Mouvement d’un solide

1Le modèle du solide ; translation

Définition. Un solide (ou solide indéformable) est un système dont la distance entre deux points quelconques reste constante : $\norme{\vect{AB}}=\text{cte}$ pour tous points $A,B$ du système. Sinon le système est déformable. On note $G$ son centre de masse, $m$ sa masse, et $\Delta$ un axe orienté par $\vv{u}$ ; le référentiel $\mathcal{R}$ est supposé galiléen.

Remarque. Solides : bille, tige rigide, volant d’inertie, poulie. Déformables : ressort, fil souple, gaz, cycliste qui pédale. Pour un système déformable, ni $L_\Delta=J_\Delta\omega$ ni $E_\text{c}=\frac12 J_\Delta\omega^{2}$ n’ont de sens.

Définition. Un solide est en translation si, à chaque instant, tous ses points ont le même vecteur vitesse : les trajectoires sont superposables et aucune direction liée au solide ne tourne. Elle est rectiligne (ascenseur) ou circulaire (nacelle de grande roue, qui décrit un cercle sans tourner). Tout se ramène alors au point matériel : $m\,\vv{a}(G)=\sum_k\vv{F}_k$ et $E_\text{c}=\frac12 m\,v(G)^{2}$.

Remarque — les deux seuls mouvements au programme. Translation et rotation autour d’un axe fixe du référentiel galiléen. Sont hors programme : le mouvement composé (translation de $G$ et rotation autour d’un axe mobile), le roulement sans glissement, tout axe de rotation en mouvement. Et translation circulaire $\neq$ rotation : dans une rotation, les points n’ont pas la même vitesse.

2Rotation autour d’un axe fixe

Définition. Un solide est en rotation autour de l’axe fixe $\Delta$ si ses points situés sur $\Delta$ sont immobiles. On le repère par l’angle $\theta$ dont a tourné une demi-droite du solide perpendiculaire à $\Delta$ ; la vitesse angulaire est $\omega=\dot\theta$ (en ${\mathrm{rad}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$), algébrique, positive dans le sens direct autour de $\vv{u}$.

Théorème — vitesse d’un point. Soit $M$ un point du solide, $H$ son projeté orthogonal sur $\Delta$, et $r=HM$ sa distance à l’axe. Alors $M$ décrit le cercle de centre $H$, de rayon $r$, dans le plan perpendiculaire à $\Delta$ passant par $M$, et

Tous les points ont la même vitesse angulaire $\omega$, mais des vitesses différentes, proportionnelles à $r$ : un point de l’axe est immobile, l’extrémité d’une pale va vite.

Notation. Pour une fréquence de rotation $n$ en tours par minute, $\omega=2\pi n/60$ : ${3\,000\,\mathrm{tour}{\cdot}\mathrm{min}^{-1}}={314\,\mathrm{rad}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ et ${1\,\mathrm{rad}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}={9{,}55\,\mathrm{tour}{\cdot}\mathrm{min}^{-1}}$. Ne pas confondre $\omega$ (${\mathrm{rad}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$) et $f=\omega/2\pi$ (${\mathrm{Hz}}$).

3Moment d’inertie, moment cinétique scalaire

Définition. En décomposant le solide en points matériels $M_i$ de masses $m_i$ à la distance $r_i$ de $\Delta$, le moment d’inertie par rapport à l’axe $\Delta$ est

grandeur positive et additive (deux parties, même axe), indépendante du mouvement.

Théorème — moment cinétique scalaire. Pour un solide en rotation à la vitesse angulaire $\omega$ autour de l’axe fixe $\Delta$ : $\boxed{\ L_\Delta=J_\Delta\,\omega\ }$ en ${\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{2}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$. Démonstration (exigible, cas discret). Chaque $M_i$ décrit un cercle de rayon $r_i$ : son moment cinétique par rapport à $\Delta$ vaut $m_ir_i^{2}\dot\theta$ (résultat en coordonnées polaires du chapitre 15). Par additivité, $L_\Delta=\sum_i m_ir_i^{2}\dot\theta=J_\Delta\,\omega$, car $\omega$ est commune à tous les points.

Remarque. $L_\Delta$ est algébrique, du signe de $\omega$ : réorienter $\Delta$ change le signe de $\omega$ et de $L_\Delta$, jamais celui de $J_\Delta$.

4Couple et liaison pivot

Définition. Un couple est un ensemble de forces de résultante nulle et de moment résultant non nul. Ce moment $\Gamma$ (en ${\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{m}}$) est alors indépendant du point où on le calcule : un couple fait tourner le solide sans le déplacer. Exemples : couple moteur, tournevis, rappel d’un fil de torsion $\Gamma=-C\theta$, frottement fluide $\Gamma=-f\,\omega$.

