Tableaux croisés et fréquences conditionnelles : cours de Seconde et exercices

1Le tableau croisé d’effectifs

Définition. Un tableau croisé répartit les $N$ individus d’une population selon deux caractères. Chaque case donne l’effectif des individus qui possèdent à la fois la modalité de sa ligne et celle de sa colonne. La dernière colonne donne les totaux-lignes, la dernière ligne les totaux-colonnes, et la case du coin l’effectif total $N$ .

Propriété. Chaque total-ligne est la somme de sa ligne, chaque total-colonne la somme de sa colonne, et la somme des totaux-lignes est égale à la somme des totaux-colonnes, égale à $N$ . C’est ce qui permet de compléter un tableau dont des cases manquent, et de vérifier ses calculs.

Effectifs	Moins de 30 ans	30 ans ou plus	Total
Vélo	$150$	$90$	$240$
Voiture	$120$	$240$	$360$
Total	$270$	$330$	$600$

Tableau 1 — Mode de déplacement domicile-travail de $600$ personnes, selon l’âge. Ce tableau sert d’exemple dans toute la fiche.

2Fréquences et fréquences marginales

Définition. La fréquence d’un groupe est le quotient de son effectif par l’effectif total $N$ ; on l’exprime souvent en pourcentage. Les fréquences des cases forment le tableau des fréquences ; leur somme vaut $1$ , soit ${100\%}$ .

Définition. Les fréquences obtenues à partir des totaux d’une ligne ou d’une colonne sont les fréquences marginales : elles décrivent un seul des deux caractères.

Remarque. Dans le tableau 1 : la fréquence marginale du vélo est $\frac{240}{600}=0{,}40$ , soit ${40\%}$ ; celle des moins de 30 ans est $\frac{270}{600}=0{,}45$ , soit ${45\%}$ . La fréquence de la case « vélo et moins de 30 ans » est $\frac{150}{600}=0{,}25$ , soit ${25\%}$ .

Méthode — des effectifs aux fréquences, et réciproquement. Pour obtenir le tableau des fréquences, diviser toutes les cases par $N$ ; pour revenir aux effectifs, multiplier toutes les fréquences par $N$ . Une fréquence marginale est aussi la somme des fréquences de sa ligne (ou de sa colonne) : c’est un moyen de contrôle.

Fréquences	Moins de 30 ans	30 ans ou plus	Total
Vélo	$25\,\%$	$15\,\%$	$40\,\%$
Voiture	$20\,\%$	$40\,\%$	$60\,\%$
Total	$45\,\%$	$55\,\%$	$100\,\%$

Tableau 2 — Le tableau des fréquences associé au tableau 1. Les fréquences marginales sont dans la dernière ligne et la dernière colonne.

3Fréquences conditionnelles

Définition. La fréquence conditionnelle de $A$ parmi les $B$ (on dit aussi « sachant que » l’individu est un $B$ ) est

f_{B}(A)=\frac{n(A\text{ et }B)}{n(B)}\,: \ \text{le dénominateur est le total du groupe }B,\ \text{et non }N.

Méthode — repérer le bon dénominateur. Le mot qui suit « parmi », « sachant que », « lorsque », « chez les » désigne le groupe de référence : c’est lui qui fournit le dénominateur. On travaille alors dans une seule ligne (ou une seule colonne) du tableau.

Propriété. Pour un groupe de référence fixé, les fréquences conditionnelles ont pour somme $1$ : $f_{B}(A)+f_{B}(\text{non }A)=1$ . En revanche $f_{B}(A)$ et $f_{A}(B)$ sont en général différentes.

Remarque. Dans le tableau 1 : parmi les moins de 30 ans, la fréquence du vélo est $\frac{150}{270}\approx0{,}556$ , soit environ ${55{,}6\%}$ ; parmi les cyclistes, la fréquence des moins de 30 ans est $\frac{150}{240}=0{,}625$ , soit ${62{,}5\%}$ . Les deux phrases ne disent pas la même chose.

