Primitives et équations différentielles : cours de Terminale et exercices

1Primitives d’une fonction

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'=f$ sur $I$ . Chercher les primitives de $f$ , c’est résoudre l’équation différentielle $y'=f$ .

Propriété — admis. Toute fonction continue sur $I$ admet des primitives sur $I$ .

Théorème. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x\mapsto F(x)+k$ , où $k\in\R$ : deux primitives diffèrent d’une constante.

Remarque. Idée de la démonstration (exigible) : si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ , alors $(G-F)'=f-f=0$ sur l’intervalle $I$ , donc $G-F$ est constante.

Propriété. Pour $x_0\in I$ et $y_0\in\R$ donnés, il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$ : la constante $k$ est déterminée par cette condition.

Formulaireprimitives des fonctions de référence et des formes usuelles

$x^{n}\ \longrightarrow\ \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ( $n\in\Z$ , $n\neq-1$ ; sur $\intoo{-\infty}{0}$ ou $\intoo{0}{+\infty}$ si $n\leq-2$ ) ; $\dfrac1x\longrightarrow\ln x$ et $\dfrac{1}{\sqrt x}\longrightarrow 2\sqrt x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ ; $\e^{x}\longrightarrow\e^{x}$ ; $\cos\longrightarrow\sin$ ; $\sin\longrightarrow-\cos$ .
Formes usuelles ( $u$ dérivable sur $I$ ) : $u'\e^{u}\longrightarrow\e^{u}$ ; $u'u^{n}\longrightarrow\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ( $n\in\Z$ , $n\neq-1$ ; $u$ ne s’annulant pas si $n\leq-2$ ) ; $\dfrac{u'}{u}\longrightarrow\ln u$ (si $u>0$ ) ; $\dfrac{u'}{\sqrt u}\longrightarrow 2\sqrt u$ (si $u>0$ ) ; $\dfrac{u'}{u^{2}}\longrightarrow-\dfrac1u$ (si $u$ ne s’annule pas).
Cas général : $(v'\circ u)\times u'\longrightarrow v\circ u$ . La linéarité s’applique : une primitive de $\alpha f+\beta g$ est $\alpha F+\beta G$ .

Méthode — calculer une primitive. Reconnaître d’abord la forme ( $u'\e^{u}$ , $\frac{u'}{u}$ …) en identifiant $u$ , puis ajuster le coefficient : si le facteur $u'$ manque d’une constante, on multiplie la primitive par l’inverse de cette constante. Toujours vérifier en dérivant.

2L’équation différentielle $y'=ay$

Théorème. Soit $a$ un réel. Les solutions sur $\R$ de l’équation $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto C\,\e^{ax}$ , où $C\in\R$ .

Remarque. Idée de la démonstration (exigible) : si $f$ est solution, on pose $g(x)=f(x)\,\e^{-ax}$ ; alors $g'(x)=f'(x)\e^{-ax}-a f(x)\e^{-ax}=0$ , donc $g$ est constante, égale à $C$ , et $f(x)=C\,\e^{ax}$ .

Propriété. Pour $x_0$ et $y_0$ donnés, il existe une unique solution vérifiant $y(x_0)=y_0$ : la condition initiale détermine $C$ .

3L’équation différentielle $y'=ay+b$

Théorème. Soit $a\neq 0$ et $b$ deux réels. La fonction constante égale à $-\dfrac ba$ est une solution particulière de $y'=ay+b$ , et les solutions sur $\R$ sont les fonctions

x\longmapsto C\,\e^{ax}-\frac ba,\qquad C\in\R.

Méthode — résolution. Déterminer la solution constante en résolvant $0=ac+b$ , ajouter les solutions de $y'=ay$ , puis utiliser la condition initiale pour trouver $C$ .

Propriété. Si $a<0$ , alors $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(C\e^{ax}-\frac ba\right)=-\dfrac ba$ : toutes les courbes solutions admettent la même asymptote horizontale $y=-\frac ba$ .

Méthode — équation $y'=ay+f$ avec une solution particulière $u$ donnée. Une fonction dérivable $g$ est solution si et seulement si $g-u$ est solution de $y'=ay$ . Les solutions sont donc les $x\mapsto u(x)+C\,\e^{ax}$ .

