Statistiques : cours de Seconde et exercices

1Série statistique, effectifs et fréquences

Définition. On étudie un caractère sur une population de $N$ individus. À chaque valeur $x_{i}$ du caractère est associé son effectif $n_{i}$ (nombre d’individus qui la prennent) et sa fréquence $f_{i}=\dfrac{n_{i}}{N}$ . On a $n_{1}+\dots+n_{p}=N$ et $f_{1}+\dots+f_{p}=1$ .

Définition. L’effectif cumulé croissant (E.C.C.) d’une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont inférieures ou égales ; la fréquence cumulée croissante (F.C.C.) est le quotient de cet effectif cumulé par $N$ . La dernière F.C.C. vaut $1$ , soit ${100\%}$ .

2Indicateurs de position

Définition. La moyenne d’une série de valeurs $x_{i}$ d’effectifs $n_{i}$ est

\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\dots+n_{p}x_{p}}{N}=f_{1}x_{1}+\dots+f_{p}x_{p}.

Définition. La médiane $M_{e}$ est une valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins ${50\%}$ des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins ${50\%}$ lui sont supérieures ou égales.

Définition. Le premier quartile $Q_{1}$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins ${25\%}$ des valeurs lui soient inférieures ou égales ; le troisième quartile $Q_{3}$ , la plus petite telle qu’au moins ${75\%}$ lui soient inférieures ou égales.

Méthode. Ordonner d’abord la série, puis appliquer les règles de rang du formulaire (page 2). Pour $Q_{1}$ et $Q_{3}$ : si $\frac{N}{4}$ (resp. $\frac{3N}{4}$ ) n’est pas entier, prendre la valeur de rang l’entier immédiatement supérieur.

3Indicateurs de dispersion

Définition. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. L’écart interquartile est $Q_{3}-Q_{1}$ : c’est l’amplitude de l’intervalle contenant au moins la moitié « centrale » des valeurs.

Définition. La variance $V$ et l’écart type $\sigma$ mesurent la dispersion autour de la moyenne :

V=\frac{n_{1}\left(x_{1}-\overline{x}\right)^{2}+\dots+n_{p}\left(x_{p}-\overline{x}\right)^{2}}{N},\qquad \sigma=\sqrt{V}\ \ (\sigma\geq0,\ \text{même unité que les }x_{i}).

Notation. La boîte à moustaches résume la série sur un axe gradué : un rectangle de $Q_{1}$ à $Q_{3}$ coupé par un trait à la médiane, et deux moustaches allant jusqu’au minimum et jusqu’au maximum.

Propriété — effet d’une transformation. Si toutes les valeurs augmentent de $a$ , la moyenne, la médiane et les quartiles augmentent de $a$ et l’écart type est inchangé. Si toutes les valeurs sont multipliées par $k>0$ , tous ces indicateurs sont multipliés par $k$ .

4Séries regroupées par classes

Définition. Quand les valeurs sont nombreuses, on les regroupe en classes $\intfo{a}{b}$ , ici de même amplitude. L’histogramme représente chaque classe par un rectangle de largeur l’amplitude et d’aire proportionnelle à l’effectif : à amplitudes égales, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs.

Propriété — moyenne par les centres. On remplace chaque classe par son centre $c_{i}=\frac{a+b}{2}$ et on calcule la moyenne pondérée des $c_{i}$ : on obtient une valeur approchée de la moyenne.

Définition. La classe médiane est la première classe dont la F.C.C. atteint ${50\%}$ . On estime $M_{e}$ en lisant l’abscisse du point d’ordonnée ${50\%}$ sur le polygone des fréquences cumulées croissantes (point $(a_{1}\,;0)$ , où $a_{1}$ est la borne inférieure de la première classe, puis points $(b\,;\text{F.C.C.})$ , joints par des segments). On estime de même $Q_{1}$ et $Q_{3}$ aux ordonnées ${25\%}$ et ${75\%}$ .

Masse (kg)	$\intfo{0}{2}$	$\intfo{2}{4}$	$\intfo{4}{6}$	$\intfo{6}{8}$
Effectif	$15$	$30$	$35$	$20$
F.C.C.	$15\,\%$	$45\,\%$	$80\,\%$	$100\,\%$

Figure 1 — Histogramme (effectifs ; masses en kg)

Figure 2 — Polygone des F.C.C.

5Comparer deux séries

Méthode. Deux séries se comparent par un indicateur de position et un indicateur de dispersion pris dans le même couple : moyenne et écart type, ou médiane et écart interquartile. À moyennes égales, la série d’écart type le plus petit est la plus régulière. En présence de valeurs extrêmes, préférer le couple médiane / écart interquartile.

