Sommes de variables aléatoires

1Rappels : espérance, variance, écart type

Définition. Si $X$ prend les valeurs $x_1,\dots,x_r$ avec les probabilités $p_1,\dots,p_r$ :

Remarque. $E(X)$ est la valeur moyenne de $X$ sur un grand nombre de répétitions ; $\sigma(X)$ mesure la dispersion autour de $E(X)$, dans la même unité que $X$.

2Somme de deux variables aléatoires

Définition. Si $X$ et $Y$ sont définies sur le même univers, $X+Y$ est la variable aléatoire qui, à chaque issue $\omega$, associe $X(\omega)+Y(\omega)$.

Méthode — déterminer la loi de $X+Y$. Croiser les valeurs de $X$ et de $Y$ dans un tableau à double entrée, calculer la probabilité de chaque case, puis regrouper les cases donnant la même somme.

Propriété — linéarité de l’espérance — toujours vraie. Pour toutes variables $X$ et $Y$ sur le même univers et tous réels $a$ et $b$ :

Plus généralement, $E(X_1+X_2+\cdots+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)$ pour toutes variables $X_1,\dots,X_n$ sur le même univers.

3Variance d’une somme

Propriété. Pour tous réels $a$ et $b$ : $\ V(aX+b)=a^{2}V(X)$ et $\sigma(aX+b)=\abs{a}\,\sigma(X)$. Ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Théorème — variables indépendantes. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes — par exemple si elles sont associées à deux épreuves d’une succession d’épreuves indépendantes — alors

Plus généralement, si $X_1,\dots,X_n$ sont indépendantes (associées aux $n$ épreuves d’une succession d’épreuves indépendantes), $V(X_1+\cdots+X_n)=V(X_1)+\cdots+V(X_n)$.

Remarque. La variance n’est donc pas linéaire : $V(aX)=a^{2}V(X)$, et l’additivité exige l’indépendance, contrairement à celle de l’espérance.

4Application à la loi binomiale

Théorème. Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$, alors $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.

Méthode — démonstration exigible. On écrit $X=X_1+X_2+\cdots+X_n$, où $X_i$ vaut $1$ si la $i$-ième épreuve est un succès et $0$ sinon : les $X_i$ sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli de paramètre $p$, donc $E(X_i)=p$ et $V(X_i)=p(1-p)$. La linéarité de l’espérance donne $E(X)=np$, et l’additivité de la variance (indépendance) donne $V(X)=np(1-p)$.

Méthode — décomposer une variable. Lorsqu’une variable compte un nombre de réalisations, l’écrire $X=X_1+\cdots+X_n$ où $X_i$ vaut $1$ si la $i$-ième réalisation a lieu et $0$ sinon : $E(X)$ s’obtient alors par linéarité, et $V(X)$ par additivité lorsque les $X_i$ sont indépendantes.

5Échantillon, somme et moyenne

Définition. Un échantillon de taille $n$ d’une loi de probabilité est une liste $(X_1,\dots,X_n)$ de variables aléatoires indépendantes suivant toutes cette loi. On note $S_n=X_1+\cdots+X_n$ la somme et $M_n=\dfrac{S_n}{n}$ la moyenne de l’échantillon.

Propriété. Si la loi commune a pour espérance $\mu$, pour variance $V$ et pour écart type $\sigma$ :

Remarque. La moyenne $M_n$ a la même espérance que la loi initiale, mais une dispersion $\sigma/\sqrt n$ : elle est d’autant plus concentrée autour de $\mu$ que $n$ est grand. Pour diviser l’écart type de $M_n$ par $2$, il faut multiplier $n$ par $4$.

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types