Fonctions de référence : cours de Seconde et exercices

1Fonctions affines

Définition. Une fonction $f$ est affine lorsqu’il existe deux réels $m$ et $p$ tels que $f(x)=mx+p$ pour tout $x$ de $\R$ . Sa courbe est la droite d’équation $y=mx+p$ : $m$ est le coefficient directeur, $p$ l’ordonnée à l’origine. Si $p=0$ , $f$ est linéaire ; si $m=0$ , $f$ est constante.

Propriété — taux d’accroissement. Pour tous réels $a\neq b$ , $\ \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=m$ : ce nombre ne dépend pas de $a$ ni de $b$ . On en déduit $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ pour deux points $A$ et $B$ de la droite.

Propriété. Si $m>0$ , $f$ est croissante sur $\R$ ; si $m<0$ , $f$ est décroissante sur $\R$ ; si $m=0$ , $f$ est constante. Pour $m\neq0$ , $f(x)=0$ pour $x=-\dfrac{p}{m}$ et $f(x)$ change de signe en cette valeur (tableau de signes).

2Les fonctions carré, inverse, racine carrée et cube

Fonction	Définie sur	Sens de variation et signe
$x\mapsto x^{2}$	$\R$	décroissante sur $\intof{-\infty}{0}$ , croissante sur $\intfo{0}{+\infty}$ ; minimum $0$ en $0$ ; $x^{2}\geq0$
$x\mapsto \dfrac1x$	$\R^{*}$	décroissante sur $\intoo{-\infty}{0}$ et sur $\intoo{0}{+\infty}$ ; $\frac1x$ est du signe de $x$
$x\mapsto \sqrt{x}$	$\intfo{0}{+\infty}$	croissante sur $\intfo{0}{+\infty}$ ; minimum $0$ en $0$ ; $\sqrt{x}\geq0$
$x\mapsto x^{3}$	$\R$	croissante sur $\R$ ; $x^{3}$ est du signe de $x$

Notation. La courbe de la fonction carré est une parabole de sommet l’origine ; celle de la fonction inverse est une hyperbole formée de deux branches.

Remarque. La fonction inverse n’est pas décroissante sur $\R^{*}$ : la propriété n’a de sens que sur un intervalle. Ainsi $-1<2$ et pourtant $\frac{1}{-1}=-1<\frac12$ .

Figure 1 — Les quatre courbes de référence.

3La fonction valeur absolue

Définition. La valeur absolue d’un réel $a$ est $\abs{a}=a$ si $a\geq0$ et $\abs{a}=-a$ si $a<0$ : c’est la distance de $a$ à $0$ . Plus généralement, $\abs{a-b}$ est la distance entre $a$ et $b$ .

Propriété. Pour tout réel $x$ : $\ \abs{x}\geq0$ , $\ \abs{x}=0\iff x=0$ , $\ \abs{-x}=\abs{x}$ et $\ \sqrt{x^{2}}=\abs{x}$ .

Propriété. La fonction valeur absolue est définie sur $\R$ par $f(x)=\abs{x}$ . Elle est décroissante sur $\intof{-\infty}{0}$ , croissante sur $\intfo{0}{+\infty}$ , et son minimum est $0$ , atteint en $0$ : elle varie donc comme la fonction carré. Sa courbe est formée des deux demi-droites d’origine $O$ portées par les droites d’équations $y=-x$ (pour $x\leq0$ ) et $y=x$ (pour $x\geq0$ ).

Figure 2 — La courbe de $x\mapsto\abs{x}$ .

4Équations et inéquations

Propriété. Soit $k$ un réel et $r$ un réel strictement positif.

Formulaire

$\abs{x}=k$ : si $k>0$ , deux solutions $-k$ et $k$ ; si $k=0$ , une solution $0$ ; si $k<0$ , aucune solution.
$\abs{x}\leq k$ (avec $k\geq0$ ) $\iff x\in\intff{-k}{k}$ ; $\abs{x}>k$ (avec $k\geq0$ ) $\iff x\in\intoo{-\infty}{-k}\cup\intoo{k}{+\infty}$ .
$\abs{x-a}\leq r\iff x\in\intff{a-r}{a+r}$ : les réels à une distance au plus $r$ de $a$ .
$x^{2}=k$ : si $k>0$ , deux solutions $-\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$ ; si $k=0$ , une seule, $0$ ; si $k<0$ , aucune. $x^{2}\leq k$ (avec $k\geq 0$ ) $\iff x\in\intff{-\sqrt{k}}{\sqrt{k}}$ . $x^{3}=k$ : une seule solution, pour tout réel $k$ .

