Particules chargées

1La force de Lorentz

Définition. Une particule ponctuelle de charge $q$ (grandeur algébrique, en coulombs) et de masse $m$, animée de la vitesse $\vv{v}$ dans un référentiel $\mathcal{R}$, placée en un point où règnent un champ électrique $\vv{E}$ et un champ magnétique $\vv{B}$, subit la force de Lorentz

On appelle force électrique la part $q\vv{E}$ et force magnétique la part $q\,\vv{v}\wedge\vv{B}$.

Notation. $E$ s’exprime en ${\mathrm{V}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}}$, $B$ en teslas (${\mathrm{T}}$). La charge élémentaire vaut $e={1{,}60\times10^{-19}\,\mathrm{C}}$ : un électron porte $q=-e$, un proton $q=+e$, un ion $n$ fois chargé $q=\pm n e$. Masses : $m_e={9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}}$, $m_p={1{,}67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}}$, et l’unité de masse atomique $u={1{,}66\times10^{-27}\,\mathrm{kg}}$.

Propriété — dimension de $B$. L’égalité $[qE]=[qvB]$ impose $[B]=[E]/[v]$ : $E/B$ est une vitesse. C’est l’ingrédient du sélecteur de vitesse.

Propriété — la force magnétique est orthogonale à la vitesse. Par définition du produit vectoriel, $\vv{v}\wedge\vv{B}\perp\vv{v}$ : la force magnétique est à chaque instant orthogonale à la vitesse, et sa norme vaut $\abs{q}\,v\,B\,\abs{\sin\theta}$ où $\theta=(\vv{v},\vv{B})$. Elle est nulle si $\vv{v}=\vv{0}$ ou si $\vv{v}$ est colinéaire à $\vv{B}$.

Théorème — puissance de la force de Lorentz. La puissance de la force de Lorentz dans $\mathcal{R}$ est

car $(\vv{v}\wedge\vv{B})\cdot\vv{v}=0$ (produit mixte à deux vecteurs égaux). Par le théorème de la puissance cinétique, $\dfrac{\dd E_c}{\dd t}=q\,\vv{E}\cdot\vv{v}$ :

• un champ électrique peut modifier l’énergie cinétique de la particule (il l’accélère ou la freine) ;
• un champ magnétique ne travaille jamais : il courbe la trajectoire sans fournir ni prélever d’énergie. En particulier, s’il agit seul, $\norme{\vv{v}}$ est constante.

Propriété — le poids est toujours négligeable… sauf pour un objet macroscopique. Pour un électron dans un champ modeste $E={1{,}0\times10^{3}\,\mathrm{V}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}}$, $\dfrac{eE}{m_eg}=\dfrac{1{,}6\times10^{-16}}{8{,}9\times10^{-30}}={1{,}8\times10^{13}}$. On néglige systématiquement le poids d’une particule élémentaire — mais il faut le dire et le justifier. En revanche, pour une goutte d’encre chargée ou une gouttelette d’huile, le rapport descend à quelques centaines : le poids compte.

2Mouvement dans un champ électrique uniforme

Théorème — accélération constante. Une particule $(q,m)$ soumise au seul champ électrique uniforme et stationnaire $\vv{E}$, dans un référentiel galiléen, vérifie

Le mouvement est donc uniformément accéléré : c’est exactement le problème de la chute libre, avec $\dfrac{q}{m}\vv{E}$ à la place de $\vv{g}$. La trajectoire est une droite si $\vv{v}_0$ est colinéaire à $\vv{E}$, une parabole sinon, contenue dans le plan $(\vv{v}_0,\vv{E})$.

Notation. Condensateur plan. Entre deux plaques parallèles distantes de $d$ portées à la différence de potentiel $U$, le champ est uniforme, orthogonal aux plaques, dirigé de la plaque $(+)$ vers la plaque $(-)$, et de norme

Ne jamais confondre $U$ (en volts) et $E$ (en ${\mathrm{V}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}}$).

Méthode — mise en équation d’une déviation. (i) repère : $Ox$ selon $\vv{v}_0$, $Oy$ selon la déviation, origine à l’entrée du champ ; (ii) écrire $m\vv{a}=q\vv{E}$ et projeter ; (iii) intégrer deux fois avec $\vv{v}(0)=v_0\vv{u}_x$, $\vv{r}(0)=\vv{0}$ ; (iv) éliminer $t$ ; (v) évaluer en $x=L$.

