Calcul littéral : cours de Seconde et exercices

1Développer, réduire, factoriser

Définition. Développer, c’est transformer un produit en somme ; factoriser, c’est transformer une somme en produit ; réduire, c’est regrouper les termes semblables. Deux expressions sont égales lorsqu’elles prennent la même valeur pour toutes les valeurs des lettres.

Propriété — distributivité. Pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $k$ : $k(a+b)=ka+kb$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ .

Méthode — choisir la bonne forme. la forme développée sert à calculer une image ou à réduire ; la forme factorisée sert à résoudre une équation produit ou à étudier un signe. Avant de factoriser, chercher d’abord un facteur commun, au besoin après avoir factorisé une partie de l’expression (identité remarquable, nombre mis en facteur).

2Les identités remarquables

FormulaireÀ connaître dans les deux sens

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ; $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ; $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ .
De gauche à droite on développe ; de droite à gauche on factorise. La différence de deux carrés se factorise toujours : $x^2-9=(x-3)(x+3)$ , $\ x^2-5=\left(x-\sqrt5\right)\left(x+\sqrt5\right)$ .
Une somme de deux carrés ne relève d’aucune identité : $x^2+4$ (strictement positif pour tout réel $x$ ) n’est pas un produit de facteurs du premier degré.

Remarque. Les lettres $a$ et $b$ peuvent désigner des expressions entières :

(x+1)^2-(2x+5)^2=\bigl((x+1)-(2x+5)\bigr)\bigl((x+1)+(2x+5)\bigr)=(-x-4)(3x+6).

3Fractions

FormulaireLes quatre règles, avec des dénominateurs non nuls (et

c\neq0

pour diviser par

\frac cd

)

$\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}$ (après mise au même dénominateur) ; $\dfrac ab\times\dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}$ .
$\dfrac ab\div\dfrac cd=\dfrac ab\times\dfrac dc$ ; $\dfrac{\ \frac ab\ }{\frac cd}=\dfrac{ad}{bc}$ ; $\dfrac{ka}{kb}=\dfrac ab$ pour $k\neq0$ (simplification).
$\dfrac ab=0\ssi a=0$ (et $b\neq0$ ) ; $\dfrac ab=\dfrac cd\ssi ad=bc$ (produits en croix).

Méthode — réduire une expression fractionnaire. mettre au même dénominateur (le plus simple possible), développer et réduire le numérateur, puis simplifier après avoir factorisé. On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes d’une somme.

4Puissances

Définition. Pour $a$ réel et $n\in\N^*$ : $a^n=\underbrace{a\times\dots\times a}_{n\text{ facteurs}}$ ; pour $a\neq0$ : $a^0=1$ et $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$ .

FormulaireRègles de calcul (

a\neq0

b\neq0

m

n

entiers relatifs)

$a^m\times a^n=a^{m+n}$ ; $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ ; $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$ ; $(ab)^n=a^nb^n$ ; $\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ .
Écriture scientifique d’un réel non nul : $a\times10^p$ avec $1\leq\abs a<10$ et $p\in\Z$ . L’ordre de grandeur d’un réel strictement positif est, par convention, $10^p$ si $a<5$ et $10^{p+1}$ si $a\geq5$ .
$(-1)^n=1$ si $n$ est pair, $-1$ si $n$ est impair : $a^n$ est strictement positif si $n$ est pair, du signe de $a$ si $n$ est impair.

5Racines carrées

Définition. Pour $a\geq0$ , $\sqrt a$ est l’unique nombre positif dont le carré vaut $a$ . La racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas.

FormulaireRègles de calcul (

a\geq0

b\geq0

, et

b\neq0

pour le quotient)

$\left(\sqrt a\right)^2=a$ ; $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ ; $\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ ; et, pour tout réel $a$ , $\sqrt{a^2}=\abs a$ .
Il n’y a aucune règle pour une somme : $\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$ (essayer $a=b=4$ pour s’en convaincre).
Forme $a\sqrt b$ : on extrait le plus grand carré parfait, par exemple $\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt3$ .
Rendre le dénominateur entier : multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sqrt b$ , ou par l’expression conjuguée $c-\sqrt b$ lorsque le dénominateur est $c+\sqrt b$ , pour faire apparaître $c^2-b$ .

6Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Développer et réduire une expression, y compris avec les identités remarquables et des coefficients fractionnaires.
Factoriser : facteur commun, facteur commun apparaissant après une factorisation partielle, identité remarquable, différence de deux carrés.
Additionner, multiplier, diviser et simplifier des fractions ; réduire une fraction étagée.
Utiliser les règles sur les puissances, donner une écriture scientifique et un ordre de grandeur.
Simplifier une expression avec des racines carrées, l’écrire sous la forme $a\sqrt b$ , rendre un dénominateur entier.

7Exemples types

Exempledévelopper puis réduire

$A=(2x-3)^2-(x+1)(x-4)$ . On développe : $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$ et $(x+1)(x-4)=x^2-3x-4$ . Donc $A=4x^2-12x+9-x^2+3x+4=3x^2-9x+13$ (attention au signe devant la seconde parenthèse).

Exemplefactoriser avec un facteur commun caché

$B=(x-2)(3x+1)+x^2-4$ . On reconnaît $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , d’où le facteur commun $(x-2)$ : $B=(x-2)\bigl[(3x+1)+(x+2)\bigr]=(x-2)(4x+3)$ .

Exemplefractions

$C=\dfrac{\frac23-\frac15}{1+\frac16}=\dfrac{\frac{10}{15}-\frac3{15}}{\frac76}=\dfrac{\frac7{15}}{\frac76}=\dfrac7{15}\times\dfrac67=\dfrac6{15}=\dfrac25$ .

Exempleracines et puissances

$D=\left(1-2\sqrt3\right)^2-\sqrt{27}=1-4\sqrt3+4\times3-3\sqrt3=13-7\sqrt3$ .

$E=\dfrac{6\times10^{-3}\times\left(2\times10^{5}\right)^2}{8\times10^{4}}=\dfrac{6\times4}{8}\times10^{-3+10-4}=3\times10^{3}$ .

Pièges

$(a+b)^2\neq a^2+b^2$ : le double produit $2ab$ ne s’oublie pas. De même $\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$ et $\dfrac1{a+b}\neq\dfrac1a+\dfrac1b$ .
Un signe $-$ devant une parenthèse change tous les signes qu’elle contient.
On ne simplifie que par un facteur commun à tout le numérateur et à tout le dénominateur : $\frac{x+3}{3}$ ne se simplifie pas.
$\sqrt{a^2}=\abs a$ , et non $a$ : cette égalité n’est vraie sans valeur absolue que si $a\geq0$ .
$a^{-n}$ n’est pas un nombre négatif : $2^{-3}=\frac18>0$ . Et $-3^2=-9$ tandis que $(-3)^2=9$ .

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