Probabilités conditionnelles et arbres pondérés : cours de Seconde et exercices

1Vocabulaire des probabilités

Définition. Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, appelés issues, sans qu’on puisse prévoir lequel se produira. L’ensemble de toutes les issues est l’univers, noté $\Omega$ . Un événement est une partie de $\Omega$ ; un événement élémentaire ne contient qu’une issue.

Notation. Pour deux événements $A$ et $B$ : $\overline{A}$ est l’événement contraire de $A$ (« $A$ ne se réalise pas ») ; $A\cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisé quand les deux le sont ; $A\cup B$ (« $A$ ou $B$ ») quand l’un au moins l’est. $A$ et $B$ sont incompatibles lorsque $A\cap B=\varnothing$ .

2Calculer une probabilité

Définition. Une probabilité associe à chaque issue un nombre de $\intff{0}{1}$ , la somme de ces nombres valant $1$ . La probabilité d’un événement $A$ , notée $P(A)$ , est la somme des probabilités des issues qui le composent : $0\leq P(A)\leq1$ , $P(\Omega)=1$ et $P(\varnothing)=0$ .

Propriété — équiprobabilité. Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité et, pour tout événement $A$ ,

P(A)=\frac{\text{nombre d'issues de }A}{\text{nombre total d'issues}}=\frac{\Card A}{\Card \Omega}.

Propriété. Pour tous événements $A$ et $B$ : $\ P\!\left(\overline{A}\right)=1-P(A)$ et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ .

3Probabilités conditionnelles

Définition. Soit $A$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A}(B)$ , est la probabilité de $B$ lorsqu’on se limite aux issues de $A$ : $A$ devient le nouvel univers.

Propriété. Dans un tableau croisé d’effectifs, $P_{A}(B)$ s’obtient en divisant l’effectif de $A\cap B$ par l’effectif de $A$ (un total-ligne ou -colonne), alors que $P(A\cap B)$ s’obtient en le divisant par l’effectif total. On a aussi

P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)\qquad\text{et}\qquad P_{A}(B)+P_{A}\!\left(\overline{B}\right)=1.

Méthode — traduire un énoncé. « parmi les $A$ », « sachant que $A$ », « chez les $A$ », « lorsque $A$ est réalisé » $\rightarrow$ $P_{A}(B)$ ; « $A$ et $B$ » $\rightarrow$ $P(A\cap B)$ ; « $A$ ou $B$ » $\rightarrow$ $P(A\cup B)$ . En général $P_{A}(B)\neq P_{B}(A)$ : le mot « sachant » indique le dénominateur.

4Arbres pondérés

Propriété — les trois règles de l’arbre. Dans un arbre pondéré :

la somme des probabilités des branches issues d’un même nœ ud vaut $1$ ;
la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent ;
la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Les branches du premier niveau portent $P(A)$ et $P\!\left(\overline{A}\right)$ ; celles du second niveau portent des probabilités conditionnelles.

Méthode — passer du tableau à l’arbre. Le premier niveau reprend un caractère (fréquences marginales), le second l’autre caractère conditionnellement au premier. Inversement, un arbre permet de reconstituer un tableau en multipliant chaque probabilité de chemin par l’effectif total.

Figure 1 — Arbre pondéré à deux niveaux : le chemin du haut a pour probabilité $P(A)\times P_{A}(B)=P(A\cap B)$ .

5Simuler pour estimer une probabilité

Propriété — loi des grands nombres. Lorsqu’on répète un grand nombre de fois, dans les mêmes conditions, une expérience aléatoire, la fréquence observée d’un événement se rapproche de sa probabilité. C’est ce qui justifie l’estimation d’une probabilité par simulation.

Remarque. Deux simulations de même taille ne donnent pas exactement la même fréquence : il faut augmenter le nombre de répétitions pour gagner en précision. Le programme ci-contre estime la probabilité d’obtenir $7$ en additionnant deux dés ; la valeur exacte est $\frac{6}{36}=\frac16\approx0{,}167$ .

from random import randint

n = 0
for k in range(10000):
    if randint(1, 6) + randint(1, 6) == 7:
        n = n + 1
print(n/10000)

Programme 1 — Simulation de $10\,000$ lancers de deux dés.

FormulaireTout le chapitre en quatre lignes

Équiprobabilité : $P(A)=\dfrac{\Card A}{\Card \Omega}$ ; $P\!\left(\overline{A}\right)=1-P(A)$ ; $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
Tableau croisé ( $N$ : effectif total) : $P(A\cap B)=\dfrac{n(A\cap B)}{N}$ ; $P_{A}(B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(A)}$ ; $P_{A}(B)+P_{A}\!\left(\overline{B}\right)=1$ .
Arbre : $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ (produit le long d’un chemin) ; somme des chemins menant à un même événement ; somme des branches issues d’un nœ ud $=1$ .
Simulation : la fréquence observée sur un grand nombre de répétitions estime la probabilité.

6Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Décrire l’univers d’une expérience aléatoire et calculer une probabilité en situation d’équiprobabilité.
Utiliser $P\!\left(\overline{A}\right)=1-P(A)$ et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
Calculer $P_{A}(B)$ à partir d’un tableau croisé ; distinguer $P(A\cap B)$ , $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ et les traduire par des phrases.
Construire ou compléter un arbre pondéré, calculer la probabilité d’un chemin puis d’un événement.
Passer d’un tableau croisé à un arbre et inversement ; estimer une probabilité par simulation.

7Exemples types

Exemplelecture d’un tableau croisé

Sur $500$ élèves, $300$ sont demi-pensionnaires ( $D$ ) et, parmi eux, $120$ font du théâtre ( $T$ ) ; on choisit un élève au hasard. Alors $P(D)=\frac{300}{500}=0{,}6$ , $P(D\cap T)=\frac{120}{500}=0{,}24$ et $P_{D}(T)=\frac{120}{300}=0{,}4$ . Trois nombres, trois questions distinctes.

Exemplearbre pondéré

Une usine a deux machines : la machine A fabrique ${70\%}$ des pièces et en produit ${2\%}$ de défectueuses ; la machine B fabrique les ${30\%}$ restants et en produit ${5\%}$ de défectueuses. On prélève une pièce au hasard. La probabilité qu’elle vienne de A et soit défectueuse est $0{,}70\times0{,}02=0{,}014$ ; celle qu’elle soit défectueuse est la somme des deux chemins : $0{,}014+0{,}30\times0{,}05=0{,}014+0{,}015=0{,}029$ , soit ${2{,}9\%}$ .

Exempleles deux sens du conditionnement

Avec l’exemple précédent, parmi les pièces défectueuses, la proportion venant de A est $\frac{0{,}014}{0{,}029}\approx0{,}48$ : environ ${48\%}$ . On a donc $P_{A}(\text{défectueuse})=0{,}02$ mais $P_{\text{défectueuse}}(A)\approx0{,}48$ : les deux probabilités n’ont rien à voir.

Pièges

Confondre $P(A\cap B)$ (on divise par l’effectif total) et $P_{A}(B)$ (on divise par l’effectif de $A$ ).
Croire que $P_{A}(B)=P_{B}(A)$ : c’est faux en général (exemple ci-dessus : $0{,}02$ et environ $0{,}48$ ).
Additionner le long d’un chemin : on multiplie ; on additionne les chemins menant à un même événement.
Écrire $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ sans vérifier que $A$ et $B$ sont incompatibles.
Croire qu’une fréquence obtenue par simulation est la probabilité exacte : ce n’est qu’une estimation.

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7Exemples types

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Exercices de base

Exercices d'application

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