Définition. Une liaison pivot d’axe $\Delta$ n’autorise que la rotation autour de $\Delta$. Le moment par rapport à $\Delta$ de l’action qu’elle exerce est nul si elle est parfaite (aucun frottement, aucune dissipation), non nul et de signe opposé à $\omega$ si elle est imparfaite : couple de frottement fluide $-f\omega$ ($f>0$, en ${\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}}$) ou solide de valeur absolue constante $\Gamma_0$.

Remarque — ce que le pivot annule — et ce qu’il n’annule pas. Même parfaite, une liaison pivot exerce une force (la réaction de l’axe) en général non nulle : c’est elle qui maintient l’axe. Ce qui est nul, c’est le moment de cette action par rapport à $\Delta$. Il faut toujours le dire explicitement ; c’est tout l’intérêt du TMC scalaire : la réaction de l’axe, inconnue, disparaît de l’équation.

5Théorème scalaire du moment cinétique

Théorème — TMC scalaire pour un solide. Dans un référentiel galiléen, pour un solide en rotation autour d’un axe $\Delta$ fixe dans ce référentiel, de moment d’inertie $J_\Delta$ constant :

la somme ne portant que sur les forces extérieures (le moment résultant des forces intérieures à un solide est nul : admis) ; un couple extérieur $\Gamma$ contribue pour $\Gamma$.

Méthode — mise en équation. (i) définir le système, le référentiel galiléen et orienter $\Delta$ ; (ii) écrire $L_\Delta=J_\Delta\dot\theta$ ; (iii) bilan des moments par rapport à $\Delta$ des forces extérieures, en annonçant ceux qui sont nuls et pourquoi ; (iv) écrire $J_\Delta\ddot\theta=\sum\mathcal{M}_\Delta$ et ordonner.

6Énergie cinétique, puissance d’un couple, théorème de l’énergie cinétique

Théorème — énergie cinétique de rotation. $\boxed{\ E_\text{c}=\frac12\,J_\Delta\,\omega^{2}\ }$ Démonstration. $E_\text{c}=\sum_i\frac12 m_iv_i^{2}=\sum_i\frac12 m_ir_i^{2}\omega^{2}=\frac12\bigl(\sum_i m_ir_i^{2}\bigr)\omega^{2}$, $\omega$ étant commune à tous les points.

Théorème — puissance d’un couple. $\boxed{\ \mathcal{P}=\Gamma\,\omega\ }$ (en ${\mathrm{W}}$), et plus généralement $\mathcal{P}=\mathcal{M}_\Delta(\vv{F})\,\omega$. Un couple de frottement fluide a une puissance $\mathcal{P}=-f\omega^{2}\leq 0$ : il dissipe toujours. Celle de la réaction d’un pivot parfait est nulle.

Théorème — TEC et équivalence avec le TMC. $\dfrac{\dd E_\text{c}}{\dd t}=\bigl(\sum_k\mathcal{M}_\Delta(\vv{F}_k)\bigr)\omega$, soit $\Delta E_\text{c}=\sum_k W_k$ avec $W=\int\mathcal{M}_\Delta\,\dd\theta$. Équivalence (exigible). En dérivant $E_\text{c}=\frac12 J_\Delta\dot\theta^{2}$ : $\dfrac{\dd E_\text{c}}{\dd t}=J_\Delta\dot\theta\,\ddot\theta=\bigl(J_\Delta\ddot\theta\bigr)\omega$. Le TEC est le TMC multiplié par $\omega$ ; réciproquement on divise par $\omega\neq 0$ : pour un solide en rotation autour d’un axe fixe, les deux théorèmes sont équivalents. On préfère le TEC si les forces sont conservatives ou de travail connu, le TMC pour l’équation différentielle.

Remarque — exemple : couple constant. Un moteur de couple $\Gamma={100\,\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{m}}$ entraîne par un pivot parfait un rotor de moment d’inertie $J={0{,}50\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{2}}$ : le TMC donne $J\ddot\theta=\Gamma$, donc $\dot\omega=\Gamma/J={200\,\mathrm{rad}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$ et $\omega$ croît linéairement. À $\omega={300\,\mathrm{rad}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ (atteinte en ${1{,}5\,\mathrm{s}}$) : $\mathcal{P}=\Gamma\omega={30\,\mathrm{kW}}$ et $E_\text{c}=\frac12J\omega^{2}={22{,}5\,\mathrm{kJ}}$.

7Le pendule pesant

Définition. Un pendule pesant est un solide mobile autour d’un axe horizontal fixe $\Delta$ ne passant pas par son centre de masse $G$. On note $d=HG>0$ la distance de $G$ à l’axe, $J$ le moment d’inertie par rapport à $\Delta$ (fourni), $\theta$ l’angle entre $\vect{HG}$ et la verticale descendante.