Théorème — déviation dans un condensateur plan. Avec $\vv{E}=-E\,\vv{u}_y$ ($E>0$) et une charge $q<0$ (électron), en posant $a=\dfrac{\abs{q}E}{m}$ :

la trajectoire est une parabole. À la sortie des plaques ($x=L$) :

Comme $\tan\alpha=2y_1/L$, la tangente de sortie passe par le milieu des plaques : si $D$ désigne la distance du centre des plaques à l’écran,

exactement, et non seulement en approximation.

Propriété — forme condensée. Si la particule a été préalablement accélérée sous la tension $U_0$, alors $m v_0^{\,2}=2\abs{q}U_0$ et, avec $E=U/d$ :

Ces expressions ne dépendent plus ni de $q$ ni de $m$ : un dispositif de déviation électrostatique est insensible à la nature de la particule, pourvu que la tension d’accélération soit la même.

3Aspect énergétique : l’électron-volt

Théorème — vitesse acquise sous une différence de potentiel. Une particule $(q,m)$ partant du repos et accélérée par un champ électrique entre deux points dont la différence de potentiel est telle que la force la pousse, acquiert, d’après le théorème de l’énergie cinétique appliqué à la seule force électrique (le poids étant négligé) :

où $U>0$ est la valeur absolue de la différence de potentiel traversée. Le résultat ne dépend ni de $d$, ni de la forme du champ : seule compte la tension.

Définition. L’électron-volt est l’énergie acquise par une particule de charge $\pm e$ accélérée sous une tension de ${1\,\mathrm{V}}$ :

Une particule de charge $n e$ accélérée sous $U_0$ possède l’énergie $n\,U_0$ (en eV) : un électron sous ${1{,}0\,\mathrm{kV}}$ a ${1{,}0\,\mathrm{keV}}$, un ion $\mathrm{He}^{2+}$ sous ${1{,}0\,\mathrm{kV}}$ a ${2{,}0\,\mathrm{keV}}$.

4Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme

Notation. On se place dans le seul cas exigible : $\vv{B}=B\,\vv{u}_z$ uniforme et stationnaire, $\vv{v}_0\perp\vv{B}$, le poids étant négligé et $\vv{E}=\vv{0}$.

Théorème — mouvement circulaire uniforme. Dans ces conditions, le mouvement est plan (dans le plan contenant $\vv{v}_0$ et orthogonal à $\vv{B}$), uniforme et circulaire, de rayon et de pulsation

Démonstration exigible, en trois temps.

• Le mouvement est uniforme : la puissance de la force magnétique est nulle, donc $E_c$, donc $v=\norme{\vv{v}}$, est constante.
• Le mouvement est plan : $m\dfrac{\dd\vv{v}}{\dd t}=q\,\vv{v}\wedge\vv{B}$ est à chaque instant orthogonale à $\vv{B}$, donc $\dfrac{\dd}{\dd t}(\vv{v}\cdot\vv{u}_z)=0$ : la composante $v_z$ reste nulle, le mouvement se fait dans le plan $z=0$.
• Le mouvement est circulaire : dans le repère de Frenet, $\vv{a}=\dot v\,\vv{T}+\dfrac{v^{2}}{\rho}\,\vv{N}$. Or $\dot v=0$ et $\norme{\vv{a}}=\dfrac{\abs{q}\,v\,B}{m}$ (car $\vv{v}\perp\vv{B}$). Donc $\dfrac{v^{2}}{\rho}=\dfrac{\abs{q}vB}{m}$, soit $\rho=\dfrac{m v}{\abs{q}B}$ : le rayon de courbure est constant, la trajectoire est un cercle de rayon $R=\rho$.

Propriété — le sens de parcours. Le centre du cercle est du côté vers lequel pointe la force $q\,\vv{v}\wedge\vv{B}$, à la distance $R$. Avec $\vv{B}$ entrant dans la feuille : une charge positive tourne dans le sens trigonométrique (direct), une charge négative dans le sens horaire. On retrouve le sens en appliquant la règle de la main droite à $\vv{v}\wedge\vv{B}$, puis en tenant compte du signe de $q$.

Théorème — propriété fondamentale du mouvement cyclotron. La période $T_c=\dfrac{2\pi m}{\abs{q}B}$ ne dépend ni de la vitesse, ni du rayon : elle ne dépend que de la particule et du champ. Toutes les particules identiques tournent « au même rythme », quelle que soit leur énergie. C’est cette propriété — et elle seule — qui rend le cyclotron possible.

Propriété — deux écritures utiles du rayon. En fonction de l’énergie cinétique, ou de la tension d’accélération $U_0$ :

À $U_0$ et $B$ fixés, $R$ croît comme $\sqrt{m}$ : c’est le principe du spectromètre de masse.

