Oscillateurs libres et forcés

1L’oscillateur harmonique

Définition. Un système à un degré de liberté $x$ est un oscillateur harmonique lorsque $x$ vérifie

où $\omega_0$ est la pulsation propre (en ${\mathrm{rad}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$). Les solutions sont

avec $X_m>0$ l’amplitude, $\varphi$ la phase à l’origine, $T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}$ la période propre et $f_0=\dfrac{1}{T_0}=\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ la fréquence propre. Les deux constantes sont fixées par les deux conditions initiales $x(0)$ et $\dot x(0)$ :

Notation. On note $\dot x=\dd x/\dd t$ et $\ddot x=\dd^2x/\dd t^2$. La pulsation propre ne dépend que du système, jamais des conditions initiales : c’est l’isochronisme des oscillations.

Remarque. La deuxième loi de Newton (chapitre 9) appliquée à la masse soumise au rappel $-kx$ donne $m\ddot x=-kx$. Dans ce chapitre, toute équation mécanique du mouvement est admise ou fournie : seul son traitement est exigible ici.

Propriété — énergie. Pour le circuit LC, $\mathcal{E}=\frac12Cu_C^2+\frac12Li^2$ est constante : en multipliant $LC\ddot u_C+u_C=0$ par $C\dot u_C=i$ on obtient $\dd\mathcal{E}/\dd t=0$. L’énergie oscille entre les deux formes à la pulsation $2\omega_0$, chacune de moyenne $\mathcal{E}/2$. Idem en mécanique avec $\mathcal{E}=\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2$.

2Oscillateur amorti : forme canonique, $\omega_0$ et $Q$

Théorème — forme canonique. Tout oscillateur linéaire amorti à un degré de liberté s’écrit

où $Q>0$, sans dimension, est le facteur de qualité et $f$ le terme d’excitation. Le second membre en régime permanent constant donne $x_\infty=f/\omega_0^2$.

Méthode — obtenir la forme canonique. (i) loi des mailles (ou équation du mouvement fournie) ; (ii) tout exprimer avec une inconnue ; (iii) diviser par le coefficient de $\ddot x$ ; (iv) identifier $\omega_0^2$ au coefficient de $x$ et $\omega_0/Q$ à celui de $\dot x$. Toujours vérifier l’homogénéité : $[\omega_0]={\mathrm{s}^{-1}}$, $Q$ sans dimension.

Propriété — analogie électromécanique. L’équation $m\ddot x+\lambda\dot x+kx=F(t)$ donne $\omega_0=\sqrt{k/m}$ et $Q=\dfrac{\sqrt{km}}{\lambda}=\dfrac{m\omega_0}{\lambda}$. Les deux oscillateurs sont formellement identiques :

Toute formule établie sur l’un se transpose : $\frac12Li^2\leftrightarrow\frac12mv^2$, $\frac{q^2}{2C}\leftrightarrow\frac12kx^2$, $Ri^2\leftrightarrow\lambda v^2$ (puissance dissipée).

3Régime libre : les trois régimes

Méthode — racines du polynôme caractéristique. L’équation homogène $\ddot x+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^2x=0$ a pour équation caractéristique $r^2+\dfrac{\omega_0}{Q}r+\omega_0^2=0$, de discriminant

Le signe de $\Delta$, donc la nature du régime, ne dépend que de $Q$ comparé à $\dfrac12$.

Définition. Dans le régime pseudo-périodique, la pseudo-pulsation et la pseudo-période valent

$\omega<\omega_0$ toujours : l’amortissement ralentit les oscillations. L’écart relatif vaut $\dfrac{1}{8Q^2}$ au premier ordre : pour $Q\geq5$, $\omega$ et $\omega_0$ diffèrent de moins de $1\,\%$.

Propriété — durée du régime transitoire. L’enveloppe décroît en $\e^{-t/\tau}$ avec $\tau=\dfrac{2Q}{\omega_0}=\dfrac{Q\,T_0}{\pi}$, d’où $\Delta t\approx 5\tau=\dfrac{10\,Q}{\omega_0}$ : le système effectue environ $Q/\pi$ pseudo-périodes par constante de temps, soit de l’ordre de $Q$ oscillations visibles. Un grand $Q$ signifie un faible amortissement. Pour $Q<1/2$, c’est la racine la plus petite en valeur absolue, $r_+$, qui impose la durée : $\Delta t\approx 5/\abs{r_+}$.