Remarque. Ajouter une valeur supérieure à la moyenne fait augmenter la moyenne ; ajouter une valeur très grande modifie beaucoup la moyenne et l’écart type, mais très peu la médiane.

FormulaireTout le chapitre en trois points

Fréquence : $f_{i}=\frac{n_{i}}{N}$ ; moyenne : $\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+\dots+n_{p}x_{p}}{N}$ ; variance : $V=\frac{n_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+\dots+n_{p}(x_{p}-\overline{x})^{2}}{N}$ ; écart type : $\sigma=\sqrt{V}$ .
Médiane : valeur de rang $\frac{N+1}{2}$ ( $N$ impair), demi-somme des valeurs de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$ ( $N$ pair) ; $Q_{1}$ , $Q_{3}$ : valeurs de rangs $\frac{N}{4}$ , $\frac{3N}{4}$ arrondis à l’entier supérieur.
Étendue $=x_{\max}-x_{\min}$ ; écart interquartile $=Q_{3}-Q_{1}$ ; classes : centre $c=\frac{a+b}{2}$ , moyenne approchée $\frac{n_{1}c_{1}+\dots+n_{p}c_{p}}{N}$ .

6Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Calculer effectifs et fréquences cumulés croissants ; compléter un tableau de série regroupée par classes.
Calculer une moyenne pondérée, un écart type ; déterminer médiane, quartiles, étendue et écart interquartile.
Construire un histogramme à classes de même amplitude et le polygone des fréquences cumulées croissantes.
Repérer la classe médiane, estimer médiane et quartiles par lecture graphique, calculer la moyenne par les centres de classes.
Étudier l’effet de l’ajout ou du retrait d’une valeur ; comparer deux séries, et construire deux boîtes à moustaches sur un même axe.

7Exemples types

Exemplemoyenne et écart type

Série des notes $8$ , $10$ , $12$ , $14$ , $16$ . Moyenne : $\overline{x}=\frac{8+10+12+14+16}{5}=12$ . Variance : $V=\frac{16+4+0+4+16}{5}=8$ , donc $\sigma=\sqrt8\approx2{,}83$ .

Exemplemédiane et quartiles

Série ordonnée de $N=11$ valeurs : $2$ , $3$ , $5$ , $5$ , $7$ , $8$ , $9$ , $11$ , $12$ , $15$ , $17$ . Médiane : rang $6$ , soit $M_{e}=8$ . $\frac{N}{4}=2{,}75$ : $Q_{1}$ est la valeur de rang $3$ , soit $5$ ; $\frac{3N}{4}=8{,}25$ : $Q_{3}$ est celle de rang $9$ , soit $12$ . Écart interquartile $7$ ; étendue $15$ .

Exemplesérie par classes

Avec le tableau de la page 1 ( $N=100$ colis), les centres des classes sont $1$ , $3$ , $5$ et $7$ : $\overline{x}\approx\frac{15\times1+30\times3+35\times5+20\times7}{100}=\frac{420}{100}=4{,}2$ kg. La classe médiane est $\intfo{4}{6}$ (première F.C.C. à atteindre ${50\%}$ ), et la lecture graphique donne $M_{e}\approx4{,}3$ kg.

Exemplecomparer deux séries

Deux ateliers fabriquent des pièces de ${50\,\mathrm{g}}$ . Atelier A : $\overline{x}_{A}={50{,}0\,\mathrm{g}}$ et $\sigma_{A}={1{,}2\,\mathrm{g}}$ ; atelier B : $\overline{x}_{B}={50{,}0\,\mathrm{g}}$ et $\sigma_{B}={4{,}5\,\mathrm{g}}$ . Même moyenne, mais la production de A est bien plus régulière.

Pièges

Oublier les effectifs dans la moyenne : $\overline{x}$ est une moyenne pondérée, pas la moyenne des valeurs distinctes.
Calculer la médiane sans avoir ordonné la série, ou la confondre avec la moyenne. $Q_{1}$ et $Q_{3}$ sont des valeurs du caractère, pas des rangs ni des pourcentages.
Sur une série regroupée par classes, moyenne et médiane ne sont que des valeurs approchées.
Comparer deux séries avec la moyenne de l’une et la médiane de l’autre : utiliser les mêmes indicateurs.

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Statistiques

1Série statistique, effectifs et fréquences

2Indicateurs de position

3Indicateurs de dispersion

4Séries regroupées par classes

5Comparer deux séries

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types

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Exercices d'application

Contrôle A

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