Terminale spécialité · Mathématiques · Analyse · Chapitre 6

Convexité

Fiche de cours5 min de lecturePar Robin RinguetMise à jour : octobre 2026

Télécharger la fiche (PDF)Exercices et contrôles

1Fonction convexe, fonction concave

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , de courbe $\Cf$ . La fonction $f$ est convexe sur $I$ lorsque, pour tous points $A$ et $B$ de $\Cf$ d’abscisses dans $I$ , le segment $[AB]$ est au-dessus de la courbe entre $A$ et $B$ . Elle est concave lorsque le segment est en dessous.

Remarque. $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $-f$ est convexe sur $I$ .

Figure 1 — Fonction convexe : la sécante $[AB]$ est au-dessus de $\Cf$ , la tangente $T$ en dessous.

2Caractérisations par la dérivée

Théorème — admis. Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$ . Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ; $f'$ est croissante sur $I$ ; $f''(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$ ; $\Cf$ est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Pour $f$ concave, on remplace par : $f'$ décroissante, $f''\leq 0$ , $\Cf$ en dessous de ses tangentes.

Remarque. Idée de la démonstration (exigible) de « $f''\geq 0$ entraîne $\Cf$ au-dessus de ses tangentes » : on pose $g(x)=f(x)-\bigl[f(a)+f'(a)(x-a)\bigr]$ . Alors $g'(x)=f'(x)-f'(a)$ est croissante et s’annule en $a$ , donc $g'\leq 0$ avant $a$ et $g'\geq 0$ après : $g$ admet en $a$ un minimum égal à $g(a)=0$ , d’où $g\geq 0$ .

Propriété — fonctions de référence. $x\mapsto x^{2}$ et $x\mapsto\e^{x}$ sont convexes sur $\R$ ; $x\mapsto\sqrt x$ est concave sur $\intfo{0}{+\infty}$ ; $x\mapsto x^{3}$ est concave sur $\intof{-\infty}{0}$ et convexe sur $\intfo{0}{+\infty}$ ; une fonction affine est à la fois convexe et concave.

3Point d’inflexion

Définition. Un point d’inflexion de $\Cf$ est un point en lequel $f$ change de convexité (elle passe de convexe à concave, ou l’inverse).

Propriété. Si $f''$ s’annule en changeant de signe en $a$ , alors le point de $\Cf$ d’abscisse $a$ est un point d’inflexion. En ce point, la tangente traverse la courbe.

Remarque. Un point d’inflexion correspond à un extremum local de $f'$ : c’est le point où la pente de la tangente est maximale ou minimale.

Figure 2 — $f(x)=x^{3}-3x$ : point d’inflexion à l’origine, où la tangente traverse $\Cf$ .

4Lectures graphiques et inégalités

Méthode — lire la convexité. Sur $\Cf$ : la courbe « tourne sa concavité vers le haut » là où $f$ est convexe. Sur la courbe de $f'$ : $f$ est convexe là où $f'$ croît. Sur la courbe de $f''$ : $f$ est convexe là où $f''$ est positive. Les points d’inflexion sont les extremums de $f'$ et les changements de signe de $f''$ .

Méthode — démontrer une inégalité. Si $f$ est convexe, $\Cf$ est au-dessus de sa tangente en $a$ : $f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a)$ pour tout $x\in I$ . Avec $f=\exp$ et $a=0$ : $\e^{x}\geq 1+x$ pour tout réel $x$ . Avec $f=\ln$ (concave ; fonction étudiée au chapitre 7) et $a=1$ : $\ln x\leq x-1$ pour tout $x>0$ .

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Lire sur une courbe les intervalles de convexité et de concavité, et les points d’inflexion.
Déduire la convexité de $f$ de la lecture de la courbe de $f'$ ou de celle de $f''$ .
Calculer $f''$ , étudier son signe et dresser le tableau de convexité de $f$ .
Déterminer les points d’inflexion et justifier le changement de signe de $f''$ .
Démontrer une inégalité en comparant la courbe à l’une de ses tangentes.
Esquisser une courbe compatible avec les tableaux de variations et de convexité donnés.

6Exemples types

Exempletableau de convexité

$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2$ sur $\R$ . Alors $f'(x)=3x^{2}-6x$ et $f''(x)=6x-6$ . On a $f''(x)<0$ pour $x<1$ et $f''(x)>0$ pour $x>1$ : $f$ est concave sur $\intof{-\infty}{1}$ et convexe sur $\intfo{1}{+\infty}$ . Comme $f''$ change de signe en $1$ , le point de coordonnées $(1\,;0)$ est un point d’inflexion.

Exempleconvexité d’une fonction avec exponentielle

$g(x)=x\,\e^{x}$ sur $\R$ . Alors $g'(x)=(1+x)\e^{x}$ et $g''(x)=(2+x)\e^{x}$ . Comme $\e^{x}>0$ , $g''$ est du signe de $2+x$ : $g$ est concave sur $\intof{-\infty}{-2}$ , convexe sur $\intfo{-2}{+\infty}$ , et le point d’abscisse $-2$ , d’ordonnée $-2\e^{-2}\approx-0{,}27$ , est un point d’inflexion.

Exempleinégalité par la tangente

La fonction $\exp$ est convexe sur $\R$ car $(\e^{x})''=\e^{x}>0$ . Sa tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=x+1$ . La courbe étant au-dessus de ses tangentes, on en déduit $\e^{x}\geq 1+x$ pour tout réel $x$ , avec égalité uniquement pour $x=0$ .

