Optique géométrique

1Lumière, sources, couleur, et le modèle de l’optique géométrique

Définition. Une source ponctuelle monochromatique est une source de dimension négligeable émettant une onde d’une seule fréquence $\nu$ ; sa longueur d’onde dans le vide est $\lambda_0=c/\nu$. Dans un milieu d’indice $n$, la fréquence est inchangée et $\lambda=\lambda_0/n$.

Notation. Le spectre d’une source est la répartition de son intensité en fonction de $\lambda_0$ : spectre de raies (lampe spectrale, laser), continu (corps chauffé, soleil) ou de bandes. Le visible va de ${400\,\mathrm{nm}}$ (violet) à ${800\,\mathrm{nm}}$ (rouge), par le bleu ($\approx{470\,\mathrm{nm}}$), le vert ($\approx{530\,\mathrm{nm}}$), le jaune ($\approx{580\,\mathrm{nm}}$) et l’orange ($\approx{600\,\mathrm{nm}}$) ; une lumière blanche contient tout le visible, une couleur non spectrale (magenta) résulte d’un mélange.

Définition. L’indice de réfraction d’un milieu transparent est $n=c/v$, $v$ étant la vitesse de propagation de la lumière dans ce milieu ; comme $v\leq c$, $n\geq 1$. Le milieu est dispersif si $n$ dépend de $\lambda_0$ : pour les verres usuels $n$ décroît quand $\lambda_0$ croît, donc le violet est plus dévié que le rouge. Ordres de grandeur : $n_{\text{air}}=1{,}000\,3\approx 1{,}00$ ; $n_{\text{eau}}=1{,}33$ ; $n_{\text{verre}}\approx 1{,}5$ ; $n_{\text{diamant}}=2{,}42$.

Définition. Le modèle de l’optique géométrique décrit la lumière par des rayons lumineux, courbes orientées le long desquelles se propage l’énergie. Dans un milieu homogène ce sont des droites ; les rayons sont indépendants et le trajet est réversible.

2Réflexion et réfraction : les lois de Snell-Descartes

Notation. Les angles sont toujours mesurés et orientés par rapport à la normale au dioptre au point d’incidence. Le plan d’incidence contient le rayon incident et la normale.

Théorème — lois de Snell-Descartes. Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d’incidence ; avec $i_1$ l’angle d’incidence, $r$ celui de réflexion et $i_2$ celui de réfraction,

Le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport à la normale ; le rayon réfracté se rapproche de la normale si $n_2>n_1$, s’en écarte si $n_2<n_1$.

Théorème — réflexion totale. Démonstration exigible. Supposons $n_1>n_2$ (passage du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent). La loi de la réfraction impose $\sin i_2=\frac{n_1}{n_2}\sin i_1>\sin i_1$ : il n’existe de rayon réfracté que si $\frac{n_1}{n_2}\sin i_1\leq 1$. Il y a donc réflexion totale — toute l’énergie repart dans le milieu 1 — dès que

Si $n_1<n_2$ il n’y a jamais de réflexion totale : $i_2$ existe toujours et $i_2\leq\arcsin(n_1/n_2)$. Verre-air : $i_\ell={41{,}8{}^{\circ}}$ ; eau-air : $i_\ell={48{,}8{}^{\circ}}$.

3La fibre optique à saut d’indice

Notation. Une fibre à saut d’indice est un cylindre de cœur d’indice $n_1$ entouré d’une gaine d’indice $n_2<n_1$, plongé dans un milieu d’indice $n_0$ (l’air, $n_0=1$). Un rayon entré par la face d’entrée plane sous l’angle $\theta$ avec l’axe est guidé s’il est en réflexion totale à chaque rencontre avec l’interface cœur-gaine.

Théorème — cône d’acceptance. Démonstration exigible. Un rayon incident sous l’angle $\theta$ se réfracte sur la face d’entrée : $n_0\sin\theta=n_1\sin\theta_1$. Il rencontre ensuite l’interface cœur-gaine, parallèle à l’axe, sous l’angle d’incidence $\frac{\pi}{2}-\theta_1$ ; la réflexion totale exige

Les rayons guidés sont ceux du cône de demi-angle au sommet $\theta_{\max}$ tel que $n_0\sin\theta_{\max}=\mathrm{ON}=\sqrt{n_1^{\,2}-n_2^{\,2}}$ : $\mathrm{ON}$ est l’ouverture numérique ($0{,}2$ à $0{,}3$ pour une fibre usuelle).

