Induction

1Flux magnétique et orientation

Définition. Soit un contour fermé orienté $\mathcal{C}$ et une surface $\Sigma$ s’appuyant sur $\mathcal{C}$. Le choix d’un sens de parcours de $\mathcal{C}$ fixe, par la règle de la main droite, le sens du vecteur normal unitaire $\vv{n}$ à $\Sigma$. Le flux magnétique de $\vv{B}$ à travers $\Sigma$ est

Pour un champ uniforme et une surface plane d’aire $S$, il se réduit à

Pour un bobinage de $N$ spires identiques en série, le flux à travers le circuit est $N$ fois celui d’une spire : $\Phi=N\,B\,S\cos\alpha$.

Notation. $\Phi$ est une grandeur algébrique : son signe dépend du choix d’orientation, qui est arbitraire mais doit être fixé une fois pour toutes et porté sur le schéma. Le même choix oriente l’intensité $i$ dans le circuit et la f.é.m. induite.

Propriété — ordres de grandeur. Une spire de $S={100\,\mathrm{cm}^{2}}$ : $\Phi\approx{0{,}5\,\mathrm{\text{µ}Wb}}$ dans le champ terrestre (${5\times10^{-5}\,\mathrm{T}}$), ${1\,\mathrm{mWb}}$ dans un électroaimant de TP (${0{,}1\,\mathrm{T}}$). Une bobine de $1000$ spires de ${20\,\mathrm{cm}^{2}}$ dans ${0{,}1\,\mathrm{T}}$ : $\Phi\approx{0{,}2\,\mathrm{Wb}}$ — c’est le nombre de spires qui fait les flux exploitables.

2Le phénomène d’induction et la loi de Lenz

Définition. Il y a induction électromagnétique dès que le flux magnétique à travers un circuit varie. Deux causes, et deux seulement, sont au programme :

• circuit fixe dans un champ magnétique dépendant du temps (cas de Neumann) : $B$ varie, la géométrie ne change pas ;
• circuit mobile ou déformable dans un champ magnétique stationnaire (cas de Lorentz) : $B$ ne dépend pas du temps, c’est la géométrie qui change.

Si le circuit est fermé et conducteur, il apparaît un courant induit ; s’il est ouvert, seule la force électromotrice induite est présente.

Théorème — loi de modération de Lenz. Les effets de l’induction (courant induit, force ou couple de Laplace induit, f.é.m. induite) s’opposent aux causes qui leur donnent naissance.

C’est un énoncé qualitatif : il permet de prévoir un sens ou de contrôler un signe, jamais de calculer une valeur. Trois lectures utiles :

• le courant induit crée un champ propre qui tend à maintenir le flux à sa valeur antérieure (il s’oppose à sa variation, pas à son existence) ;
• les forces de Laplace qui en résultent tendent à s’opposer au mouvement relatif qui a créé l’induction : d’où le freinage par induction ;
• l’énergie apparue dans le circuit est nécessairement prélevée ailleurs (opérateur, source) : la loi de Lenz est une conséquence de la conservation de l’énergie.

3Loi de Faraday et schéma électrique équivalent

Théorème — loi de Faraday. Un circuit filiforme fermé, orienté, à travers lequel le flux magnétique vaut $\Phi(t)$, est le siège d’une force électromotrice induite

algébrisée dans le sens d’orientation du circuit. Le circuit se comporte alors comme s’il contenait une source idéale de tension de f.é.m. $e$, orientée en convention générateur dans le sens positif choisi (figure 1).

Méthode — les quatre étapes, toujours les mêmes. (i) orienter le circuit, en déduire $\vv{n}$ et le sens positif de $i$ ; (ii) calculer $\Phi(t)$, algébriquement ; (iii) dériver : $e=-\dd\Phi/\dd t$ ; (iv) écrire la loi des mailles sur le schéma équivalent. Contrôler enfin le signe obtenu par la loi de Lenz : un signe incompatible avec la modération signale une erreur.

Remarque. Si le circuit est ouvert, $i=0$ mais $e$ existe : la tension lue entre les bornes vaut $\pm e$ — c’est le principe de toute mesure de f.é.m. induite à l’oscilloscope. Trois confusions à éliminer : un flux constant mais non nul ne crée aucune f.é.m. ; la f.é.m. ne dépend pas de $B$ mais de $\dd\Phi/\dd t$ ; toute étude du champ électromoteur est hors programme.

