Filtrage linéaire

1Signaux périodiques : valeur moyenne, valeur efficace, spectre

Définition. Un signal $x$ est périodique de période $T$ si $x(t+T)=x(t)$ pour tout $t$. On note $f=1/T$ sa fréquence et $\omega=2\pi f$ sa pulsation. Sa valeur moyenne et sa valeur efficace sont

La valeur efficace est la valeur de la tension continue qui dissiperait la même puissance moyenne dans une résistance : $\mathcal{P}=\left\langle u^2\right\rangle/R=U_{\text{eff}}^{\,2}/R$. Elle est toujours positive, et nulle seulement si $x$ est identiquement nul.

Théorème — valeur efficace d’une sinusoïde. Pour $x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi)$, la linéarisation $\cos^2\theta=\frac12\bigl(1+\cos2\theta\bigr)$ donne $\left\langle x^2\right\rangle=\frac12X_m^2$ (la moyenne du terme en $2\omega t$ est nulle sur une période), d’où

Ce facteur $\sqrt2$ ne vaut que pour une sinusoïde : pour un créneau symétrique d’amplitude $E$, $x^2=E^2$ à chaque instant, donc $X_{\text{eff}}=E$.

Théorème — décomposition en série de Fourier — admise, et toujours fournie. Tout signal périodique de pulsation $\omega$ physiquement réalisable se décompose en une somme de fonctions sinusoïdales dont les pulsations sont les multiples entiers de $\omega$ :

Le terme $n=1$ est le fondamental, les termes $n\geq2$ les harmoniques de rang $n$. Aucun calcul de coefficient n’est exigible : la décomposition est donnée dans l’énoncé.

Définition. Le spectre en amplitude est le diagramme en bâtons des $A_n$ en fonction de la fréquence $nf$ ; le spectre en phase celui des $\varphi_n$. Un signal périodique a un spectre discret : il ne contient que les fréquences $f$, $2f$, $3f$, …

Théorème — formule de Parseval, admise. Le carré de la valeur efficace est la somme des carrés des valeurs efficaces de la composante continue et de tous les harmoniques :

Ce sont les carrés qui s’ajoutent, jamais les amplitudes. C’est la traduction du fait que la puissance moyenne se répartit entre les harmoniques sans terme croisé, les produits $\cos(n\omega t+\varphi_n)\cos(m\omega t+\varphi_m)$ étant de moyenne nulle pour $n\neq m$.

Notation. Les décompositions ci-dessus correspondent au triangle valant $+E$ en $t=0$ et $-E$ en $t=T/2$, et à la dent de scie $x(t)=E\left(1-\dfrac{2t}{T}\right)$ sur $\intoo{0}{T}$. Un décalage de l’origine des dates ne change que les phases, jamais les amplitudes.

Remarque. Plus un signal présente de discontinuités ou d’angles, plus son spectre est riche : le créneau décroît en $1/n$, le triangle — continu — en $1/n^2$. Un signal « lisse » est un signal pauvre en harmoniques élevés.

2Fonction de transfert harmonique

Définition. Soit un quadripôle linéaire, en régime sinusoïdal forcé de pulsation $\omega$, d’entrée $e(t)$ et de sortie $s(t)$. Sa fonction de transfert harmonique est le rapport des amplitudes complexes

$G$ est le gain (rapport des amplitudes, donc aussi des valeurs efficaces) et $\varphi$ le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée. Tous deux dépendent de $\omega$, jamais de l’amplitude d’entrée : c’est la linéarité.

Définition. Le gain en décibels est

($\log$ désigne le logarithme décimal). Ainsi $G=1\Leftrightarrow G_{\text{dB}}=0$ ; $G=\sqrt2\Leftrightarrow+3\,{\mathrm{dB}}$ ; $G=1/\sqrt2\Leftrightarrow-3\,{\mathrm{dB}}$ ; $G=10\Leftrightarrow+20\,{\mathrm{dB}}$ ; $G=1/2\Leftrightarrow-6\,{\mathrm{dB}}$. Un gain négatif en dB signifie une atténuation, ce qui est la règle pour un filtre passif.

Définition. Une décade est un intervalle de fréquences dans le rapport $10$, une octave un intervalle dans le rapport $2$. Une pente de $-20\,{\mathrm{dB}}$ par décade équivaut à $-6\,{\mathrm{dB}}$ par octave (car $20\log2=6{,}02$).

Propriété. La bande passante à $-3\,{\mathrm{dB}}$ d’un filtre est l’ensemble des pulsations pour lesquelles $G\geq G_{\max}/\sqrt2$, c’est-à-dire $G_{\text{dB}}\geq G_{\text{dB},\max}-3$. La puissance transmise y est au moins la moitié de la puissance maximale : on parle aussi de pulsations de demi-puissance. Les bornes sont les pulsations de coupure.

