Terminale spécialité · Mathématiques · Analyse · Chapitre 10

Calcul intégral

Fiche de cours3 min de lecturePar Robin RinguetMise à jour : octobre 2026

Télécharger la fiche (PDF)Exercices et contrôles

1Intégrale et aire sous la courbe

Définition. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\intff{a}{b}$ ( $a\leq b$ ). L’intégrale de $f$ de $a$ à $b$ , notée $\int_a^b f(x)\dd x$ , est l’aire, en unités d’aire (u.a.), du domaine délimité par la courbe $\Cf$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ .

Notation. La variable $x$ est muette : $\int_a^b f(x)\dd x=\int_a^b f(t)\dd t$ . Les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l’intégrale.

Remarque. Si l’unité de longueur vaut $p$ cm sur l’axe des abscisses et $q$ cm sur l’axe des ordonnées, alors $1$ u.a. $=pq$ ${\mathrm{cm}^{2}}$ .

Figure 1 — Pour $f\geq 0$ , l’intégrale mesure l’aire sous la courbe.

2Théorème fondamental et calcul d’une intégrale

Théorème — fondamental. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $a\in I$ , la fonction $F_a:x\mapsto\displaystyle\int_a^x f(t)\dd t$ est dérivable sur $I$ , de dérivée $f$ : c’est l’unique primitive de $f$ sur $I$ qui s’annule en $a$ . (Démonstration exigible lorsque $f$ est positive et croissante ; admis dans le cas général.)

Propriété — calcul. Si $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $I$ , alors pour tous $a$ et $b$ de $I$ :

\int_a^b f(x)\dd x=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a).

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie. Cette formule définit aussi $\int_a^b f$ lorsque $f$ change de signe et lorsque $b<a$ ; en particulier $\int_a^a f=0$ et $\int_b^a f=-\int_a^b f$ .

3Propriétés de l’intégrale

Formulaire

f

g

continues sur

\intff{a}{b}

, avec

a\leq b

, et

\alpha,\beta

réels

Linéarité : $\displaystyle\int_a^b\bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr)\dd x=\alpha\displaystyle\int_a^b f(x)\dd x+\beta\displaystyle\int_a^b g(x)\dd x$ .
Relation de Chasles : pour tout $c$ de l’intervalle, $\displaystyle\int_a^c f(x)\dd x+\displaystyle\int_c^b f(x)\dd x=\displaystyle\int_a^b f(x)\dd x$ .
Positivité et inégalités : si $f\geq 0$ sur $\intff{a}{b}$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\dd x\geq 0$ ; si $f\leq g$ sur $\intff{a}{b}$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\dd x\leq\displaystyle\int_a^b g(x)\dd x$ .
Encadrement : si $m\leq f\leq M$ sur $\intff{a}{b}$ , alors $m(b-a)\leq\displaystyle\int_a^b f(x)\dd x\leq M(b-a)$ .

4Valeur moyenne et aire entre deux courbes

Définition. La valeur moyenne de $f$ sur $\intff{a}{b}$ (avec $a<b$ ) est le réel $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\dd x$ : si $f\geq0$ , c’est la hauteur du rectangle de base $b-a$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe. Si $m\leq f\leq M$ , alors $m\leq\mu\leq M$ .

Propriété — aire entre deux courbes. Si $f\geq g$ sur $\intff{a}{b}$ , l’aire entre $\Cf$ et $\mathcal{C}_g$ vaut $\displaystyle\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\dd x$ u.a. Si $f-g$ change de signe, découper $\intff{a}{b}$ selon le signe de $f-g$ (Chasles) et ajouter les aires de chaque morceau. De même, l’aire entre $\Cf$ et l’axe des abscisses s’obtient en changeant le signe des intégrales sur les intervalles où $f\leq0$ .

5Intégration par parties

Théorème. Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $\intff{a}{b}$ , de dérivées continues, alors (intégrer $(uv)'=u'v+uv'$ entre $a$ et $b$ ) :

\int_a^b u(x)\,v'(x)\dd x=\bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b-\int_a^b u'(x)\,v(x)\dd x.

Méthode — choix de $u$ et de $v'$ . Prendre $u$ tel que $u'$ soit plus simple que $u$ ( $x$ , $x^2$ , $\ln x$ ) et $v'$ dont on connaît une primitive ( $\e^{x}$ , $\sin x$ , $\cos x$ ).

6Encadrement, approximation et suites d’intégrales

Méthode — méthode des rectangles. Avec $h=\frac{b-a}{n}$ et $f$ croissante : $h\sum_{k=0}^{n-1}f(a+kh)\leq\int_a^b f\leq h\sum_{k=1}^{n}f(a+kh)$ , d’amplitude $h\bigl(f(b)-f(a)\bigr)$ ; les trapèzes moyennent ces deux sommes.

