Physique quantique

1Ce que la physique classique ne sait pas expliquer

Propriété — trois échecs. La mécanique newtonienne et l’électromagnétisme classique échouent sur trois faits expérimentaux : (a) l’énergie échangée entre lumière et matière ne l’est que par quantités discrètes proportionnelles à la fréquence (effet photoélectrique) ; (b) un faisceau de particules matérielles produit des figures d’interférences et de diffraction (électrons, neutrons, atomes, molécules) ; (c) les atomes sont stables et n’émettent que des raies discrètes, alors qu’une charge accélérée devrait rayonner continûment.

Notation. Dans tout le chapitre, $h={6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J}{\cdot}\mathrm{s}}$ est la constante de Planck et $\hbar=\dfrac{h}{2\pi}\approx{1{,}05\times10^{-34}\,\mathrm{J}{\cdot}\mathrm{s}}$. L’électron-volt est l’unité d’énergie adaptée : ${1\,\mathrm{eV}}={1{,}60\times10^{-19}\,\mathrm{J}}$.

2Le photon : énergie et impulsion

Définition. Un photon est le quantum du champ électromagnétique : la lumière de fréquence $\nu$ n’échange de l’énergie avec la matière que par multiples entiers de $h\nu$. Un photon est une particule de masse nulle, qui se déplace toujours à la vitesse $c$ ; on lui associe

Remarque. On n’écrit jamais $p=mc$ ni $\mathcal{E}=mc^2$ pour un photon : sa masse est nulle. L’impulsion s’obtient par $p=\mathcal{E}/c$, et la relation $\lambda=h/p$ y est alors automatiquement vérifiée.

Méthode — repère numérique à connaître. $hc={1{,}99\times10^{-25}\,\mathrm{J}{\cdot}\mathrm{m}}\approx{1\,240\,\mathrm{eV}{\cdot}\mathrm{nm}}$, d’où le calcul mental $\mathcal{E}\,(\text{en eV})\approx 1240/\lambda\,(\text{en nm})$. Visible (${400\,}$ à ${800\,\mathrm{nm}}$) : ${1{,}6\,}$ à ${3{,}1\,\mathrm{eV}}$, l’échelle même des énergies de liaison chimique — d’où la photochimie et la vision. Rayons X (${0{,}1\,\mathrm{nm}}$) : ${12\,\mathrm{keV}}$. Onde radio (${100\,\mathrm{MHz}}$) : ${4\times10^{-7}\,\mathrm{eV}}$, d’où l’impossibilité pratique de détecter un photon radio isolé.

Propriété — expérience fondatrice : l’effet photoélectrique. Une plaque métallique éclairée émet des électrons. Trois faits y sont inexplicables par un modèle ondulatoire classique : il existe une fréquence seuil $\nu_s$ en dessous de laquelle aucun électron n’est émis, quelle que soit l’intensité ; l’énergie cinétique maximale des électrons dépend de $\nu$, pas de l’intensité ; l’émission est immédiate ($<{1\,\mathrm{ns}}$) même à très faible intensité, alors qu’un transfert continu demanderait un temps d’accumulation macroscopique. L’interprétation d’Einstein est un bilan d’énergie photon par photon : un photon unique cède toute son énergie à un électron unique, qui doit payer le travail d’extraction $W$ du métal, d’où

La mesure du potentiel d’arrêt $U_0=\mathcal{E}_{c,\max}/e$ en fonction de $\nu$ donne une droite de pente $h/e$ : c’est la mesure historique de $h$ (Millikan).

Remarque. Plus directe encore, l’expérience d’anticoïncidences : une source émettant les photons un par un devant une lame semi-réfléchissante ne déclenche jamais les deux détecteurs simultanément — un photon n’est pas divisible, il est réfléchi ou transmis.

3L’onde de matière : la relation de de Broglie

Théorème — relation de de Broglie. À toute particule matérielle d’impulsion $p$ est associée une onde de matière de longueur d’onde

Pour un électron accéléré sous une tension $U$, $\mathcal{E}_c=eU=\dfrac{p^2}{2m}$ donne $p=\sqrt{2meU}$, d’où le repère très utile

Méthode — critère quantique. Comparer $\lambda=h/p$ à la dimension caractéristique $d$ du dispositif (largeur de fente, distance interatomique, taille du confinement) : $\lambda\ll d$ donne une description classique suffisante, $\lambda\gtrsim d$ un comportement quantique manifeste.