Théorème — dispersion intermodale. Démonstration exigible. Tous les rayons guidés vont à la même vitesse $c/n_1$, mais sur des longueurs différentes : le trajet le plus court est celui du rayon axial, $t_{\min}=n_1L/c$ ; le plus long celui du rayon limite, de chemin $L/\cos\theta_{1,\max}=n_1L/n_2$, d’où

Une impulsion brève ressort étalée de $\Delta\tau$ : deux impulsions ne restent distinguables que si elles sont séparées de plus de $\Delta\tau$, d’où un débit maximal de l’ordre de $1/\Delta\tau$. Pour $n_1=1{,}50$ et $n_2=1{,}48$, $\Delta\tau/L\approx{68\,\mathrm{ns}{\cdot}\mathrm{km}^{-1}}$.

4Stigmatisme, miroir plan, conditions de Gauss

Définition. Un système est stigmatique pour le point objet $A$ s’il existe $A'$ tel que tout rayon issu de $A$ émerge en passant par $A'$ : $A'$ est l’image de $A$. Elle est réelle si les rayons émergents s’y croisent effectivement (on peut la recueillir sur un écran), virtuelle si ce sont leurs prolongements qui s’y croisent. Un objet est réel si les rayons incidents en proviennent effectivement, virtuel sinon.

Théorème — miroir plan. Le miroir plan est le seul système rigoureusement stigmatique pour tout point : $A'$ est le symétrique orthogonal de $A$ par rapport au plan du miroir. Un objet réel donne une image virtuelle et réciproquement ; l’image est de même taille ($\gamma=+1$), non renversée, mais non superposable à l’objet. Idée de la démonstration : la loi de la réflexion assure que tout rayon issu de $A$ se réfléchit en un rayon dont le prolongement passe par le symétrique de $A$ — propriété de symétrie valable quel que soit l’angle d’incidence, donc sans aucune approximation.

Remarque — aucun autre système ne l’est. Le dioptre plan ne l’est pas — la profondeur apparente d’un point au fond d’une cuve d’eau dépend de l’angle d’observation — ni la lentille. On se contente d’un stigmatisme approché : l’image d’un point est une petite tache, et l’on convient qu’il y a image dès qu’elle est plus petite que le pouvoir de résolution du détecteur (grain de la rétine $\approx{5\,\mathrm{\text{µ}m}}$, pixel d’un capteur). C’est donc une propriété du couple {système, détecteur}, non du système seul.

Définition. Un système est utilisé dans les conditions de l’approximation de Gauss lorsque les rayons qui le traversent sont peu inclinés sur l’axe optique et rencontrent les surfaces près de l’axe : ils sont dits paraxiaux. En pratique, on diaphragme le faisceau et on limite le champ objet.

Propriété — conséquences. Un système centré utilisé dans les conditions de Gauss est approximativement stigmatique (à tout point objet correspond un point image) et aplanétique (l’image d’un objet plan perpendiculaire à l’axe est plane et perpendiculaire à l’axe), avec un grandissement transversal $\gamma$ indépendant du point du plan objet — d’où la ressemblance de l’image à l’objet. Les angles étant petits, $\sin\alpha\approx\tan\alpha\approx\alpha$, linéarisation qui rend les relations de conjugaison homographiques.

5Lentilles minces dans les conditions de Gauss

Définition. Une lentille mince est un milieu transparent limité par deux surfaces sphériques (ou une sphère et un plan) d’épaisseur négligeable devant les rayons de courbure. Son centre optique $O$ est tel que tout rayon passant par $O$ n’est pas dévié ; l’axe optique joint les centres des faces, orienté dans le sens de propagation.

Définition. Le foyer principal image $F'$ est l’image d’un point objet à l’infini sur l’axe : tout rayon incident parallèle à l’axe émerge par $F'$. Le foyer principal objet $F$ a son image à l’infini sur l’axe : tout rayon incident passant par $F$ émerge parallèle à l’axe. La distance focale image est $f'=\overline{OF'}$, avec $\overline{OF}=-f'$ ; la vergence est $V=1/f'$, en dioptries (${\mathrm{delta}}={\mathrm{m}^{-1}}$). $f'>0$ : lentille convergente (bords minces) ; $f'<0$ : divergente (bords épais). Les foyers secondaires sont les autres points des plans focaux.