Exempleinégalité par une tangente, cas concave

La fonction racine carrée est concave sur $\intoo{0}{+\infty}$ car $\left(\sqrt x\right)''=-\dfrac{1}{4x\sqrt x}<0$ . Sa tangente au point d’abscisse $1$ a pour équation $y=\dfrac{x+1}{2}$ . La courbe étant en dessous de ses tangentes, on obtient $\sqrt x\leq\dfrac{x+1}{2}$ pour tout $x>0$ (et aussi pour $x=0$ : $0\leq\frac12$ ).

Exempleinterprétation en contexte

Le nombre d’utilisateurs d’un service, en milliers, est modélisé par une fonction $N$ croissante sur $\intff{0}{12}$ (en mois). Si $N$ est convexe sur $\intff{0}{5}$ , la croissance s’accélère ; si $N$ est concave sur $\intff{5}{12}$ , elle ralentit. Le point d’inflexion d’abscisse $5$ est l’instant où la vitesse de croissance est maximale.

Exemplelecture sur la courbe de

f'

Si la courbe de $f'$ décroît sur $\intff{0}{3}$ puis croît sur $\intff{3}{7}$ , alors $f$ est concave sur $\intff{0}{3}$ , convexe sur $\intff{3}{7}$ et le point de $\Cf$ d’abscisse $3$ est un point d’inflexion (le minimum de $f'$ y est atteint).

Pièges

Convexité et sens de variation sont deux choses distinctes : une fonction peut être décroissante et convexe.
$f''(a)=0$ ne suffit pas : il faut un changement de signe de $f''$ ( $x\mapsto x^{4}$ vérifie $f''(0)=0$ sans point d’inflexion en $0$ ).
Ne pas confondre les courbes de $f$ , de $f'$ et de $f''$ : on lit la convexité de $f$ sur les variations de $f'$ , ou sur le signe de $f''$ .
Une sécante est au-dessus de la courbe pour une fonction convexe, mais la tangente, elle, est en dessous.
L’inégalité issue d’une tangente n’est valable que sur l’intervalle où la convexité est établie.

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Exercices, contrôles et sujets

Les énoncés sont en accès libre, à télécharger en PDF.

Exercices de base

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Les bases : convexité, concavité, dérivée seconde, point d’inflexion

8 exercicesniveau Difficulté 1 sur 3 à Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 hcalculatrice autorisée

Lire la convexité sur une courbeDifficulté 1 sur 3
Calculer une dérivée seconde et conclureDifficulté 1 sur 3
Points d’inflexion : attention au piègeDifficulté 2 sur 3
Lire la convexité sur la courbe de $f'$ Difficulté 1 sur 3
Un tableau de convexitéDifficulté 1 sur 3
Deux inégalités par convexitéDifficulté 2 sur 3
Une étude complèteDifficulté 2 sur 3
Vrai ou faux ?Difficulté 2 sur 3

Exercices d'application

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Problèmes : associer des courbes, esquisser, interpréter un point d’inflexion

6 exercicesniveau Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 h 30calculatrice autorisée

Associer trois courbesDifficulté 2 sur 3
Coût de production et coût marginalDifficulté 2 sur 3
La charge d’une batterieDifficulté 2 sur 3
Esquisser une courbeDifficulté 2 sur 3
Une courbe et sa tangente d’inflexionDifficulté 2 sur 3
Deux points d’inflexion, une tangente horizontaleDifficulté 2 sur 3

Contrôle A

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Dérivée seconde, convexité, point d’inflexion, lecture graphique

Durée : 1 hcalculatrice autorisée4 exercices indépendantsbarème sur 20

Questionnaire à choix multiples5 ptsDifficulté 1 sur 3
Dérivées secondes et convexité4 ptsDifficulté 1 sur 3
Étude d’une fonction polynomiale6 ptsDifficulté 2 sur 3
Le démarrage d’un train5 ptsDifficulté 2 sur 3

Contrôle B

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Vrai ou faux, lecture sur la courbe de $f''$ , étude avec exponentielle, modélisation

Durée : 1 hcalculatrice autorisée4 exercices indépendantsbarème sur 20

Vrai ou faux ?4 ptsDifficulté 2 sur 3
Lire sur la courbe de $f''$ 4 ptsDifficulté 2 sur 3
Une fonction croissante à deux points d’inflexion6 ptsDifficulté 3 sur 3
La croissance d’un arbre6 ptsDifficulté 3 sur 3

Approfondissement

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Pour aller plus loin : démontrer le cours, inégalité des pentes, moyennes, courbe de Lorenz

7 exercicesniveau Difficulté 3 sur 3durée conseillée : 2 h 30calculatrice autorisée

La démonstration du cours : courbe et tangentesDifficulté 3 sur 3
L’inégalité des pentesDifficulté 3 sur 3
Moyenne arithmétique et moyenne géométriqueDifficulté 3 sur 3
La courbe de Lorenz et les inégalités de revenusDifficulté 3 sur 3
Affiner l’inégalité $\e^{x}\geq 1+x$ Difficulté 3 sur 3
Une famille de courbes et leurs points d’inflexionDifficulté 3 sur 3
Convexité et moyennes : l’inégalité du milieuDifficulté 3 sur 3

Sujet type bac

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Modèle logistique d’une épidémie, point d’inflexion — QCM avec lectures graphiques

Durée : 1 h 30calculatrice autorisée2 exercices indépendantsbarème sur 12

La propagation d’une épidémie7 ptsDifficulté 2 sur 3
Questionnaire à choix multiples5 ptsDifficulté 2 sur 3