Propriété — expérience fondatrice : diffraction des électrons. Davisson et Germer (1927) envoient un faisceau d’électrons monocinétiques sur un monocristal de nickel : l’intensité réfléchie présente des maxima dans des directions privilégiées, exactement comme pour des rayons X de même longueur d’onde, et leur position suit $\lambda=h/\sqrt{2m_eeU}$. Le comportement ondulatoire de la matière est aujourd’hui établi jusqu’aux molécules de plusieurs centaines d’atomes.

4Fonction d’onde et interprétation probabiliste

Définition. À une particule est associée une fonction d’onde $\psi(M,t)$, à valeurs complexes, qui n’est pas une grandeur mesurable : ce qui a un sens physique est le carré de son module, $\abs{\psi(M,t)}^2$ étant proportionnel à la probabilité de détecter la particule au voisinage de $M$ à l’instant $t$.

Théorème — expérience d’interférences « particule par particule ». On envoie des particules une par une sur un dispositif de deux fentes. Chaque particule est détectée en un point unique de l’écran, de façon imprévisible ; la répartition des impacts est aléatoire tant que leur nombre est petit ; et lorsque le nombre $N$ d’impacts augmente, leur densité fait progressivement apparaître la figure d’interférences, qui n’apparaît donc pas « d’un coup » mais comme une loi statistique. Interprétation : l’onde associée interfère avec elle-même et détermine, par $\abs{\psi}^2$, la probabilité de détection en chaque point. La particule n’a pas suivi « une » trajectoire : poser la question « par quelle fente est-elle passée ? » suppose une information qui, si on la mesure, détruit les interférences.

Remarque — vocabulaire. On ne dit pas « la particule passe par les deux fentes à la fois », ni « l’onde transporte la particule ». On dit : l’amplitude de détection en un point résulte de la superposition des contributions des deux fentes, et son module au carré donne la probabilité de détection. Les mots « trajectoire » et « position à l’instant $t$ » perdent leur sens entre l’émission et la détection.

5L’inégalité de Heisenberg spatiale

Théorème — inégalité de Heisenberg spatiale. Pour une particule, les dispersions $\Delta x$ de la position et $\Delta p$ de la composante correspondante de l’impulsion vérifient, en ordre de grandeur, $\boxed{\ \Delta p\,\Delta x\gtrsim\hbar.\ }$ Ce n’est pas un défaut de l’appareil de mesure : c’est une propriété intrinsèque de la particule. Préparer un état mieux localisé en position, c’est nécessairement élargir la distribution d’impulsion, et réciproquement.

Méthode — établissement par analogie avec la diffraction. L’idée : une onde confinée transversalement par une fente sort de la fente avec une direction mal définie ; cette indétermination de direction est, pour une particule, une indétermination d’impulsion.

(i) Un faisceau de particules d’impulsion $p$ selon $(Oz)$, donc de longueur d’onde $\lambda=h/p$, traverse une fente de largeur $a$ perpendiculaire à $(Ox)$ : juste après la fente, la position transversale est connue à $a$ près, soit $\Delta x\approx a$. (ii) L’optique ondulatoire donne le résultat (admis) : l’onde est diffractée dans un cône de demi-angle $\theta\approx\lambda/a$. (iii) Une particule détectée dans ce cône a donc acquis une composante transversale d’impulsion comprise entre $-p\theta$ et $+p\theta$ :

(iv) d’où, en multipliant, $\Delta p\,\Delta x\approx\dfrac{h}{a}\times a=h$, c’est-à-dire, à $2\pi$ près et donc en ordre de grandeur, $\Delta p\,\Delta x\gtrsim\hbar$. Le produit ne dépend pas de $a$ : c’est là tout le contenu de l’inégalité.