4« Et », « ou », « non » : compter sur un tableau

Propriété. Pour deux groupes $A$ et $B$ d’une même population de $N$ individus :

Formulaire

« $A$ et $B$ » : c’est une case du tableau croisé.
$n(\text{non }A)=N-n(A)$ (le groupe complémentaire).
$n(A\text{ ou }B)=n(A)+n(B)-n(A\text{ et }B)$ : on retranche la case comptée deux fois.
Les fréquences correspondantes s’obtiennent en divisant par $N$ .

Méthode — filtrer des données. Dans un tableur, un comptage conditionnel s’obtient avec NB.SI (une condition) ou NB.SI.ENS (plusieurs conditions combinées par « et »). En Python, on parcourt les données et on compte les individus qui vérifient la condition, écrite avec and, or et not.

n = 0
for (age, mode) in donnees:
    if age < 30 and mode == "velo":
        n = n + 1
print(n, n/len(donnees))

Programme 1 — Effectif et fréquence du groupe « moins de 30 ans et vélo » ; donnees contient un couple (âge, mode) par personne. Remplacer and par or donne le groupe « ou ».

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Lire un tableau croisé et le compléter à partir d’effectifs ou de fréquences partiels.
Calculer une fréquence, une fréquence marginale, et construire le tableau des fréquences.
Calculer une fréquence conditionnelle et l’énoncer par une phrase sans ambiguïté ; distinguer $f_{A}(B)$ et $f_{B}(A)$ .
Traduire « et », « ou », « non » sur un tableau croisé et appliquer $n(A\text{ ou }B)=n(A)+n(B)-n(A\text{ et }B)$ .
Passer d’un tableau de fréquences à un tableau d’effectifs ; interpréter un comptage obtenu par filtre (tableur ou Python).

6Exemples types

Exemplefréquence marginale et fréquence conditionnelle

Avec le tableau 1 : la fréquence des personnes en voiture est $\frac{360}{600}={60\%}$ (fréquence marginale). Parmi les $330$ personnes de 30 ans ou plus, $240$ sont en voiture, soit $\frac{240}{330}\approx{72{,}7\%}$ : la voiture est nettement plus fréquente dans cette tranche d’âge.

Exemple« ou » et « non »

Toujours avec le tableau 1 : $n(\text{vélo ou moins de 30 ans})=240+270-150=360$ , soit une fréquence de $\frac{360}{600}={60\%}$ . Et $n(\text{non vélo})=600-240=360$ : c’est bien le total de la ligne « voiture ».

Exemplecompléter un tableau à partir de fréquences

Une enquête porte sur $400$ personnes, dont ${55\%}$ de femmes ; parmi les femmes, ${20\%}$ pratiquent la natation. On en déduit : $0{,}55\times400=220$ femmes, puis $0{,}20\times220=44$ femmes nageuses. La fréquence des femmes nageuses dans l’ensemble est $\frac{44}{400}={11\%}$ , et non ${20\%}$ .

Pièges

Diviser par $N$ au lieu du total du groupe de référence : une fréquence conditionnelle a pour dénominateur un total-ligne ou un total-colonne.
Confondre « ${62{,}5\%}$ des cyclistes ont moins de 30 ans » (vrai dans le tableau 1) et « ${62{,}5\%}$ des moins de 30 ans sont cyclistes » (faux : environ ${55{,}6\%}$ ) : les deux fréquences n’ont pas le même sens et, en général, pas la même valeur.
Additionner les effectifs de $A$ et de $B$ pour obtenir « $A$ ou $B$ » sans retrancher la case « $A$ et $B$ ».
Additionner (ou moyenner) des fréquences calculées sur des groupes de référence différents : elles n’ont pas le même dénominateur, leur somme n’a pas de sens.
Arrondir avant la fin : conserver les effectifs exacts et n’arrondir qu’au dernier calcul.

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Tableaux croisés et fréquences conditionnelles

1Le tableau croisé d’effectifs

2Fréquences et fréquences marginales

3Fréquences conditionnelles

4« Et », « ou », « non » : compter sur un tableau

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Devoir bilan

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