1Vecteurs de l’espace
Définition. À tout couple de points de l’espace on associe le vecteur , caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur : c’est le vecteur de la translation qui envoie sur . On a si et seulement si est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Propriété. Toutes les règles de calcul du plan restent valables dans l’espace : relation de Chasles , , , et si est le milieu de , pour tout point .
Définition. Une combinaison linéaire des vecteurs est un vecteur , où les sont des réels.
2Colinéarité et coplanarité
Définition. Deux vecteurs et sont colinéaires s’il existe un réel tel que ou . Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Propriété. , , sont alignés et sont colinéaires. Les droites et sont parallèles et sont colinéaires.
Définition. Trois vecteurs sont coplanaires lorsqu’ils admettent des représentants situés dans un même plan.
Propriété. Si et ne sont pas colinéaires, alors , , sont coplanaires il existe deux réels et tels que . Quatre points , , , sont coplanaires , , le sont.
3Droites et plans de l’espace
Propriété — droite. La droite passant par et de vecteur directeur est l’ensemble des points tels que , avec .
Propriété — plan. Le plan passant par et dirigé par deux vecteurs non colinéaires et est l’ensemble des points tels que , avec . Trois points non alignés définissent un unique plan.
Remarque. Une droite est incluse dans un plan dès que deux de ses points le sont ; deux droites sécantes définissent un plan.
Propriété — parallélisme. Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Une droite est parallèle à un plan si un vecteur directeur de la droite est coplanaire avec deux vecteurs dirigeant le plan. Deux plans sont parallèles si les vecteurs qui dirigent l’un dirigent aussi l’autre.
Figure 1 — Le cube ; est une base de l’espace.
4Positions relatives
- Deux droites : coplanaires (alors sécantes en un point, ou strictement parallèles, ou confondues) ou non coplanaires. Deux droites non coplanaires n’ont aucun point commun sans être parallèles : c’est propre à l’espace.
- Une droite et un plan : la droite est incluse dans le plan, ou strictement parallèle au plan, ou sécante au plan en un unique point.
- Deux plans : confondus, strictement parallèles, ou sécants suivant une droite.
- Théorème du toit : si , , et , alors est parallèle à et à .
- Section plane d’un solide : deux points d’une même face se joignent par un segment ; deux faces parallèles sont coupées suivant deux droites parallèles.
5Bases, repères et coordonnées
Définition. Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l’espace : tout vecteur s’écrit de manière unique . Le triplet est le triplet des coordonnées de . Un repère est la donnée d’un point et d’une base : a pour coordonnées celles de .
Méthode — reconnaître une base. Trois vecteurs , , forment une base ils ne sont pas coplanaires. Lorsque et ne sont pas colinéaires, cela revient à montrer que ne s’écrit pas : on résout le système obtenu en coordonnées et on montre qu’il n’a pas de solution.
Propriété. Dans un repère, si et , alors a pour coordonnées et le milieu de a pour coordonnées . Les coordonnées de et de s’obtiennent composante par composante.
6Savoir-faire du chapitre
- Décomposer un vecteur d’une figure de l’espace (cube, pavé, tétraèdre) sur une base, à l’aide de la relation de Chasles.
- Démontrer que trois points sont alignés, que deux droites sont parallèles, que quatre points sont coplanaires.
- Caractériser une droite par un point et un vecteur directeur, un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires.
- Déterminer la position relative de deux droites, d’une droite et d’un plan, de deux plans ; construire une section plane simple.
- Calculer des coordonnées de vecteurs, de milieux, et vérifier qu’une famille de trois vecteurs est une base.
7Exemples types
Dans le cube muni de la base : et, par Chasles, .
Soit , , et . On a , et . Comme , les quatre points sont coplanaires.
Dans le cube de la figure 1, : est un parallélogramme, donc . En revanche n’est pas combinaison linéaire de et (sa composante sur n’est pas nulle) : les points , , , ne sont pas coplanaires, donc les droites et ne sont pas coplanaires.
Toujours dans le cube, : ce vecteur directeur de est une combinaison linéaire de et , qui dirigent le plan . Comme , la droite est strictement parallèle au plan .
- Dans l’espace, deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles : elles peuvent être non coplanaires.
- Trois vecteurs coplanaires ne forment jamais une base : vérifier la non-coplanarité avant de parler de base ou de repère.
- Deux plans distincts ne se coupent jamais en un seul point : leur intersection est vide ou c’est une droite entière.
- Pour prouver que , , ne sont pas coplanaires en montrant que ne s’écrit pas , vérifier d’abord que et ne sont pas colinéaires : sinon, les trois vecteurs peuvent être coplanaires sans que soit combinaison de et .
- Pour conclure qu’une droite est strictement parallèle à un plan, vérifier en plus qu’un de ses points n’appartient pas au plan.