Théorème — équation du mouvement. Le poids s’applique au centre de masse : son moment par rapport à $\Delta$ vaut $-mgd\sin\theta$ (bras de levier $d\abs{\sin\theta}$, signe de rappel) ; celui de la liaison pivot, supposée parfaite, est nul. Le TMC scalaire donne

Théorème — petites oscillations, longueur équivalente. Pour $\abs{\theta}\ll 1$, $\sin\theta\simeq\theta$ : l’oscillateur est harmonique et

$\ell_\text{eq}$ est la longueur équivalente : le pendule pesant bat comme le pendule simple de longueur $\ell_\text{eq}$. La période ne vaut ni $2\pi\sqrt{d/g}$ ni $2\pi\sqrt{\ell/g}$ pour une longueur $\ell$ quelconque du solide ; tige d’axe extrémité : $\ell_\text{eq}=\frac23\ell$.

Théorème — intégrale première. En multipliant l’équation par $\dot\theta$ : $J\dot\theta\ddot\theta+mgd\,\dot\theta\sin\theta=\dfrac{\dd}{\dd t}\Bigl[\frac12 J\dot\theta^{2}-mgd\cos\theta\Bigr]=0$, donc, avec $E_\text{p}=0$ en bas,

L’intégrale première du mouvement est la conservation de l’énergie mécanique. Lâché sans vitesse de $\theta_0$ :

Théorème — portrait de phase. Les trajectoires de phase sont les courbes d’équation $\dot\theta^{2}/\omega_0^{2}=2\cos\theta+\text{cte}$. En posant $E^{*}=2mgd$ (énergie de la position haute) :

• $E_\text{m}<E^{*}$ : courbes fermées autour de $(0,0)$, qui est un centre — le pendule oscille entre $\pm\theta_0$ ;
• $E_\text{m}=E^{*}$ : la séparatrice $\dot\theta=\pm2\omega_0\cos(\theta/2)$, joignant les points selles $(\pm\pi,0)$ (équilibres instables) : le pendule tend vers la position haute sans l’atteindre, en un temps infini ;
• $E_\text{m}>E^{*}$ : courbes ouvertes, $\dot\theta$ de signe constant — régime révolutif.

Lancé de la position basse avec $\dot\theta_0$, le pendule fait donc le tour si et seulement si $\boxed{\ \abs{\dot\theta_0}>2\,\omega_0\ }$

Théorème — non-isochronisme. La période exacte dépend de l’amplitude :

Le pendule pesant n’est pas isochrone : il est d’autant plus lent que l’amplitude est grande ($+0{,}19\,\%$ à ${10^{\circ}}$, $+0{,}43\,\%$ à ${15^{\circ}}$, $+0{,}77\,\%$ à ${20^{\circ}}$, $+1{,}7\,\%$ à ${30^{\circ}}$, $+7{,}3\,\%$ à ${60^{\circ}}$ ; $T\to+\infty$ si $\theta_0\to\pi$). L’isochronisme de Galilée n’est qu’une propriété de l’approximation linéaire : une horloge à balancier doit travailler à amplitude faible et constante.

Propriété — frottements : l’énergie mécanique décroît. Avec un pivot imparfait, $J\ddot\theta=-mgd\sin\theta-f\dot\theta$ ; en multipliant par $\dot\theta$, $\dfrac{\dd E_\text{m}}{\dd t}=-f\,\dot\theta^{2}\leq 0$ : $E_\text{m}$ décroît, strictement dès que le pendule bouge. Les oscillations s’amortissent, le pendule s’immobilise en $\theta=0$, et la trajectoire de phase est une spirale convergeant vers l’origine. Aux petites oscillations on retrouve l’oscillateur amorti du chapitre 5, de facteur de qualité $Q=J\omega_0/f$.

8Capacité numérique : mettre en évidence le non-isochronisme

Méthode — intégration pas à pas. On écrit $\ddot\theta=-\omega_0^{2}\sin\theta$ comme un système du premier ordre sur $(\theta,\dot\theta)$. Le schéma d’Euler semi-implicite — vitesse d’abord, puis position avec la vitesse actualisée — conserve l’énergie, alors qu’Euler explicite la fait dériver et fausse la période. Deux changements de signe consécutifs de $\theta$ sont séparés d’une demi-période.

import numpy as np
w0, h = 1.0, 1.0e-4                      # pulsation propre, pas de temps
def periode(th0):                        # lache sans vitesse depuis th0
    th, thp, t, pas = th0, 0.0, 0.0, []  # Euler semi-implicite :
    while len(pas) < 2:                  # vitesse d'abord, puis position
        thp, th2 = thp - h * w0**2 * np.sin(th), th + h * thp
        if th * th2 < 0: pas.append(t)   # passage par theta = 0
        th, t = th2, t + h
    return 2 * (pas[1] - pas[0])         # deux passages = T/2
print([periode(np.radians(a)) / (2 * np.pi / w0) for a in [5, 20, 45, 90]])