5Les applications à connaître

Propriété — accélérateur linéaire. Une succession de tubes conducteurs (où $\vv{E}=\vv{0}$, la particule se contente de glisser) séparés par des intervalles où règne un champ alternatif de fréquence $f$. La particule traverse chaque intervalle au moment favorable et gagne $\abs{q}U_0$ à chaque fois : après $n$ intervalles, $E_c=n\,\abs{q}\,U_0$ et $v_n=\sqrt{2n\abs{q}U_0/m}\propto\sqrt{n}$. Le tube $n$ doit être parcouru en une demi-période, d’où

les tubes s’allongent, et l’accélérateur est long. C’est le champ électrique, et lui seul, qui accélère.

Propriété — cyclotron. Deux demi-boîtes (« dees ») plongées dans $\vv{B}$ uniforme, séparées par un intervalle soumis à une tension alternative d’amplitude $U_0$. Dans chaque dee le mouvement est circulaire uniforme ; à chaque traversée de l’intervalle la particule gagne $\abs{q}U_0$. Le dispositif fonctionne si et seulement si la fréquence du générateur est accordée sur la fréquence cyclotron :

Après $n$ traversées, $R_n=\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mnU_0}{\abs{q}}}=R_{\max}\sqrt{n/N}$ : la trajectoire est une spirale dont le pas se resserre. L’énergie finale est fixée par le rayon maximal :

Limite : lorsque $v$ approche $c$, $T_c$ n’est plus constante et la synchronisation est perdue (d’où le synchrocyclotron, hors programme).

Propriété — sélecteur de vitesse (filtre de Wien). Champs $\vv{E}$ et $\vv{B}$ croisés, tous deux orthogonaux à la vitesse d’entrée. La force totale est nulle si et seulement si $q\vv{E}+q\,\vv{v}\wedge\vv{B}=\vv{0}$, c’est-à-dire

indépendamment de $q$ et de $m$ : seules les particules de cette vitesse traversent sans être déviées, les autres sont arrêtées par une fente. Le sélecteur ne trie que la vitesse.

Propriété — spectromètre de masse. En amont, une accélération sous $U_0$ (ou un sélecteur de vitesse) ; en aval, un secteur magnétique où la particule décrit un demi-cercle et frappe un détecteur à la distance $2R$ de la fente. Deux isotopes se séparent de $\Delta(2R)=2(R_2-R_1)$, avec $R\propto\sqrt m$ (après accélération) ou $R\propto m$ (après sélecteur). Focalisation à $180^\circ$ : pour une divergence $\pm\varepsilon$, les impacts sont à $2R\cos\varepsilon$ de la fente ; l’élargissement $2R(1-\cos\varepsilon)\approx R\varepsilon^{2}$ est du second ordre — le secteur est auto-focalisant.

Propriété — déviation dans un oscilloscope. Un canon à électrons (accélération sous $U_0$) suivi de deux paires de plaques orthogonales, puis d’un écran. La sensibilité verticale vaut $\dfrac YU=\dfrac{L\,D}{2\,U_0\,d}$ (${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{V}^{-1}}$), indépendante de $q$ et $m$ : augmenter $U_0$ rend la trace plus lumineuse mais moins sensible.

6Démonstrations à savoir refaire

• Puissance de la force de Lorentz : $\mathcal{P}=q\vv{E}\cdot\vv{v}$, car $(\vv{v}\wedge\vv{B})\cdot\vv{v}=0$ ; conséquence sur $E_c$.
• Comparaison des forces : calculer $\abs{q}E/(mg)$ et $\abs{q}vB/(mg)$, conclure.
• Mouvement dans $\vv{E}$ uniforme : $\vv{a}=\dfrac qm\vv{E}$ constante, parabole, $y_1$ et $\tan\alpha$ ; $Y=D\tan\alpha$ ($D$ depuis le centre des plaques).
• Vitesse acquise sous $U$ : théorème de l’énergie cinétique, $v=\sqrt{2\abs{q}U/m}$ ; contrôle de $v/c$.
• Mouvement circulaire uniforme dans $\vv{B}$ : uniforme (puissance nulle), plan ($v_z$ constante), circulaire (Frenet) ; $R=mv/(\abs{q}B)$, $\omega_c=\abs{q}B/m$, sens de parcours.
• Indépendance de $T_c$ vis-à-vis de $v$ et condition de résonance du cyclotron.
• Sélecteur de vitesse : $v=E/B$, indépendance en $q$ et $m$.
• $R\propto\sqrt{m}$ après accélération sous $U_0$ : $R=\dfrac{1}{B}\sqrt{2mU_0/\abs{q}}$.

7Savoir-faire du chapitre