Limites de suites

1Définitions

Définition — limite infinie. $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ signifie que tout intervalle $\intfo{A}{+\infty}$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. De même, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty$ signifie que tout intervalle $\intof{-\infty}{A}$ contient tous les termes à partir d’un certain rang.

Définition — limite finie. $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. La suite est alors dite convergente (vers $\ell$) ; sa limite est unique.

Notation. Une suite qui n’est pas convergente est divergente : soit elle a une limite infinie, soit elle n’a pas de limite du tout, comme $\bigl((-1)^{n}\bigr)$, dont les termes valent alternativement $1$ et $-1$.

2Limites usuelles et opérations

Méthode — lever une indétermination. Factoriser le terme prépondérant : la plus grande puissance de $n$ au numérateur et au dénominateur, ou la suite géométrique de plus grande raison ; simplifier, puis appliquer les opérations.

3Théorèmes de comparaison

Théorème — comparaison. Si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, alors : $\lim u_n=+\infty$ entraîne $\lim v_n=+\infty$ ; $\lim v_n=-\infty$ entraîne $\lim u_n=-\infty$.

Théorème — théorème des gendarmes. Si $u_n\leq w_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang et si $\lim u_n=\lim v_n=\ell$, alors $(w_n)$ converge et $\lim w_n=\ell$.

Remarque. On l’utilise dès qu’apparaît un terme borné : $-1\leq\cos n\leq 1$ et $-1\leq (-1)^{n}\leq 1$ donnent l’encadrement de départ.

4La suite géométrique $(q^{n})$

Propriété. Soit $q$ un réel. Si $q>1$ : $\lim q^{n}=+\infty$. Si $q=1$ : $\lim q^{n}=1$. Si $-1<q<1$ : $\lim q^{n}=0$. Si $q\leq -1$ : la suite $(q^{n})$ n’a pas de limite.

Idée de la démonstration pour $q>1$. On écrit $q=1+a$ avec $a>0$ ; l’inégalité de Bernoulli donne $q^{n}\geq 1+na$, qui tend vers $+\infty$ : on conclut par comparaison.

Propriété — somme des termes. Pour $q\neq 1$ : $1+q+\dots+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$, de limite $\dfrac{1}{1-q}$ si $-1<q<1$.

5Suites monotones

Théorème — convergence monotone, admis. Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Théorème. Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$. Ainsi une suite croissante est soit convergente, soit de limite $+\infty$.

Remarque. Le théorème donne l’existence de la limite, pas sa valeur : si $u_n\leq M$ pour tout $n$, alors $\ell\leq M$, mais $\ell$ n’est en général pas égal à $M$.

6Suites arithmético-géométriques

Méthode — suite définie par $u_{n+1}=au_n+b$, avec $a\neq 1$. Résoudre $c=ac+b$, soit $c=\dfrac{b}{1-a}$. Poser $v_n=u_n-c$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$, donc $v_n=(u_0-c)\,a^{n}$, puis $u_n=(u_0-c)\,a^{n}+c$. Si $-1<a<1$, la suite $(u_n)$ converge vers $c$.

Méthode — algorithme de seuil. Pour le plus petit rang $n$ tel que $u_n\geq A$ : n = 0 ; u = u0 ; while u < A: on remplace u par le terme suivant et on incrémente n. Si $\lim u_n=+\infty$, la boucle se termine ; si tous les termes restent inférieurs à $A$ (suite croissante de limite $\ell\leq A$, par exemple), elle ne s’arrête jamais.

7Savoir-faire du chapitre

8Exemples types