4Circuit fixe dans un champ variable : auto-induction

Définition. On distingue, pour un circuit $(1)$, le flux propre $\Phi_p$ — créé par le courant $i_1$ du circuit lui-même — et les flux extérieurs $\Phi_{\text{ext}}$ — créés par les aimants et les autres circuits. Le flux total est leur somme.

Théorème — inductance propre. Le champ créé par un circuit étant proportionnel à son intensité, le flux propre lui est proportionnel :

avec $L>0$ l’inductance propre (ou self-inductance), en henrys (${\mathrm{H}}={\mathrm{Wb}{\cdot}\mathrm{A}^{-1}}$). $L$ ne dépend que de la géométrie du circuit (et du matériau magnétique éventuel), jamais de $i$. Le signe de $L$ est positif car $\Phi_p$ et $i$ sont orientés par le même choix.

Propriété — f.é.m. d’auto-induction et tension aux bornes. $e_p=-L\,\dfrac{\dd i}{\dd t}$, donc en convention récepteur

On retrouve la relation constitutive de la bobine du chapitre 3 : la bobine est l’auto-induction, et c’est la loi de Lenz qui explique son comportement ($u_L$ s’oppose à la variation de $i$).

Théorème — inductance d’une bobine longue. Pour un solénoïde de longueur $\ell$, de section $S$, comportant $N$ spires jointives ($\ell\gg\sqrt{S}$), le champ intérieur est uniforme et vaut $B=\mu_0\,n\,i$ avec $n=N/\ell$ (expression fournie). Le flux propre à travers les $N$ spires est $\Phi_p=N\,B\,S$, donc

Ordre de grandeur : $N=1000$, $\ell={50\,\mathrm{cm}}$, $S={20\,\mathrm{cm}^{2}}$ donnent $L={5{,}0\,\mathrm{mH}}$. Une bobine de travaux pratiques a une inductance de ${1\,}$ à ${100\,\mathrm{mH}}$, et une résistance interne $r$ de quelques ohms à quelques dizaines d’ohms, jamais négligeable a priori.

Méthode — mesurer $L$. (i) Régime transitoire : réponse du circuit $(R,L)$ à un échelon, $\tau=L/(R+r)$ mesuré à $63\,\%$ ou par régression sur $\ln$. (ii) RSF : $\abs{\underline Z}^2=r^2+L^2\omega^2$, pente de $\abs{\underline Z}^2$ en fonction de $\omega^2$. (iii) Résonance avec un condensateur connu : $\omega_0=1/\sqrt{LC}$.

Théorème — énergie magnétique. En multipliant $u_L=L\,\dd i/\dd t$ par $i$ :

La puissance reçue par la bobine n’est ni dissipée ni rayonnée : elle est stockée sous forme magnétique, et intégralement restituée lorsque $i$ décroît. Une bobine idéale a un bilan nul sur un cycle.

5Deux circuits couplés : inductance mutuelle

Définition. Deux circuits $(1)$ et $(2)$, orientés, étant donnés, le flux envoyé par $(1)$ à travers $(2)$ est proportionnel à $i_1$, et réciproquement. On admet que le coefficient est le même dans les deux sens :

$M$ est l’inductance mutuelle, en henrys. Contrairement à $L$, $M$ est algébrique : son signe dépend des deux orientations choisies (et du sens des enroulements).

Théorème — équations couplées. Avec les tensions en convention récepteur aux bornes de chaque enroulement, de résistances $R_1$ et $R_2$ :

En régime sinusoïdal forcé, on passe aux amplitudes complexes en remplaçant $\dd/\dd t$ par $j\omega$ : le couplage se traduit par les deux termes $j\omega M\,\underline{i_2}$ et $j\omega M\,\underline{i_1}$.

Théorème — énergie magnétique de deux circuits couplés.

et $u_1i_1+u_2i_2=R_1i_1^2+R_2i_2^2+\dfrac{\dd\mathcal{E}_m}{\dd t}$ : le bilan se referme, le terme de couplage appartenant à l’énergie stockée, non aux pertes.

Propriété — coefficient de couplage. L’énergie magnétique étant positive ou nulle pour tout couple $(i_1,i_2)$, le trinôme ci-dessus est de discriminant négatif ou nul, ce qui impose

$k=1$ définit l’influence totale : tout le flux créé par l’un traverse l’autre (pas de fuites).