Méthode — encadrer une image. Pour encadrer $f(x)$ sachant $a\leq x\leq b$ , on utilise le sens de variation de $f$ sur $\intff{a}{b}$ : si $f$ est croissante, $f(a)\leq f(x)\leq f(b)$ ; si $f$ est décroissante, $f(b)\leq f(x)\leq f(a)$ . Si $f$ change de sens sur $\intff{a}{b}$ , on découpe l’intervalle.

5Comparer $x$ , $x^{2}$ et $x^{3}$

Propriété. Pour tout $x>0$ , le signe de $x^{2}-x=x(x-1)$ et celui de $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1)$ sont ceux de $x-1$ . On en déduit :

\text{si }0<x<1 : \ x^{3}<x^{2}<x\ ;\qquad \text{si }x>1 : \ x<x^{2}<x^{3}\ ;\qquad \text{si }x=0\text{ ou }x=1 : \ x=x^{2}=x^{3}.

Sur $\intfo{0}{+\infty}$ , les trois courbes se coupent donc aux points $O(0\,;0)$ et $A(1\,;1)$ , et nulle part ailleurs.

Méthode — position relative de deux courbes. Pour comparer les courbes d’équations $y=A(x)$ et $y=B(x)$ , on étudie le signe de $A(x)-B(x)$ : là où il est positif, la première courbe est au-dessus de la seconde.

6Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Reconnaître une fonction affine, calculer son coefficient directeur par un taux d’accroissement, donner son sens de variation et son tableau de signes.
Donner de mémoire l’ensemble de définition, les variations, le signe et l’allure de la courbe des fonctions carré, inverse, racine carrée, cube et valeur absolue.
Résoudre, graphiquement et par le calcul, $\abs{x}=k$ , $\abs{x}<k$ , $\abs{x}\geq k$ , $\abs{x-a}\leq r$ , ainsi que $x^{2}=k$ et $x^{2}\leq k$ .
Comparer deux images sans les calculer et encadrer $f(x)$ à l’aide du sens de variation.
Comparer $x$ , $x^{2}$ et $x^{3}$ selon la position de $x$ par rapport à $1$ , et déterminer la position relative de deux courbes par le signe d’une différence.

7Exemples types

Exempleinéquation avec une valeur absolue

Résoudre $\abs{x-4}<3$ . Les solutions sont les réels dont la distance à $4$ est strictement inférieure à $3$ , c’est-à-dire $4-3<x<4+3$ : $S=\intoo{1}{7}$ .

Exempleencadrement par le sens de variation

On suppose $-1\leq x\leq3$ et on veut encadrer $x^{2}$ . La fonction carré n’est pas monotone sur $\intff{-1}{3}$ : son minimum est $0$ (atteint en $0$ ) et son maximum est $\max(1\,;9)=9$ (atteint en $3$ ). Donc $0\leq x^{2}\leq9$ . Écrire « $1\leq x^{2}\leq9$ » serait faux.

Exemplefonction affine déterminée par deux points

La droite passant par $A(-2\,;7)$ et $B(3\,;-3)$ a pour coefficient directeur $m=\dfrac{-3-7}{3-(-2)}=\dfrac{-10}{5}=-2$ . Avec $f(x)=-2x+p$ et $f(3)=-3$ , on obtient $p=3$ : $f(x)=-2x+3$ , décroissante sur $\R$ , positive pour $x\leq1{,}5$ .

Pièges

$\abs{x}=k$ n’a pas toujours deux solutions : il n’y en a aucune si $k<0$ , et une seule si $k=0$ .
$\sqrt{x^{2}}=\abs{x}$ , et non $x$ : pour $x=-5$ , $\sqrt{(-5)^{2}}=5$ .
La fonction inverse est décroissante sur chacun des intervalles $\intoo{-\infty}{0}$ et $\intoo{0}{+\infty}$ , jamais sur leur réunion.
Pour encadrer $f(x)$ , ne pas écrire $f(a)\leq f(x)\leq f(b)$ sans vérifier que $f$ est croissante sur $\intff{a}{b}$ .
$x^{2}<x$ est faux en général : cela ne vaut que pour $0<x<1$ . De même $\sqrt{x}>x$ seulement pour $0<x<1$ .

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Fonctions de référence

1Fonctions affines

2Les fonctions carré, inverse, racine carrée et cube

3La fonction valeur absolue

4Équations et inéquations

5Comparer $x$ , $x^{2}$ et $x^{3}$

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices d'application

Contrôle A

Seconde · Mathématiques : les 14 chapitres

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1Fonctions affines

2Les fonctions carré, inverse, racine carrée et cube

3La fonction valeur absolue

4Équations et inéquations

5Comparer xx, x2x^{2} et x3x^{3}

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5Comparer $x$ , $x^{2}$ et $x^{3}$