Compléments sur la dérivation : cours de Terminale et exercices

1Fonction composée

Définition. Soit $u$ définie sur $I$ à valeurs dans $J$ et $v$ définie sur $J$ . La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction $v\circ u$ définie sur $I$ par $(v\circ u)(x)=v\bigl(u(x)\bigr)$ .

Remarque. En général $v\circ u\neq u\circ v$ : l’ordre compte. Pour décomposer, on repère la fonction « intérieure » $u$ (ce qui est sous la racine, en exposant, dans la parenthèse) et la fonction « extérieure » $v$ .

Méthode — ensemble de définition. $x\in I$ doit vérifier deux conditions : $u(x)$ existe, et $u(x)$ appartient à l’ensemble de définition de $v$ (par exemple $u(x)\geq 0$ pour $\sqrt{u}$ , $u(x)\neq 0$ pour $\frac1u$ ).

2Dérivée d’une composée

Théorème. Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ dérivable sur $J\supset u(I)$ , alors $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et

(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u',\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \bigl[v(u(x))\bigr]'=u'(x)\times v'\bigl(u(x)\bigr).

Formulaireles cas usuels, à connaître par cœur (

u

dérivable sur

I

)

$\left(\e^{u}\right)'=u'\,\e^{u}$ ; $\left(u^{n}\right)'=n\,u'\,u^{n-1}$ pour $n\in\Z^{*}$ ( $u$ ne s’annulant pas si $n<0$ ) ; $\left(\sqrt u\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ si $u>0$ .
$\bigl[f(ax+b)\bigr]'=a\,f'(ax+b)$ ; rappels : $\left(x^{n}\right)'=n x^{n-1}$ , $\left(\sqrt x\right)'=\frac{1}{2\sqrt x}$ , $\left(\e^{x}\right)'=\e^{x}$ , $\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^{2}}$ .
Opérations : $(uv)'=u'v+uv'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ ; $(ku)'=ku'$ .

Remarque. Dès que la fonction $\ln$ sera connue (chapitre 7), on ajoutera $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ , valable lorsque $u>0$ .

Remarque. $\sqrt u$ peut être définie sans être dérivable là où $u$ s’annule : $x\mapsto\sqrt{3x+7}$ est définie en $-\frac73$ mais n’y est pas dérivable (tangente verticale).

3Dérivée seconde

Définition. Si $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , sa dérivée est la dérivée seconde de $f$ , notée $f''$ : $f''=(f')'$ .

Propriété. $f''\geq 0$ sur $I$ équivaut à « $f'$ est croissante sur $I$ » ; $f''\leq 0$ équivaut à « $f'$ est décroissante ».

Remarque. En cinématique, si $d(t)$ est la position d’un mobile à l’instant $t$ , alors $d'(t)$ est sa vitesse et $d''(t)$ son accélération.

4Étudier une fonction composée

Méthode — variations. Calculer $f'$ , la factoriser, puis étudier son signe. Un facteur $\e^{u(x)}$ est toujours strictement positif et un facteur $\sqrt{u(x)}$ ou $u(x)^{2}$ est positif : le signe de $f'$ est donné par les autres facteurs. Dresser ensuite le tableau de variations avec les limites aux bornes.

Méthode — tangente. La tangente à $\Cf$ au point d’abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Méthode — optimisation. Traduire le problème par une fonction sur un intervalle, dériver, étudier le signe de la dérivée, et conclure par le tableau de variations (extremum atteint en un point où $f'$ s’annule en changeant de signe, ou à une borne de l’intervalle).

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Reconnaître et décomposer une composée $v\circ u$ ; déterminer son ensemble de définition.
Dériver $\e^{u}$ , $u^{n}$ , $\sqrt u$ et $x\mapsto f(ax+b)$ , en combinant avec produit et quotient.
Déterminer une équation de la tangente à une courbe en un point.
Factoriser $f'(x)$ , en étudier le signe et dresser un tableau de variations complet.
Calculer une dérivée seconde et l’interpréter (sens de variation de $f'$ , accélération).
Résoudre un problème d’optimisation en modélisant par une fonction dérivable.

6Exemples types

Exempledériver

\e^{u}

$f(x)=\e^{-x^{2}+4x}$ sur $\R$ . Ici $u(x)=-x^{2}+4x$ , donc $u'(x)=-2x+4$ et $f'(x)=(-2x+4)\,\e^{-x^{2}+4x}$ . Comme $\e^{-x^{2}+4x}>0$ , le signe de $f'$ est celui de $-2x+4$ : $f$ croît sur $\intof{-\infty}{2}$ et décroît sur $\intfo{2}{+\infty}$ .

Exempledériver

\sqrt u

u^{n}

$g(x)=\sqrt{x^{2}+1}$ sur $\R$ : $g'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ . $h(x)=\dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=\left(x^{2}+1\right)^{-3}$ : $h'(x)=-3\times 2x\times\left(x^{2}+1\right)^{-4}=\dfrac{-6x}{\left(x^{2}+1\right)^{4}}$ .

Exempletangente

$f(x)=(2x-3)^{4}$ et $a=2$ . Alors $f(2)=1^{4}=1$ et $f'(x)=4\times 2\times(2x-3)^{3}=8(2x-3)^{3}$ , donc $f'(2)=8$ . La tangente a pour équation $y=8(x-2)+1$ , soit $y=8x-15$ .

Exempledériver

x\mapsto f(ax+b)

$k(x)=\frac{1}{3x+1}$ sur $\intoo{-\frac13}{+\infty}$ : $k'(x)=3\times\frac{-1}{(3x+1)^{2}}=\frac{-3}{(3x+1)^{2}}$ . $m(x)=\sqrt{5-2x}$ sur $\intoo{-\infty}{2{,}5}$ : $m'(x)=\dfrac{-2}{2\sqrt{5-2x}}=\dfrac{-1}{\sqrt{5-2x}}<0$ , donc $m$ est strictement décroissante.

Exempleoptimisation et dérivée seconde

$f(x)=x\,\e^{-2x}$ sur $\intfo{0}{+\infty}$ , avec $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ (croissances comparées). On dérive un produit : $f'(x)=\e^{-2x}+x\times(-2)\e^{-2x}=(1-2x)\,\e^{-2x}$ , du signe de $1-2x$ . Le maximum vaut donc $f\!\left(\frac12\right)=\dfrac{1}{2\e}\approx 0{,}18$ . De plus $f''(x)=(4x-4)\,\e^{-2x}$ est négative pour $x<1$ : $f'$ y décroît.

Pièges

Ne pas oublier le facteur $u'$ : la dérivée de $(5x+2)^{3}$ est $15(5x+2)^{2}$ , pas $3(5x+2)^{2}$ .
$v\circ u$ et $u\circ v$ sont deux fonctions différentes : $\e^{x^{2}}\neq\left(\e^{x}\right)^{2}$ .
La formule de $\left(\sqrt u\right)'$ exige $u>0$ strictement ; $u^{n}$ avec $n<0$ exige $u\neq 0$ .
$f'$ peut s’annuler sans extremum ( $x\mapsto x^{3}$ en $0$ ) : il faut un changement de signe (sauf extremum à une borne).
$f''$ renseigne sur les variations de $f'$ , pas sur celles de $f$ : ne pas confondre les deux tableaux.

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Compléments sur la dérivation

1Fonction composée

2Dérivée d’une composée

3Dérivée seconde

4Étudier une fonction composée

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Sujet type bac

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