Circuits du premier ordre

1Régime transitoire et régime permanent

Définition. On appelle régime permanent (ou régime établi) le régime vers lequel tend un circuit lorsque les sources sont maintenues constantes depuis « suffisamment longtemps ». Le régime transitoire est la phase d’évolution qui le précède, consécutive à une modification brutale du circuit (fermeture ou ouverture d’un interrupteur, échelon de tension).

Définition. Un échelon de tension d’amplitude $E$ est la fonction $e(t)=0$ pour $t<0$ et $e(t)=E$ pour $t>0$. Un circuit est en régime libre lorsque toutes les sources sont éteintes : il évolue alors à partir de la seule énergie initialement stockée dans $C$ ou $L$.

Notation. Les valeurs juste avant et juste après la commutation sont notées $x(0^-)$ et $x(0^+)$. Sauf indication contraire, la commutation a lieu à $t=0$ et l’on étudie le circuit pour $t>0$.

2Continuités et comportements limites

Théorème — continuité. L’énergie stockée dans un condensateur, $\mathcal{E}_C=\frac12\,C\,u_C^{\,2}$, et dans une bobine, $\mathcal{E}_L=\frac12\,L\,i_L^{\,2}$, ne peut pas varier de façon discontinue (il faudrait une puissance infinie). Donc, tant que $C$ et $L$ sont non nuls et que les courants et tensions restent bornés :

Idée de la démonstration : $i_C=C\,\dd u_C/\dd t$ ; si $u_C$ sautait, $\dd u_C/\dd t$ serait une distribution non bornée, donc $i_C$ aussi. Même raisonnement pour $u_L=L\,\dd i_L/\dd t$.

Propriété — régime permanent continu. Lorsque toutes les grandeurs sont constantes, $\dd u_C/\dd t=0$ donc $i_C=0$ : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. De même $\dd i_L/\dd t=0$ donc $u_L=0$ : la bobine idéale se comporte comme un fil.

3Mise en équation : la méthode

Méthode — circuit à une maille. (i) orienter le courant et flécher les tensions en convention récepteur pour $R$, $C$, $L$ ; (ii) écrire la loi des mailles ; (iii) exprimer toutes les tensions en fonction d’une seule inconnue et de sa dérivée, à l’aide de $u_R=R\,i$, $i=C\,\dd u_C/\dd t$, $u_L=L\,\dd i/\dd t$ ; (iv) ordonner sous forme canonique.

Théorème — forme canonique. Toute grandeur électrique $y$ d’un circuit linéaire du premier ordre vérifie

où $\tau$ est le temps caractéristique (ou constante de temps) du circuit et $f$ un second membre imposé par les sources. Le temps caractéristique ne dépend que du circuit passif, jamais des sources ni des conditions initiales.

Méthode — circuit à deux mailles. Débrancher le condensateur (ou la bobine) : le reste du circuit est un dipôle linéaire actif, que l’on remplace par son modèle de Thévenin $(E_{\text{th}},R_{\text{th}})$. On est ramené à un circuit à une maille, et

$R_{\text{th}}$ est la résistance vue entre les deux bornes libres, sources éteintes (source de tension idéale remplacée par un fil, source de courant idéale par un circuit ouvert).

4Résolution

Théorème — régime libre. L’équation $\dfrac{\dd y}{\dd t}+\dfrac{y}{\tau}=0$ a pour solutions $y(t)=A\,\e^{-t/\tau}$, $A\in\R$. La condition initiale donne $A=y(0^+)$, d’où

Théorème — réponse à un échelon. Si $f$ est constante pour $t>0$, la solution particulière constante est $y_{\infty}=\tau f$ : c’est la valeur en régime permanent. La solution complète est

Cette formule dispense de tout calcul de constante : il suffit de connaître $y(0^+)$ (par continuité), $y_\infty$ (par l’étude du régime permanent) et $\tau$.

Remarque. Si $f$ n’est pas constante (rampe, sinusoïde, créneau), on cherche une solution particulière de la forme du second membre : affine pour une rampe, sinusoïdale de même pulsation pour une excitation sinusoïdale.

5Le temps caractéristique

Propriété — lectures. Pour une évolution $y(t)=y_\infty+\bigl(y(0^+)-y_\infty\bigr)\e^{-t/\tau}$, l’écart à la valeur finale est divisé par $\e\approx 2{,}72$ à chaque durée $\tau$ :

• $t=\tau$ : $63\,\%$ de l’écart total est parcouru ($1-\e^{-1}=0{,}632$) ; il en reste $37\,\%$ ;
• $t=3\tau$ : $95\,\%$ ; $t=5\tau$ : $99{,}3\,\%$ — on considère le régime permanent atteint au bout de $5\tau$ ;
• la tangente à l’origine coupe l’asymptote $y=y_\infty$ à la date $t=\tau$ ;
• $t_{1/2}=\tau\ln 2\approx 0{,}69\,\tau$ est la durée au bout de laquelle l’écart est divisé par deux.