Définition. Le décrément logarithmique compare deux élongations séparées d’une pseudo-période :

C’est la façon la plus sûre de mesurer $Q$ sur un enregistrement : on l’obtient par $Q=\sqrt{\dfrac{\pi^2}{\delta^2}+\dfrac14}$.

Définition. Le portrait de phase est la courbe paramétrée $t\mapsto\bigl(x(t),\dot x(t)\bigr)$ (souvent $\dot x/\omega_0$ en ordonnée, pour que les deux axes aient la même unité). Il ne fait pas apparaître le temps mais rend la nature du régime immédiate : ellipse fermée (harmonique, énergie constante), spirale convergente (pseudo-périodique), arc unique sans tour complet (critique et apériodique). Les trajectoires convergent vers le point attracteur $(x_\infty,0)$ et ne se croisent jamais.

Propriété — bilan énergétique. En multipliant $L\ddot q+R\dot q+q/C=e$ par $i=\dot q$ :

La puissance fournie se répartit entre variation de l’énergie stockée et dissipation Joule, toujours positive. En régime libre $\dd\mathcal{E}/\dd t=-Ri^2\leq0$ : l’énergie décroît, ce qui interdit toute oscillation entretenue. Pour $Q\gg1$ elle décroît en $\e^{-t/\tau_{\mathcal{E}}}$ avec $\tau_{\mathcal{E}}=\tau/2=Q/\omega_0$, et $Q\approx2\pi\times$ (énergie stockée)/(énergie dissipée par pseudo-période).

4Régime sinusoïdal forcé : notation complexe et impédances

Définition. Le régime sinusoïdal forcé (RSF) est le régime permanent atteint par un circuit linéaire stable excité par une source sinusoïdale, une fois le transitoire éteint (au bout de $5\tau$). Toutes les grandeurs y sont sinusoïdales de même pulsation $\omega$ que l’excitation : seules l’amplitude et la phase changent.

Notation. À $u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi_u)$ on associe l’amplitude complexe $\underline{u}=U_m\,\e^{j\varphi_u}$, de sorte que $u(t)=\Ree\bigl(\underline{u}\,\e^{j\omega t}\bigr)$, avec $j^2=-1$. Alors

Dériver, c’est multiplier par $j\omega$ : l’équation différentielle devient une équation algébrique.

Définition. L’impédance complexe d’un dipôle linéaire passif en RSF est $\underline{Z}=\dfrac{\underline u}{\underline i}$ (convention récepteur), en ${\mathrm{\Omega}}$ ; son inverse est l’admittance $\underline Y=1/\underline Z$. On établit, à partir des relations constitutives :

$\abs{\underline Z}$ est le rapport des amplitudes, $\arg\underline Z$ l’avance de phase de $u$ sur $i$ : $0$ pour $R$, $+\pi/2$ pour $L$ (la tension est en avance), $-\pi/2$ pour $C$ (en retard).

Propriété — associations. Les lois de Kirchhoff, les ponts diviseurs et les modèles de Thévenin s’appliquent aux amplitudes complexes, avec les impédances à la place des résistances :

Remarque — domaine de validité. Les impédances n’ont de sens qu’en RSF établi : elles ne décrivent ni le régime transitoire, ni une excitation non sinusoïdale (il faut alors la décomposer en série de Fourier, chapitre 6). Et l’on n’additionne jamais des amplitudes réelles : on additionne les complexes.

Méthode — résoudre un problème de RSF. (i) remplacer chaque dipôle par son impédance ; (ii) traiter le circuit comme un circuit résistif en complexes (diviseur de tension, loi des mailles) ; (iii) prendre le module pour l’amplitude, l’argument pour la phase, puis revenir au réel. Pour un quotient, calculer séparément $\abs{\text{numérateur}}$ et $\abs{\text{dénominateur}}$ : ne jamais développer le module d’une somme.

5Résonances du RLC série

Propriété — intensité. Avec $e(t)=E_m\cos\omega t$, $\underline i=\dfrac{\underline e}{R+jL\omega+\frac{1}{jC\omega}}$, donc en posant $x=\dfrac{\omega}{\omega_0}$ :

Il y a toujours résonance en intensité, quelle que soit la valeur de $Q$, et elle a lieu exactement en $\omega=\omega_0$ : le circuit est alors purement résistif ($\underline Z=R$), $u_L$ et $u_C$ se compensent, $i$ est en phase avec $e$ et $I_{m,\max}=E_m/R$.