Méthode — les trois rayons. Pour construire l’image $B'$ d’un point $B$ hors de l’axe, on trace deux rayons parmi : celui passant par $O$ (non dévié), celui arrivant parallèle à l’axe (il émerge par $F'$), celui passant par $F$ (il émerge parallèle à l’axe) ; $A'$ est alors le pied de la perpendiculaire à l’axe issue de $B'$ (aplanétisme). Pour un rayon quelconque, on passe par le foyer secondaire image $F'_s$, intersection du plan focal image avec le rayon parallèle mené par $O$.

Théorème — conjugaison et grandissement. Pour une lentille mince de centre $O$ et de distance focale image $f'$ utilisée dans les conditions de Gauss, $AB$ et $A'B'$ étant perpendiculaires à l’axe :

Toutes les distances sont algébriques, mesurées sur l’axe orienté dans le sens de propagation ; $\gamma<0$ signifie image renversée. Idée de la démonstration : le rayon $BO$ n’étant pas dévié, les triangles $ABO$ et $A'B'O$ sont semblables, d’où $\gamma=\overline{OA'}/\overline{OA}$ ; le rayon parallèle à l’axe donne, avec les triangles de sommet $F'$, $\gamma=-\overline{F'A'}/f'$ ; l’élimination de $\gamma$ fournit Descartes, et Newton s’en déduit avec $\overline{FA}=\overline{OA}+f'$, $\overline{F'A'}=\overline{OA'}-f'$.

Théorème — formation d’une image réelle — exigible. Une lentille convergente ($f'>0$) donne d’un objet réel une image réelle sur un écran placé à la distance $D=\overline{AA'}>0$ de l’objet si et seulement si $D\geq 4f'$. Démonstration : posons $x=-\overline{OA}>0$ et $\overline{OA'}=D-x>0$ ; la relation de conjugaison s’écrit $\frac{1}{D-x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{f'}$, soit $x^2-Dx+Df'=0$, qui admet une racine réelle si et seulement si $\Delta=D(D-4f')\geq 0$, c’est-à-dire $D\geq 4f'$. Pour $D>4f'$ il y a deux positions de la lentille, $x_{1,2}=\frac{1}{2}\bigl(D\mp\sqrt{D^2-4Df'}\bigr)$ (méthode de Bessel) ; pour $D=4f'$ elles se confondent en $x=2f'$, avec $\gamma=-1$ (méthode de Silbermann).

6L’œil et l’appareil photographique

Notation. On modélise l’œil par une lentille mince de vergence variable (cristallin + cornée) et un capteur plan fixe (la rétine), la distance lentille-rétine étant constante ($\approx{17\,\mathrm{mm}}$). Accommoder, c’est modifier la vergence pour former l’image sur la rétine.

Définition. Le punctum remotum (PR) est le point le plus éloigné vu net au repos, le punctum proximum (PP) le point le plus proche vu net en accommodation maximale ; l’œil emmétrope a son PR à l’infini et son PP à $d_m\approx{25\,\mathrm{cm}}$. La plage d’accommodation est l’intervalle de vergence $\Delta V=\dfrac{1}{d_{PP}}-\dfrac{1}{d_{PR}}\approx\dfrac{1}{0{,}25}-0={4\,\mathrm{delta}}$. Le pouvoir de résolution angulaire de l’œil vaut $\varepsilon\approx 3\times 10^{-4}\,{\mathrm{rad}}$ (une minute d’arc), soit deux points séparés de ${0{,}075\,\mathrm{mm}}$ à ${25\,\mathrm{cm}}$. Un œil myope a son PR à distance finie (il est trop convergent) : on le corrige par une lentille divergente ; un œil hypermétrope a un PP trop éloigné : lentille convergente. La presbytie est la réduction de $\Delta V$ avec l’âge.

Notation. Appareil photographique : un objectif assimilé à une lentille mince convergente de focale $f'$, diaphragmé au diamètre $D_a$, et un capteur plan à la distance $\overline{OA'}$ ; le nombre d’ouverture est $N=f'/D_a$ (noté $f/N$). La mise au point déplace le capteur pour que l’image du plan visé tombe dessus : $\overline{OA'}$ varie de $f'$ (objet à l’infini) à $2f'$ ($\gamma=-1$). La profondeur de champ est l’intervalle des distances objet pour lesquelles la tache image sur le capteur reste de diamètre inférieur au cercle de confusion $\varepsilon$, de l’ordre de la taille d’un pixel.