Méthode — homogénéité. $[RC]=\dfrac{[u]}{[i]}\times\dfrac{[q]}{[u]}=\dfrac{[q]}{[i]}={\mathrm{s}}$ ; $\left[\dfrac{L}{R}\right]=\dfrac{[u]\,[t]}{[i]}\times\dfrac{[i]}{[u]}={\mathrm{s}}$. Toujours vérifier : une constante de temps s’écrit $RC$, jamais $R/C$ ni $L\,R$.

Méthode — mesurer $\tau$ sur un enregistrement. La lecture à $63\,\%$ est peu précise. On préfère linéariser : en régime libre, $\ln\bigl(u_C(t)/U_0\bigr)=-t/\tau$. Le tracé de $\ln u_C$ en fonction de $t$ doit être une droite de pente $-1/\tau$ ; une régression linéaire fournit $\tau$ et l’alignement des points valide le modèle exponentiel.

Propriété — ordres de grandeur. ${1\,\mathrm{k\Omega}}$ et ${1\,\mathrm{\text{µ}F}}$ donnent $\tau={1\,\mathrm{ms}}$ : en travaux pratiques on visualise donc le transitoire en alimentant le circuit par un GBF en créneaux de période $T\gg 5\tau$, soit quelques dizaines de hertz. Un flash photographique (${150\,\mathrm{\text{µ}F}}$, ${2\,\mathrm{\Omega}}$) a $\tau\approx{0{,}3\,\mathrm{ms}}$ ; une temporisation (${1\,\mathrm{M\Omega}}$, ${10\,\mathrm{\text{µ}F}}$) a $\tau={10\,\mathrm{s}}$.

6Bilans énergétiques

Propriété — puissances. En convention récepteur, $\mathcal{P}=u\,i$. Pour une résistance, $\mathcal{P}_R=R\,i^2\geq 0$ : l’énergie est dissipée (effet Joule), jamais restituée. Pour $C$ et $L$, $\mathcal{P}=\dfrac{\dd\mathcal{E}}{\dd t}$ avec $\mathcal{E}_C=\frac12 C u_C^{\,2}$ et $\mathcal{E}_L=\frac12 L i^2$ : l’énergie est stockée puis restituée.

Théorème — rendement de la charge d’un condensateur. Lors de la charge complète d’un condensateur initialement déchargé sous un échelon $E$ à travers $R$ :

La moitié exactement de l’énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule, quelle que soit la valeur de $R$. Diminuer $R$ accélère la charge mais ne change pas ce rendement de $50\,\%$.

Méthode — vérifier un bilan. Écrire la loi des mailles, la multiplier par $i$ : chaque terme devient une puissance. Intégrer ensuite entre deux dates. Le bilan doit se refermer : $W_{\text{gén}}=\Delta\mathcal{E}_{\text{stockée}}+W_J$.

7Capacité numérique : la méthode d’Euler

Méthode — schéma d’Euler explicite. Pour $\dfrac{\dd y}{\dd t}=g(t,y)$ avec $y(t_0)=y_0$, on discrétise le temps avec un pas $h$ et l’on approche la dérivée par $\dfrac{y_{k+1}-y_k}{h}$, d’où

Appliqué à $\dfrac{\dd u_C}{\dd t}=\dfrac{e(t)-u_C}{\tau}$, ce schéma permet de simuler la réponse à une excitation $e(t)$ de forme quelconque (créneau, rampe, signal enregistré).

import numpy as np
tau = 1.0e3 * 1.0e-6           # tau = R*C = 1 ms
h = tau / 100                  # pas : petit devant tau
t = np.arange(0.0, 8 * tau, h)
u = np.zeros(len(t))           # u[0] = 0 : condensateur decharge

def e(x):                      # creneau 0 / 5 V de periode 4 tau
    return 5.0 * (x 

for k in range(len(t) - 1):
    u[k + 1] = u[k] + h * (e(t[k]) - u[k]) / tau

Remarque. Le pas doit rester petit devant $\tau$ : pour $h>2\tau$ le schéma explicite diverge, pour $h\sim\tau$ il reste stable mais très imprécis. En pratique $h\leq\tau/20$.

8Démonstrations à savoir refaire

• Continuité de $u_C$ et de $i_L$ : l’énergie stockée ne peut pas sauter, faute de quoi la puissance serait infinie ; en pratique on invoque le caractère borné de $i_C=C\,\dd u_C/\dd t$ et de $u_L=L\,\dd i_L/\dd t$.
• Équation différentielle du RC et du RL série : loi des mailles, puis élimination de toutes les inconnues sauf une, à l’aide des relations constitutives.
• Résolution de $\dd y/\dd t+y/\tau=f$ avec $f$ constant : solution homogène $A\e^{-t/\tau}$ + solution particulière constante $\tau f$, puis $A$ par la condition initiale.
• Temps caractéristique par Thévenin : débrancher $C$ (ou $L$), calculer $R_{\text{th}}$ sources éteintes.
• Rendement de $50\,\%$ de la charge d’un condensateur : intégrer $E\,i$ et $R\,i^2$ sur $\intfo{0}{+\infty}$, avec $\int_0^{+\infty}\e^{-2t/\tau}\dd t=\tau/2$.
• Homogénéité de $RC$ et de $L/R$ : analyse dimensionnelle à partir de $q=Cu$, $u=Ri$ et $u=L\,\dd i/\dd t$.

9Savoir-faire du chapitre