Droites du plan

Dans toute la fiche, le plan est muni d’un repère $\left(O\,;\vv\imath,\vv\jmath\right)$.

1Vecteur directeur et équation cartésienne

Définition. Un vecteur directeur d’une droite $d$ est un vecteur non nul $\vv u$ tel que $\vv u=\vect{AB}$ pour deux points $A$ et $B$ de $d$. Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

Propriété. La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vv u$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{AM}$ et $\vv u$ soient colinéaires, c’est-à-dire $\det\left(\vect{AM}\,;\vv u\right)=0$.

Théorème. Toute droite admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$, avec $(a\,;b)\neq(0\,;0)$. Réciproquement, l’ensemble des points $M\,(x\,;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ est une droite, dont $\vv u\left(-b\,;a\right)$ est un vecteur directeur.

Remarque. Une équation cartésienne n’est pas unique : $2x-4y+6=0$ et $x-2y+3=0$ décrivent la même droite. Un point appartient à la droite si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l’équation.

2Équation réduite, coefficient directeur

3Déterminer l’équation d’une droite

Méthode — à partir de deux points $A$ et $B$. si $x_A=x_B$, la droite est verticale d’équation $x=x_A$. Sinon, calculer $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, puis déterminer $p$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ dans $y=mx+p$.

Méthode — à partir d’un point $A$ et d’un vecteur directeur $\vv u\left(\alpha\,;\beta\right)$. écrire $\det\left(\vect{AM}\,;\vv u\right)=0$, soit $(x-x_A)\beta-(y-y_A)\alpha=0$, puis développer pour obtenir $ax+by+c=0$. On peut aussi partir de $ax+by+c=0$ avec $\vv u\left(-b\,;a\right)$ et calculer $c$ à l’aide de $A$.

4Positions relatives de deux droites

Propriété. Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c’est-à-dire, avec les équations cartésiennes $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$, lorsque $ab'-a'b=0$. Avec des équations réduites $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$, elles sont parallèles si, et seulement si, $m=m'$ ; elles sont alors confondues si $p=p'$, strictement parallèles sinon.

Propriété. Deux droites non parallèles sont sécantes : elles ont un unique point d’intersection.

Méthode — déterminer le point d’intersection. avec deux équations réduites, résoudre $mx+p=m'x+p'$ pour obtenir l’abscisse du point, puis reporter dans l’une des équations pour l’ordonnée. Si l’une des droites est verticale ($x=k$), reporter directement $x=k$ dans l’autre équation.

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types