Figure 1 — Quatre solutions de $y'=-y+3$ : elles se rapprochent toutes de la solution constante $y=3$ .

4Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Vérifier qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , et en déduire toutes les primitives.
Calculer une primitive d’une fonction de référence ou d’une forme usuelle, en ajustant les coefficients.
Déterminer la primitive vérifiant une condition $F(x_0)=y_0$ .
Résoudre $y'=ay$ et $y'=ay+b$ , avec ou sans condition initiale.
Reconnaître une équation $y'=ay+f$ et conclure à partir d’une solution particulière fournie.
Modéliser une situation (désintégration radioactive, refroidissement, charge d’un condensateur, évolution d’une population) par une équation différentielle, puis l’exploiter.

5Exemples types

Exempleprimitive d’une forme usuelle

$f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}$ sur $\R$ . On reconnaît $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^{2}+1>0$ et $u'(x)=2x$ : il manque le facteur $2$ , donc $f=\dfrac12\times\dfrac{u'}{u}$ et $F(x)=\dfrac12\ln\!\left(x^{2}+1\right)$ . Vérification : $F'(x)=\dfrac12\times\dfrac{2x}{x^{2}+1}=f(x)$ .

Exempleprimitive vérifiant une condition

$f(x)=3x^{2}-4x+1$ sur $\R$ avec $F(1)=2$ . Les primitives sont $F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+k$ . Or $F(1)=1-2+1+k=k$ , donc $k=2$ et $F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+2$ .

Exempleéquation avec condition initiale

Résoudre $y'=-2y+10$ avec $y(0)=2$ . La solution constante vérifie $0=-2c+10$ , soit $c=5$ . Les solutions sont $y(x)=C\,\e^{-2x}+5$ . La condition donne $C+5=2$ , soit $C=-3$ : $y(x)=5-3\,\e^{-2x}$ , de limite $5$ en $+\infty$ .

Exemplemodélisation : décroissance radioactive

Le nombre de noyaux vérifie $N'(t)=-\lambda N(t)$ avec $\lambda>0$ , donc $N(t)=N_0\,\e^{-\lambda t}$ où $N_0=N(0)$ . La demi-vie $t_{1/2}$ vérifie $N\!\left(t_{1/2}\right)=\frac{N_0}{2}$ , c’est-à-dire $\e^{-\lambda t_{1/2}}=\frac12$ , d’où $\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$ .

Exempleméthode d’Euler

Elle approche une solution pas à pas à l’aide de $y(x+h)\approx y(x)+h\,y'(x)$ . Pour $y'=-y+3$ avec $y(0)=1$ et un pas $h=0{,}1$ : $y(0{,}1)\approx 1+0{,}1\times(-1+3)=1{,}2$ , puis $y(0{,}2)\approx 1{,}2+0{,}1\times(-1{,}2+3)=1{,}38$ . La solution exacte $y(x)=3-2\,\e^{-x}$ donne $1{,}190$ puis $1{,}363$ .

Pièges

Une primitive n’est jamais unique : ne pas oublier la constante $+k$ , ni l’intervalle sur lequel on travaille.
Vérifier le facteur $u'$ avant d’appliquer une forme usuelle : une primitive de $\e^{3x}$ est $\frac13\e^{3x}$ , pas $\e^{3x}$ .
$\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln u$ seulement là où $u>0$ .
Dans $y'=ay+b$ , la solution particulière est $-\frac ba$ , pas $\frac ba$ : la retrouver en résolvant $ac+b=0$ .
La condition initiale s’applique à la solution générale déjà écrite : d’abord $C\e^{ax}-\frac ba$ , ensuite le calcul de $C$ .

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Primitives et équations différentielles

1Primitives d’une fonction

2L’équation différentielle $y'=ay$

3L’équation différentielle $y'=ay+b$

4Savoir-faire du chapitre

5Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Sujet type bac

Terminale · Mathématiques : les 17 chapitres

Primitives et équations différentielles

1Primitives d’une fonction

2L’équation différentielle y′=ayy'=ay

3L’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b

4Savoir-faire du chapitre

5Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Sujet type bac

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2L’équation différentielle $y'=ay$

3L’équation différentielle $y'=ay+b$