Méthode — suite d’intégrales $I_n$ . Comparer $f_{n+1}$ et $f_n$ puis intégrer l’inégalité (monotonie) ; encadrer $f_n$ pour majorer $I_n$ et obtenir sa limite ; une intégration par parties donne souvent une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ .

7Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Interpréter une intégrale comme une aire en unités d’aire et convertir en ${\mathrm{cm}^{2}}$ .
Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive, même si $f$ change de signe ; calculer une aire entre deux courbes.
Encadrer ou majorer une intégrale ; calculer une valeur moyenne et l’interpréter en contexte.
Mener une intégration par parties, éventuellement deux fois de suite.
Étudier une suite d’intégrales : variations, encadrement, récurrence, limite.

8Exemples types

Exemplecalcul par une primitive

$I=\displaystyle\int_0^1\bigl(3x^2+\e^{-x}\bigr)\dd x$ : $F(x)=x^3-\e^{-x}$ est une primitive, donc $I=F(1)-F(0)=\bigl(1-\e^{-1}\bigr)+1=2-\e^{-1}\approx 1{,}632$ .

Exempleaire entre deux courbes

$f(x)=4-x^2$ , $g(x)=x+2$ : $f-g=-(x-1)(x+2)\geq 0$ sur $\intff{-2}{1}$ , d’où l’aire $\displaystyle\int_{-2}^{1}\bigl(-x^2-x+2\bigr)\dd x=\bigl[-\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^2}{2}+2x\bigr]_{-2}^{1}=\tfrac{7}{6}+\tfrac{10}{3}=\tfrac{9}{2}$ u.a.

Exempleintégration par parties

$J=\displaystyle\int_1^{\e}\ln x\dd x$ : on pose $u(x)=\ln x$ , $v'(x)=1$ , d’où $u'(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=x$ . Alors $J=\bigl[x\ln x\bigr]_1^{\e}-\displaystyle\int_1^{\e}1\dd x=\e-(\e-1)=1$ . La valeur moyenne de $\ln$ sur $\intff{1}{\e}$ vaut donc $\frac{1}{\e-1}\approx 0{,}582$ .

Pièges

« Intégrale = aire » n’est vrai que si $f\geq 0$ : sinon l’intégrale est une aire algébrique.
$\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)\dd x\neq\displaystyle\int_a^b f\times\displaystyle\int_a^b g$ : la linéarité ne porte ni sur les produits ni sur les quotients.
Ne pas oublier le $\dd x$ ni les crochets ; soustraire dans le bon ordre $F(b)-F(a)$ ; en intégrant par parties, ne pas confondre $v$ et $v'$ ni oublier le signe « moins ».

← Primitives et équations différentielles Combinatoire et dénombrement →

Exercices, contrôles et sujets

Les énoncés sont en accès libre, à télécharger en PDF.

Exercices de base

PDF

Les bases : aire sous une courbe, calcul par une primitive, propriétés, valeur moyenne

9 exercicesniveau Difficulté 1 sur 3 à Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 hcalculatrice autorisée

Lire une aire sur un graphiqueDifficulté 1 sur 3
Encadrer une aire par des rectanglesDifficulté 1 sur 3
Calculer avec une primitiveDifficulté 1 sur 3
Reconnaître une forme composéeDifficulté 2 sur 3
Utiliser les propriétés de l’intégraleDifficulté 2 sur 3
Une fonction définie par une intégraleDifficulté 2 sur 3
La valeur moyenneDifficulté 2 sur 3
L’aire entre deux courbesDifficulté 2 sur 3
La distance parcourueDifficulté 2 sur 3

Exercices d'application

PDF

Problèmes : distance, température moyenne, aire d’un vitrail, stock, méthodes numériques, énergie

7 exercicesniveau Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 h 30calculatrice autorisée

La distance parcourue par un sprinteurDifficulté 2 sur 3
La température moyenne d’une journéeDifficulté 2 sur 3
Le vitrailDifficulté 2 sur 3
Le stock d’un entrepôtDifficulté 2 sur 3
Encadrer une intégrale qu’on ne sait pas calculerDifficulté 2 sur 3
S’entraîner à l’intégration par partiesDifficulté 2 sur 3
L’énergie produite par des panneaux solairesDifficulté 2 sur 3

Contrôle A

PDF

Calcul d’intégrales, propriétés, aire entre deux courbes, valeur moyenne d’une puissance

Durée : 1 hcalculatrice autorisée4 exercices indépendantsbarème sur 20

Questionnaire à choix multiples5 ptsDifficulté 1 sur 3
Quatre intégrales4 ptsDifficulté 1 sur 3
Une aire entre deux courbes5 ptsDifficulté 2 sur 3
La consommation électrique d’un atelier6 ptsDifficulté 2 sur 3

Contrôle B

PDF

Vrai ou faux, intégration par parties, aires et convexité, suite d’intégrales