Théorème — deux bobines de même axe en influence totale. Deux solénoïdes de même longueur $\ell$ et même section $S$, bobinés l’un sur l’autre, avec $N_1$ et $N_2$ spires. Le champ créé par $(1)$ est $B_1=\mu_0\dfrac{N_1}{\ell}i_1$, uniforme et intégralement canalisé, donc $\Phi_{1\rightarrow2}=N_2B_1S$ :

6Le transformateur

Propriété — rapport de transformation. Deux enroulements en influence totale, de résistances négligeables, le secondaire fermé sur une résistance $R$ ($u_2=-R\,i_2$ en convention récepteur au secondaire). En RSF, l’élimination de $\underline{i_2}$ donne

Le rapport des tensions vaut exactement $m=N_2/N_1$ dès que le couplage est total, quelle que soit la charge. Si de plus $L_2\omega\gg R$ (transformateur idéal) :

Le transformateur idéal ne stocke ni ne dissipe d’énergie : il transporte la puissance en modifiant le couple (tension, courant), et ramène une charge $R$ en une charge $R/m^2$ (adaptation d’impédance).

7Circuit mobile dans un champ stationnaire : les rails de Laplace

Notation. Deux rails parallèles horizontaux, distants de $\ell$, de résistance négligeable, fermés sur une résistance $R$ (et éventuellement une source $E$) ; une barre conductrice, de masse $m$, glisse sans frottement en restant perpendiculaire aux rails, à l’abscisse $x(t)$. Le champ $\vv{B}=B\,\vv{e_z}$ est uniforme, stationnaire, orthogonal au plan des rails. On oriente le circuit de sorte que $\vv{n}=\vv{e_z}$ : $i>0$ circule alors dans la barre selon $+\vv{e_y}$.

Théorème — les deux équations couplées. Avec ces conventions :

d’où le système électromécanique (bobine d’inductance $L$ du circuit, force extérieure $F_{\text{op}}$ sur la barre) :

Le couplage est bilatéral : la vitesse intervient dans l’équation électrique par la f.é.m. induite, l’intensité dans l’équation mécanique par la force de Laplace. Oublier l’un des deux termes est l’erreur majeure du chapitre.

Théorème — conversion électromécanique parfaite. La puissance des forces de Laplace sur la barre et la puissance de la f.é.m. induite sont opposées :

La conversion est parfaite : rien n’est perdu dans le couplage. Toutes les pertes sont ailleurs — effet Joule dans $R$, frottements dans la partie mécanique.

Méthode — bilan énergétique complet. Multiplier l’équation électrique par $i$, l’équation mécanique par $\dot x$, puis additionner : les deux termes de couplage se compensent et il reste

Puissances fournies $=$ puissance dissipée $+$ taux de stockage, le stockage étant magnétique et cinétique.

Propriété — les deux fonctionnements. Générateur ($E=0$, un opérateur tire la barre) : $i=-B\ell\dot x/R$ ($L$ négligée), la force de Laplace $-\dfrac{B^2\ell^2}{R}\dot x$ s’oppose au mouvement (Lenz) et l’opérateur fournit $\dfrac{B^2\ell^2\dot x^2}{R}$, intégralement dissipé — c’est l’alternateur linéaire, c’est aussi le freinage par induction. Moteur ($E\neq0$, pas d’opérateur) : la barre accélère jusqu’à la vitesse limite $\dot x_\infty=E/(B\ell)$, pour laquelle $e=-E$, donc $i=0$ et la force s’annule (rendement $100\,\%$, mais puissance utile nulle). Avec une force résistante $-F_r$ : $i_\infty=F_r/(B\ell)$ et $\dot x_\infty=\bigl(E-RF_r/(B\ell)\bigr)/(B\ell)$.

Propriété — freinage par induction. Sans source ni opérateur, en négligeant $L$ (c’est-à-dire pour $L/R\ll mR/(B\ell)^2$), l’équation mécanique devient

Le freinage est exponentiel : il ne s’arrête jamais tout à fait, mais la distance parcourue est finie, et l’énergie cinétique initiale est intégralement dissipée dans $R$.

