1Sens de variation sur un intervalle
Définition. Soit une fonction définie sur un intervalle . On dit que est croissante sur lorsque, pour tous réels et de , : conserve l’ordre. On dit que est décroissante sur lorsque : inverse l’ordre.
Notation. La variation est dite stricte lorsque les inégalités sur les images sont strictes ( ou ). Une fonction croissante sur ou décroissante sur est dite monotone sur . Une fonction constante sur est à la fois croissante et décroissante.
Remarque. Le sens de variation se donne toujours sur un intervalle, jamais sur une réunion d’intervalles : la fonction inverse est décroissante sur et sur , mais pas sur .
2Tableau de variations, extremums
Définition. Le tableau de variations de résume ses variations : la première ligne donne les bornes des intervalles sur lesquels est monotone, la seconde une flèche montante (croissance) ou descendante (décroissance) et les valeurs de aux bornes.
Notation — convention. Une flèche signifie que est strictement monotone et que sa courbe se trace sans lever le crayon : prend une seule fois chaque valeur comprise entre celles écrites à ses extrémités.
Définition. Soit définie sur et un réel de . admet un maximum sur , atteint en , lorsque et pour tout de . Elle admet un minimum , atteint en , lorsque et pour tout de . Un maximum ou un minimum est appelé extremum.
Remarque. Un extremum est une valeur de (une ordonnée) ; il est atteint en une valeur de (une abscisse). Il faut donner les deux.
Tableau 1 — Sur , décroît puis croît. Son minimum vaut , atteint en ; son maximum vaut , atteint en .
3Comparer deux images, image d’un intervalle
Méthode — comparer et sans calculer. Vérifier que et appartiennent à un même intervalle de monotonie, ranger et , puis appliquer le sens de variation : si est croissante et , alors ; si est décroissante, . Si et ne sont pas dans le même intervalle, le sens de variation ne suffit plus : il faut calculer les images, ou les situer à l’aide des valeurs du tableau de variations.
Propriété — encadrement, image d’un intervalle. Si est croissante sur , alors pour tout de (décroissante : ) : c’est la méthode pour encadrer . Si de plus la courbe se trace sans lever le crayon, prend toutes les valeurs entre et : cet intervalle est l’image de par .
4Variations des fonctions de référence
Propriété — fonction affine. Soit . Pour tous réels , le taux d’accroissement : il est constant. Si , est croissante sur ; si , décroissante sur ; si , constante. Une fonction affine non constante n’a ni maximum ni minimum sur ; sur un intervalle , ses extremums sont atteints aux bornes et .
Propriété. Les fonctions carré et valeur absolue sont décroissantes sur et croissantes sur ; leur minimum sur vaut , atteint en . Les fonctions racine carrée (sur ) et cube (sur ) sont croissantes. La fonction inverse est décroissante sur et sur ; elle n’a ni maximum ni minimum.
Remarque. Démonstration pour la fonction carré sur : si , alors , donc .
5Optimiser : lecture graphique, calculatrice, Python
Méthode — résoudre un problème d’optimisation. 1. Choisir la variable et préciser l’intervalle qu’elle décrit. 2. Exprimer en fonction de la quantité à optimiser (aire, volume, bénéfice, coût). 3. Déterminer le sens de variation de cette fonction sur (tableau de variations, courbe tracée à la calculatrice, balayage) et conclure en donnant l’extremum et la valeur de où il est atteint.
Méthode — balayage. On parcourt l’intervalle avec un pas constant et on retient la valeur de donnant la plus grande image : le programme ci-contre teste et affiche 5.0 25.0.
Méthode — dichotomie. Pour approcher une solution de sur où change de signe (courbe tracée sans lever le crayon) : calculer , conserver celle des deux moitiés aux bornes de laquelle change encore de signe, et recommencer. L’amplitude de l’encadrement est divisée par à chaque étape.
def f(x):
return x*(10 - x)
xmax = 0
for k in range(101):
x = k*0.1
if f(x) > f(xmax):
xmax = x
print(xmax, f(xmax))Programme 1 — Recherche du maximum de sur par balayage de pas .
6Savoir-faire du chapitre
- Lire un tableau de variations : intervalles de monotonie, extremums et valeurs où ils sont atteints, nombre de solutions de .
- Dresser un tableau de variations à partir d’une courbe, d’un texte ou d’un tableau de valeurs.
- Comparer et sans les calculer, et encadrer à partir d’un encadrement de .
- Calculer le taux d’accroissement d’une fonction affine et en déduire son sens de variation ; démontrer les variations de la fonction carré.
- Résoudre un problème d’optimisation : mettre en fonction, étudier les variations, conclure ; utiliser un balayage ou une dichotomie en Python.
7Exemples types
Soit la fonction carré. Comme et que est décroissante sur , on a , c’est-à-dire . En revanche, et ne sont pas dans un même intervalle de monotonie : il faut calculer pour comparer et .
On suppose . La fonction inverse est décroissante sur , donc . La fonction racine carrée est croissante, donc .
Un enclos rectangulaire est délimité par de grillage. En notant la longueur d’un côté, avec , l’autre côté mesure et l’aire vaut . Or , donc , avec égalité pour : l’aire est maximale pour un carré de côté , et vaut alors .
- « est croissante » n’a de sens que sur un intervalle précisé : toujours écrire « croissante sur ».
- Confondre le maximum (la valeur de ) et la valeur de en laquelle il est atteint.
- Comparer et par le sens de variation alors que et sont dans deux intervalles de monotonie différents : il faut calculer ou utiliser les valeurs du tableau.
- Un tableau de variations ne donne pas l’allure exacte de la courbe : entre deux bornes, la flèche indique seulement le sens de variation.
- Un balayage ne donne qu’une valeur approchée de l’optimum : la précision ne dépasse pas le pas choisi.