclure par l’égalité (ou non) des trois.

5Fonctions continues sur un intervalle

Théorème — théorème des valeurs intermédiaires. Soient $f$ continue sur $\intff{a}{b}$ ($a<b$) et $y$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors il existe $c\in\intff{a}{b}$ tel que $f(c)=y$. En particulier, si $f(a)f(b)\leq0$, $f$ s’annule sur $\intff{a}{b}$.

Idée de preuve (exigible) : dichotomie. Supposons $f(a)\leq y\leq f(b)$ et posons $a_{0}=a$, $b_{0}=b$. Connaissant $a_{n}\leq b_{n}$ avec $f(a_{n})\leq y\leq f(b_{n})$, on note $m=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}$ et l’on garde $\intff{a_{n}}{m}$ si $f(m)\geq y$, $\intff{m}{b_{n}}$ sinon. Les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont adjacentes ($b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}\to0$), de limite commune $c\in\intff{a}{b}$. La continuité de $f$ en $c$ donne $f(a_{n})\to f(c)$ et $f(b_{n})\to f(c)$ ; le passage à la limite dans $f(a_{n})\leq y\leq f(b_{n})$ donne $f(c)\leq y\leq f(c)$, donc $f(c)=y$.

Théorème — image d’un intervalle. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Corollaire : si $f$ est continue et strictement croissante sur $\intff{a}{b}$, alors $f\bigl(\intff{a}{b}\bigr)=\intff{f(a)}{f(b)}$ ; si $f$ est continue et strictement croissante sur $\intoo{a}{b}$, alors $f\bigl(\intoo{a}{b}\bigr)=\intoo{\lim_{a^{+}}f}{\lim_{b^{-}}f}$ (énoncés symétriques pour une fonction décroissante).

Théorème — théorème des bornes atteintes. Soit $f$ continue sur un segment $\intff{a}{b}$. Alors $f$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $x_{1},x_{2}\in\intff{a}{b}$ tels que $f(x_{1})=\inf f$ et $f(x_{2})=\sup f$. Autrement dit $\min f$ et $\max f$ existent.

Idée de preuve (exigible) : Bolzano-Weierstrass. Montrons que $f$ est majorée : sinon, pour tout $n$ il existe $x_{n}\in\intff{a}{b}$ avec $f(x_{n})\geq n$ ; la suite $(x_{n})$ est bornée, donc possède une extraite $\bigl(x_{\varphi(n)}\bigr)$ de limite $c\in\intff{a}{b}$, et la continuité en $c$ donne $f\bigl(x_{\varphi(n)}\bigr)\to f(c)$ — or cette suite tend vers $+\infty$ : absurde. Posons alors $M=\sup f$, fini. Il existe une suite $(y_{n})$ de $\intff{a}{b}$ telle que $f(y_{n})\to M$ (caractérisation séquentielle du sup) ; une extraite converge vers un $x_{2}\in\intff{a}{b}$, et la continuité donne $f(x_{2})=M$. Même travail pour l’inf.

Théorème — image d’un segment. L’image d’un segment par une fonction continue est un segment : si $f$ est continue sur $\intff{a}{b}$, alors $f\bigl(\intff{a}{b}\bigr)=\intff{m}{M}$ avec $m=\min f$ et $M=\max f$.

Idée de preuve (exigible). $f\bigl(\intff{a}{b}\bigr)$ est un intervalle (image d’un intervalle), contenu dans $\intff{m}{M}$ et contenant $m$ et $M$ (bornes atteintes) : c’est donc exactement $\intff{m}{M}$.

6Monotonie, injectivité, théorème de la bijection

Théorème — démonstration non exigible. Une fonction continue et injective sur un intervalle $I$ est strictement monotone sur $I$.

Théorème — théorème de la bijection. Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors :

• $J=f(I)$ est un intervalle, et $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$ ;
• la bijection réciproque $f^{-1}:J\to I$ est continue sur $J$ et strictement monotone de même sens que $f$ ;
• les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$.

La démonstration de la continuité de $f^{-1}$ n’est pas exigible. Les bornes de $J$ se lisent sur les limites de $f$ aux bornes de $I$.

Méthode — résoudre « l’équation $f(x)=y$ admet une unique solution ». deux temps, jamais un seul. Existence : TVI (continuité sur un segment, ou image d’un intervalle avec les limites aux bornes). Unicité : stricte monotonie (souvent par le signe de $f'$, chapitre 6). On conclut alors « il existe un unique $c$ tel que… », et l’on peut encadrer $c$ par dichotomie.

7Fonctions à valeurs complexes

Définition. Soit $f:I\to\C$. Pour $\ell\in\C$, $\ \lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell$ signifie $\ \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in I,\ \abs{x-a}\leq\delta\Rightarrow\abs{f(x)-\ell}\leq\varepsilon$ (module). $f$ est continue en $a$ si $f(x)\to f(a)$.

Propriété. $\ \lim\limits_{x\to a}f=\ell\iff\lim\limits_{x\to a}\Ree f=\Ree\ell$ et $\lim\limits_{x\to a}\Imm f=\Imm\ell$ ; de même, $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\Ree f$ et $\Imm f$ le sont. Unicité de la limite, caractérisation séquentielle et opérations (somme, produit, quotient, composition avec une fonction réelle) restent valables. En revanche, il n’y a dans $\C$ ni ordre, ni TVI, ni bornes atteintes : seules subsistent les majorations de module, et le fait que $\abs{f}$ est continue si $f$ l’est.