Méthode — exploiter l’inégalité : énergie de confinement. Une particule de masse $m$ confinée dans une région de taille $d$ a $\Delta x\approx d$, donc $\Delta p\gtrsim\hbar/d$ et, comme $\langle p\rangle=0$ pour un état lié, une énergie cinétique irréductible $\mathcal{E}_c\approx\dfrac{(\Delta p)^2}{2m}\approx\dfrac{\hbar^2}{2md^2}$ : une particule quantique confinée ne peut pas être au repos. Pour un électron et $d=a_0={53\,\mathrm{pm}}$, $\mathcal{E}_c\approx{13\,\mathrm{eV}}$ — l’échelle même des énergies atomiques ; pour une bille de ${1\,\mathrm{g}}$ localisée à ${1\,\mathrm{\text{µ}m}}$ près, $\Delta v\gtrsim{1\times10^{-25}\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$, totalement inobservable.

6Quantification de l’énergie : le modèle planétaire de Bohr

Propriété — le modèle, et ses deux hypothèses. Bohr (1913) conserve la description classique du mouvement — l’électron ($m_e$, $-e$) décrit un cercle de rayon $r$ à la vitesse $v$ autour du proton supposé fixe, sous la seule force de Coulomb — et y ajoute deux hypothèses étrangères à la physique classique :

• (H1) le moment cinétique orbital est quantifié : $L=m_evr=n\hbar$ avec $n\in\N^*$ ;
• (H2) sur ces orbites, dites stationnaires, l’électron ne rayonne pas ; il n’émet ou n’absorbe un photon qu’en changeant d’orbite, avec $h\nu=\abs{\mathcal{E}_{n_2}-\mathcal{E}_{n_1}}$.

Théorème — niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène. La deuxième loi de Newton projetée sur le vecteur radial donne $m_e\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}$, soit $m_ev^2=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$. En y reportant $v=\dfrac{n\hbar}{m_er}$ issu de (H1), on obtient $\dfrac{n^2\hbar^2}{m_er^2}=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$, d’où les rayons quantifiés

et, puisque $\mathcal{E}=\frac12m_ev^2-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}=\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}=-\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}$, les niveaux d’énergie

Remarque. (a) $\mathcal{E}_c=-\mathcal{E}_n$ et $\mathcal{E}_p=2\mathcal{E}_n$ (théorème du viriel pour une force en $1/r^2$, déjà rencontré au chapitre 15). (b) $\mathcal{E}_0=\hbar^2/(2m_ea_0^{\,2})$ est exactement l’énergie de confinement estimée par l’inégalité de Heisenberg : les deux approches se recoupent.

Propriété — spectre de l’atome d’hydrogène. L’énergie d’ionisation depuis le fondamental est $\mathcal{E}_0={13{,}6\,\mathrm{eV}}$ ($\lambda\leq{91{,}4\,\mathrm{nm}}$), et la transition $n_2\to n_1$ ($n_1<n_2$) émet un photon tel que $\dfrac{hc}{\lambda}=\mathcal{E}_0\left(\dfrac{1}{n_1^{\,2}}-\dfrac{1}{n_2^{\,2}}\right)$. Les transitions vers $n_1=1$ forment la série de Lyman (ultraviolet, de ${122\,}$ à ${91{,}4\,\mathrm{nm}}$), celles vers $n_1=2$ la série de Balmer, les seules dans le visible (${658\,}$, ${488\,}$, ${435\,\mathrm{nm}}$… jusqu’à ${366\,\mathrm{nm}}$).

Propriété — limites du modèle de Bohr. Le modèle prédit correctement $\mathcal{E}_0$, $a_0$ et les longueurs d’onde des raies de l’hydrogène. Il est néanmoins faux dans son principe :

• ses deux hypothèses sont ad hoc : rien ne justifie (H1), et (H2) contredit l’électromagnétisme classique ;
• il conserve la notion de trajectoire et d’orbite, incompatible avec l’inégalité de Heisenberg ($\Delta x\,\Delta p\approx\hbar$ interdit de connaître à la fois $r$ et $v$), et prévoit $L=\hbar\neq 0$ dans l’état fondamental alors que la mesure donne $L=0$ ;
• il échoue dès l’hélium et pour tous les atomes à plusieurs électrons, ne dit rien de l’intensité des raies, et n’explique ni la structure fine ni l’effet d’un champ magnétique.

Le modèle de Bohr est un modèle de transition : il montre qu’une hypothèse de quantification suffit à rendre compte du spectre, sans fournir la théorie correcte.

7Savoir-faire du chapitre