3Diagramme de Bode

Définition. Le diagramme de Bode d’un filtre est la donnée de deux courbes, tracées avec l’échelle logarithmique en abscisse ($\log\omega$ ou $\log f$) :

• le diagramme d’amplitude : $G_{\text{dB}}$ en fonction de $\log\omega$ ;
• le diagramme de phase : $\varphi$ en fonction de $\log\omega$.

L’intérêt des deux échelles logarithmiques est double : on couvre plusieurs décades sur une même figure, et les comportements en loi de puissance deviennent des droites. Si $\abs{\underline H}\propto\omega^{\alpha}$ alors $G_{\text{dB}}=20\alpha\log\omega+\text{cte}$ : c’est une droite de pente $20\alpha$ dB par décade.

Méthode — lire ou tracer les asymptotes. (i) chercher l’équivalent de $\underline H$ quand $\omega\to0$ puis quand $\omega\to+\infty$ ; (ii) chaque équivalent en $K(j\omega)^{\alpha}$ donne une asymptote de pente $20\alpha$ dB/décade et une phase constante $\alpha\times90^\circ$ (à $\arg K$ près) ; (iii) les asymptotes se coupent en $\omega=\omega_c$ ; (iv) placer l’écart réel à la cassure : $-3\,{\mathrm{dB}}$ pour un ordre 1.

4Les filtres du premier ordre

Propriété — passe-bas d’ordre 1. Le circuit RC de la figure 1, en sortie ouverte, est un pont diviseur de tension en complexes :

avec ici $H_0=1$. En posant $x=\omega/\omega_c$ :

Propriété — passe-haut d’ordre 1. Le circuit CR de la figure 4 donne, par le même pont diviseur,

L’asymptote basse fréquence a pour pente $+20\,{\mathrm{dB}}$/décade et la phase y vaut $+90^\circ$ ; l’asymptote haute fréquence est horizontale à $20\log H_0$, phase nulle. En $\omega=\omega_c$ : $-3\,{\mathrm{dB}}$ et $\varphi=+45^\circ$.

5Comportements moyenneur, intégrateur, dérivateur

Théorème — intégrateur. Pour un passe-bas d’ordre 1 et $\omega\gg\omega_c$, $\underline H\simeq\dfrac{H_0\,\omega_c}{j\omega}$, donc $\underline s=\dfrac{H_0\omega_c}{j\omega}\,\underline e$. Comme la division par $j\omega$ est l’intégration,

La condition porte sur toutes les fréquences présentes, donc sur le fondamental : un créneau de fréquence $f\gg f_c$ est intégré, et ressort en triangle.

Théorème — dérivateur. Pour un passe-haut d’ordre 1 et $\omega\ll\omega_c$, $\underline H\simeq\dfrac{H_0\,j\omega}{\omega_c}$, donc

Un dérivateur amplifie les hautes fréquences : il est très sensible au bruit, contrairement à l’intégrateur qui le lisse.

Théorème — moyenneur. Un passe-bas dont la fréquence de coupure vérifie $f_{\text{fond}}\gg f_c$ ne laisse passer, d’un signal périodique, que sa composante continue : $s\simeq H_0\left\langle e\right\rangle$. Le même filtre est donc moyenneur pour la composante continue et intégrateur pour la partie variable.

6Réponse à un signal périodique : la linéarité

Méthode — filtrer un signal périodique. Soit $e(t)=a_0+\sum_n A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)$ (décomposition fournie).

1. Calculer $\underline H(jn\omega)$ pour chaque rang $n$ utile, c’est-à-dire $G_n=\abs{\underline H(jn\omega)}$ et $\psi_n=\arg\underline H(jn\omega)$. Pour $n=0$, $G_0=\abs{\underline H(0)}$.

2. Écrire la sortie harmonique par harmonique :

   $$s(t)=\underline H(0)\,a_0+\sum_{n\geq1}G_n\,A_n\cos\bigl(n\omega t+\varphi_n+\psi_n\bigr).$$
3. Conclure : $s$ est périodique de même période que $e$ ; seules les amplitudes et les phases relatives des harmoniques ont changé.

Théorème — un filtre linéaire ne crée aucune fréquence. Le spectre de $s$ est inclus dans celui de $e$ : un filtre linéaire ne peut qu’atténuer (ou amplifier) et déphaser des composantes déjà présentes. L’apparition dans le spectre de sortie d’une fréquence absente de l’entrée prouve que le système n’est pas linéaire — c’est le test expérimental de la non-linéarité (distorsion d’un amplificateur saturé, diode, frottement solide).