Définition. La bande passante (à $-3\,{\mathrm{dB}}$) est l’ensemble des pulsations telles que $I_m\geq I_{m,\max}/\sqrt2$, c’est-à-dire telles que la puissance moyenne dissipée soit au moins la moitié du maximum. Elle est encadrée par les pulsations de coupure $\omega_1<\omega_2$, et

Ce résultat est exact. Plus $Q$ est grand, plus la résonance est aiguë (sélective) : $Q$ mesure l’acuité de la résonance. C’est la deuxième méthode de mesure de $Q$, après le décrément logarithmique.

Propriété — charge ou tension du condensateur. $\underline{u_C}=\dfrac{\underline e}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}$, donc

Il y a résonance si et seulement si $Q>\dfrac{1}{\sqrt2}$, et alors, en annulant la dérivée du dénominateur :

Pour $Q\gg1$, $\omega_r\to\omega_0$ et $U_{Cm,\max}\approx Q\,E_m$ : c’est le phénomène de surtension, qui peut détruire un composant ($Q=50$, $E_m={5\,\mathrm{V}}$ $\Rightarrow$ ${250\,\mathrm{V}}$). Enfin $U_{Cm}\to E_m$ en basse fréquence et $U_{Cm}\to0$ en haute fréquence.

Remarque. Par l’analogie, la résonance en vitesse d’un oscillateur mécanique a toujours lieu en $\omega_0$ (comme l’intensité) et la résonance en élongation seulement si $Q>1/\sqrt2$, en $\omega_r=\omega_0\sqrt{1-1/(2Q^2)}$ (comme la charge). Les trois pulsations se rangent dans l’ordre $\omega_r<\omega<\omega_0$.

6Puissance en régime sinusoïdal forcé

Définition. La valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale d’amplitude $U_m$ est $U=U_m/\sqrt2$ : c’est la valeur constante qui dissiperait la même puissance dans une résistance.

Théorème — puissance moyenne. Pour $u=U_m\cos(\omega t)$ et $i=I_m\cos(\omega t-\varphi)$, où $\varphi=\arg\underline Z$ est l’avance de phase de $u$ sur $i$, la puissance instantanée $p=ui$ a pour moyenne sur une période $\boxed{\ \mathcal{P}=\tfrac12\,U_mI_m\cos\varphi=U\,I\cos\varphi\ }$ où $\cos\varphi$ est le facteur de puissance. Démonstration : $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$, et la moyenne du terme en $2\omega t$ est nulle.

Propriété — conséquences. $\mathcal{P}=\frac12RI_m^2=RI^2$ : seules les résistances consomment, la puissance moyenne reçue par $L$ et $C$ étant nulle (elles stockent puis restituent). Pour le RLC série,

La bande passante est donc exactement l’intervalle où $\mathcal{P}\geq\mathcal{P}_{\max}/2$ (d’où le nom de pulsations de demi-puissance). Un $\cos\varphi$ faible signifie un courant élevé pour une puissance utile donnée, donc des pertes en ligne : on le relève en plaçant un condensateur en parallèle sur une installation inductive.

7Capacité numérique : résoudre numériquement l’équation du second ordre

Méthode — système du premier ordre. On ne discrétise jamais $\ddot x$ directement : on pose $v=\dot x$ et on écrit le système

auquel on applique le schéma d’Euler explicite, composante par composante. Le tracé de $v$ en fonction de $x$ donne le portrait de phase.

import numpy as np
w0, Q = 1.0e4, 10.0           # pulsation propre (rad/s) et facteur de qualite
h = 2 * np.pi / w0 / 500      # pas : 500 points par periode propre
t = np.arange(0.0, 20e-3, h)
x = np.zeros(len(t)); v = np.zeros(len(t))
x[0], v[0] = 1.0, 0.0         # conditions initiales : x(0) = 1, xpoint(0) = 0

def f(u):                     # excitation : 0.0 en regime libre
    return 0.0
for k in range(len(t) - 1):
    x[k + 1] = x[k] + h * v[k]
    v[k + 1] = v[k] + h * (f(t[k]) - w0 / Q * v[k] - w0**2 * x[k])

Remarque. Le pas doit être petit devant la plus petite échelle de temps, ici $T_0=2\pi/\omega_0$ : prendre $h\leq T_0/100$. Avec un pas trop grand, le schéma d’Euler explicite augmente artificiellement l’énergie et la spirale s’ouvre au lieu de converger.

8Démonstrations exigibles et savoir-faire