8L’alternateur : cadre rectangulaire en rotation

Théorème — f.é.m. d’un cadre tournant. Un cadre rectangulaire plan de $N$ spires, d’aire $S$, tourne à la vitesse angulaire constante $\omega$ autour d’un axe fixe contenu dans son plan et orthogonal au champ uniforme et stationnaire $\vv{B}$. L’angle $\alpha=(\vv{n},\vv{B})$ vaut $\omega t+\alpha_0$, donc

C’est une f.é.m. sinusoïdale de pulsation $\omega$ et d’amplitude $E_m=NBS\omega$ : la rotation uniforme produit une tension alternative. Valeur efficace $E_m/\sqrt2$ ; fréquence du réseau $f={50\,\mathrm{Hz}}$, soit $\omega={314\,\mathrm{rad}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$.

Propriété — couple et bilan. Fermé sur une résistance totale $R$ (en négligeant l’inductance), le cadre débite $i=e/R$ et subit un couple de Laplace $\Gamma_L$ tel que $\Gamma_L\,\omega=-e\,i$ (conversion parfaite), soit

toujours résistant. L’opérateur doit fournir le couple opposé, de valeur moyenne $\dfrac{(NBS)^2\omega}{2R}$, et la puissance moyenne convertie vaut $\dfrac{E_m^2}{2R}$. Sans charge ($R\to\infty$), aucun couple n’est nécessaire : c’est la puissance électrique prélevée qui durcit le pédalage.

9Courants de Foucault

Définition. Dans un conducteur massif (et non filiforme) soumis à un flux variable, les courants induits ne sont canalisés par aucun fil : ils circulent en boucles fermées dans le volume du métal. Ce sont les courants de Foucault (eddy currents).

Propriété — deux conséquences, opposées en pratique. Ils dissipent de l’énergie par effet Joule et, par la loi de Lenz, créent des forces qui s’opposent au mouvement ou à la variation de flux. Recherchés : plaque à induction (${20\,}$ à ${30\,\mathrm{kHz}}$ ; le fond de la casserole est le conducteur chauffé), frein sur rail des trains et ralentisseur des poids lourds (aucune usure, mais couple nul à l’arrêt), amortissement des balances, détecteur de métaux. Subis : pertes « fer » des transformateurs et des machines tournantes, réduites en feuilletant le matériau (tôles isolées) ou par des ferrites — on augmente la résistance des trajets sans gêner le flux.

10Capacité numérique : résoudre le système électromécanique

Méthode — schéma d’Euler explicite sur deux grandeurs couplées. On applique le schéma d’Euler simultanément aux deux inconnues $i$ et $v=\dot x$ :

Le pas doit être petit devant les deux temps caractéristiques, $\tau_e=L/R$ et $\tau_m=mR/(B\ell)^2$.

import numpy as np
B, l, R, L, m, E = 0.50, 0.20, 0.50, 1.0e-3, 20e-3, 1.0
h = 1.0e-5                   # tau_e = L/R = 2,0 ms ; tau_m = m*R/(B*l)**2 = 1,0 s
t = np.arange(0.0, 5.0, h)   # 5 tau_m : le regime permanent est atteint
i = np.zeros(len(t)); v = np.zeros(len(t))
for k in range(len(t) - 1):
    i[k + 1] = i[k] + h * (E - R * i[k] - B * l * v[k]) / L
    v[k + 1] = v[k] + h * (B * l * i[k]) / m
print(v[-1], E / (B * l))    # vitesse limite E/(B*l) = 10 m/s

11Démonstrations à savoir refaire

• Flux d’un champ uniforme à travers un cadre plan orienté ; effet d’une rotation, d’une translation, de $N$ spires.
• Inductance d’une bobine longue : $\Phi_p=N\,(\mu_0 N i/\ell)\,S$ donc $L=\mu_0N^2S/\ell$.
• Énergie magnétique $\frac12Li^2$ : multiplier $u_L=L\,\dd i/\dd t$ par $i$ et reconnaître une dérivée.
• Inégalité $\abs{M}\leq\sqrt{L_1L_2}$ : positivité du trinôme $\frac12L_1i_1^2+Mi_1i_2+\frac12L_2i_2^2$.
• Mutuelle de deux solénoïdes en influence totale et rapport de transformation $M/L_1=N_2/N_1$.
• Les deux équations des rails de Laplace, avec les conventions d’orientation annoncées.
• Conversion parfaite $\mathcal{P}_{\text{Laplace}}+ei=0$ et bilan énergétique obtenu en additionnant les deux équations multipliées.
• Vitesse limite d’un moteur à rails ; freinage exponentiel de constante $\tau_m=mR/(B\ell)^2$.
• f.é.m. d’un cadre en rotation uniforme et couple résistant associé.

12Savoir-faire du chapitre