Équations et inéquations

1Vocabulaire

Définition. Une solution d’une équation (ou d’une inéquation) d’inconnue $x$ est un réel qui rend l’égalité (ou l’inégalité) vraie. Résoudre, c’est déterminer toutes les solutions ; on note $S$ l’ensemble des solutions, écrit sous forme d’intervalles ou de la liste $\ens{\dots}$, et $S=\varnothing$ lorsqu’il n’y en a aucune.

Définition. L’ensemble de définition $\mathcal D$ d’une équation est l’ensemble des réels pour lesquels toutes les expressions écrites existent : on exclut les valeurs qui annulent un dénominateur et celles qui rendent négatif un nombre sous une racine carrée. $\mathcal D$ se détermine avant toute résolution, et les solutions trouvées doivent lui appartenir.

Remarque. Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont les mêmes solutions. On ne change pas l’ensemble des solutions en ajoutant un même nombre aux deux membres, ni en les multipliant par un même nombre non nul.

2Équations

Propriété — premier degré. Pour $a\neq0$, l’équation $ax+b=0$ a une unique solution $x=-\dfrac ba$. Si $a=0$, l’équation $0\times x+b=0$ n’a aucune solution lorsque $b\neq0$, et tout réel est solution lorsque $b=0$.

Théorème — équation produit nul. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul :

Propriété — équation quotient. Pour $x\in\mathcal D$ : $\dfrac{A(x)}{B(x)}=0\ssi A(x)=0$ et $\dfrac{A(x)}{B(x)}=k\ssi A(x)=k\,B(x)$.

Méthode — mettre en équation un problème. choisir l’inconnue et préciser ce qu’elle représente (avec son unité), traduire l’énoncé par une égalité, résoudre, puis revenir à la question posée et vérifier que la réponse a un sens.

3Inéquations

Propriété — règles de calcul. On ne change pas le sens d’une inégalité en ajoutant un même réel aux deux membres, ni en les multipliant (ou en les divisant) par un même réel strictement positif. On change le sens de l’inégalité en multipliant ou en divisant par un réel strictement négatif.

Méthode — comparer deux quantités $A$ et $B$. Comparaison additive : étudier le signe de $A-B$, car $A-B>0\ssi A>B$. Comparaison multiplicative : si $A>0$ et $B>0$, comparer $\dfrac AB$ à $1$, car $\dfrac AB>1\ssi A>B$ ; le quotient dit « combien de fois » $A$ contient $B$ et se traduit en pourcentage.

4Signe d’un produit, signe d’un quotient

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types