Nombres réels, intervalles et valeur absolue

1Les ensembles de nombres

Définition. Un entier naturel est un entier positif ou nul ($\N$) ; un entier relatif est un entier de signe quelconque ($\Z$). Un nombre décimal est un nombre qui s’écrit $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a\in\Z$ et $n\in\N$ ($\D$) ; un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit $\dfrac pq$ avec $p\in\Z$ et $q\in\Z^*$ ($\Q$). Les nombres réels sont les abscisses des points d’une droite graduée ($\R$). Un réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel : $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\pi$.

Propriété. $\N\subset\Z\subset\D\subset\Q\subset\R$. Un décimal a une écriture décimale finie ; un rationnel non décimal a une écriture décimale périodique à partir d’un certain rang, comme $\frac13=0{,}333\dots$

Notation. $x\in E$ (« $x$ appartient à $E$ »), $x\notin E$, $E\subset F$ (« $E$ est inclus dans $F$ »). L’ensemble vide $\varnothing$ est l’ensemble qui n’a aucun élément. Pour un ensemble fini $E$, $\Card E$ est son nombre d’éléments : $\Card\ens{-3\,;0\,;\sqrt2}=3$. Le produit cartésien $E\times F$ est l’ensemble des couples $(x\,;y)$ où $x\in E$ et $y\in F$ ; ainsi $\R\times\R=\R^2$ est l’ensemble des couples de coordonnées du plan.

Propriété — deux résultats à savoir démontrer. $\frac13$ n’est pas un nombre décimal : si $\frac13=\frac a{10^n}$ ($a\in\Z$, $n\in\N$), alors $10^n=3a$ serait un multiple de $3$, ce qui est faux car la somme des chiffres de $10^n=1\,0\dots0$ vaut $1$. $\sqrt2$ est irrationnel : si $\sqrt2=\frac pq$, fraction irréductible d’entiers naturels non nuls, alors $p^2=2q^2$ est pair, donc $p$ est pair (le carré d’un impair est impair) ; avec $p=2k$, il vient $q^2=2k^2$, donc $q$ est pair aussi : absurde.

2Intervalles de $\R$

Définition. Un intervalle est l’ensemble des réels compris entre deux bornes. Les bornes sont écrites séparées d’un point-virgule ; le crochet est tourné vers la borne quand elle appartient à l’intervalle.

Remarque. Une borne infinie est toujours ouverte, et $\R=\intoo{-\infty}{+\infty}$. L’intervalle $\intff aa$ se réduit à $\ens a$.

Propriété. L’intersection $I\cap J$ est l’ensemble des réels appartenant à $I$ et à $J$ : c’est un intervalle, éventuellement $\varnothing$. La réunion $I\cup J$ est l’ensemble des réels appartenant à $I$ ou à $J$ : ce n’est un intervalle que si $I$ et $J$ se chevauchent ou se touchent.

Méthode — déterminer $I\cap J$ ou $I\cup J$. placer les quatre bornes sur une droite graduée, hachurer $I$ puis $J$, et lire la zone commune (intersection) ou la zone totale (réunion), en soignant les crochets.

3Valeur absolue et distance

4Encadrer, arrondir, écrire un ordre de grandeur

Définition. Encadrer un réel $x$, c’est écrire $a\leq x\leq b$ ; le nombre $b-a$ est l’amplitude de l’encadrement. Un encadrement à $10^{-n}$ est un encadrement d’amplitude $10^{-n}$ par deux décimaux, comme $1{,}41\leq\sqrt2\leq1{,}42$.

Propriété — compatibilité avec les opérations. Si $a\leq x\leq b$ et $c\leq y\leq d$, alors $a+c\leq x+y\leq b+d$. Si de plus $a\geq0$ et $c\geq0$, alors $ac\leq xy\leq bd$. Attention : on ne soustrait pas deux encadrements membre à membre (pour $x-y$, on ajoute $-d\leq-y\leq-c$) et on ne multiplie pas sans précaution des encadrements de nombres négatifs.

Définition. La troncature à $10^{-n}$ de $x>0$ s’obtient en coupant l’écriture décimale après le $n$-ième chiffre après la virgule ; l’arrondi à $10^{-n}$ est le plus proche de $x$ des deux décimaux encadrants. L’écriture scientifique d’un réel non nul est $a\times10^{p}$ avec $1\leq\abs a<10$ et $p\in\Z$ ; pour $a>0$, l’ordre de grandeur est, par convention, $10^{p}$ si $a<5$ et $10^{p+1}$ si $a\geq5$ : celui de $6{,}4\times10^{-3}$ est $10^{-2}$.

Définition. Les chiffres significatifs d’un décimal sont ses chiffres à partir du premier non nul (lu de gauche à droite) : $0{,}073\,62$ en a quatre, $4{,}70$ en a trois. Arrondis : $0{,}073\,62\approx0{,}074$ (deux chiffres significatifs), $3\,849\approx3{,}85\times10^3$ (trois). Une valeur encadrée peut s’annoncer avec $n$ chiffres significatifs si toutes les valeurs de l’encadrement ont le même arrondi à $n$ chiffres significatifs.

Méthode — encadrer $\sqrt2$ par balayage. on teste $1{,}0^2$, $1{,}1^2$, …, $1{,}5^2$ : comme $1{,}4^2=1{,}96<2<2{,}25=1{,}5^2$, on a $1{,}4<\sqrt2<1{,}5$. On recommence au pas suivant ($10^{-2}$, puis $10^{-3}$) pour gagner un chiffre à chaque étape.

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types