Propriété — valeur efficace de la sortie. Par Parseval appliquée à $s$ :

Un filtre réduit en général la valeur efficace : c’est ainsi que l’on chiffre l’efficacité d’un moyenneur ou d’un anti-parasite.

7Les filtres du second ordre (fonctions de transfert données)

Notation. On pose $x=\dfrac{\omega}{\omega_0}$, où $\omega_0$ est la pulsation propre et $Q$ le facteur de qualité, avec les notations du chapitre 5.

Propriété — réalisations RLC série. Avec $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\dfrac1R\sqrt{\dfrac LC}$ (chapitre 5), la tension prélevée aux bornes de $C$ donne un passe-bas ($H_0=1$), aux bornes de $R$ un passe-bande ($H_0=1$), aux bornes de $L$ un passe-haut ($H_0=1$). La somme des trois fonctions de transfert vaut $1$ : c’est la loi des mailles.

Propriété — bande passante du passe-bande d’ordre 2. Les pulsations de coupure vérifient $Q\abs{x-1/x}=1$, d’où exactement $\Delta\omega=\omega_0/Q$ et $\omega_1\omega_2=\omega_0^2$ : plus $Q$ est grand, plus le filtre est sélectif. La bande passante relative vaut $\Delta f/f_0=1/Q$.

8Mise en cascade et impédances

Propriété — cascade idéale. Si l’on peut négliger le courant absorbé par le second étage, les fonctions de transfert se multiplient et les gains en décibels s’additionnent :

Deux passe-bas d’ordre 1 identiques mis en cascade idéale donnent un ordre 2 de pente $-40\,{\mathrm{dB}}$/décade.

9Filtrage par un dispositif mécanique

Propriété — la même physique. Par l’analogie électromécanique (chapitre 5), tout oscillateur mécanique amorti est un filtre du second ordre. Soit une masse $m$ reliée par un ressort de raideur $k$ et un amortisseur de coefficient $\lambda$ à un bâti dont la position $u(t)$ est imposée ; on note $x$ la position absolue de la masse et $z=x-u$ son déplacement relatif au bâti. L’équation du mouvement, fournie, s’écrit $m\ddot z+\lambda\dot z+kz=-m\ddot u$, d’où en RSF, avec $\omega_0=\sqrt{k/m}$, $Q=\sqrt{km}/\lambda$ et $x=\omega/\omega_0$ :

• Sismomètre : on travaille à $\omega\gg\omega_0$ (masse lourde, ressort mou), où $\underline z/\underline u\to-1$, soit $z\simeq-u$ : la masse reste immobile dans le référentiel terrestre et le boîtier bouge autour d’elle. On mesure ainsi le déplacement du sol, quelle que soit la fréquence, pourvu qu’elle dépasse $f_0$.
• Accéléromètre : on travaille au contraire à $\omega\ll\omega_0$ (ressort raide), où $\underline z/\underline u\to x^2$, c’est-à-dire $z\simeq-\ddot u/\omega_0^{\,2}$ : le déplacement relatif est proportionnel à l’accélération du bâti, avec une bande passante d’autant plus large que $\omega_0$ est grande — d’où la miniaturisation des accéléromètres.
• Suspension d’un véhicule : c’est le déplacement absolu $x$ de la caisse qui importe ; $\underline x/\underline u$ est un passe-bas, de pente seulement $-20\,{\mathrm{dB}}$/décade à cause de l’amortisseur. On vérifie que $\abs{\underline x/\underline u}=1$ pour $x=\sqrt2$ et que l’isolation n’existe que pour $\omega>\omega_0\sqrt2$ : on choisit donc $\omega_0$ faible (ressorts souples), et $Q$ voisin de $1/\sqrt2$ pour éviter une résonance sans trop dégrader le filtrage.

10Capacité numérique : filtrer un signal dont le spectre est fourni

Méthode — principe. On code la décomposition fournie (tableau des rangs $n$, des amplitudes $A_n$ et des phases $\varphi_n$), on multiplie chaque amplitude par $\abs{\underline H(jn\omega)}$ et on ajoute $\arg\underline H(jn\omega)$ à la phase, puis on resomme. Aucune transformée de Fourier n’est nécessaire.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f0, fc = 500.0, 200.0             # fondamental et frequence de coupure (Hz)
n = np.arange(1, 40, 2)           # rangs impairs : spectre fourni d'un creneau
A = 4.0 / (np.pi * n)             # amplitudes fournies (creneau d'amplitude 1)
H = 1.0 / (1.0 + 1j * n * f0 / fc)   # passe-bas d'ordre 1, evalue en n*f0

t = np.linspace(0.0, 3.0 / f0, 2000)
e = np.zeros_like(t)
s = np.zeros_like(t)
for k in range(len(n)):
    e += A[k] * np.sin(2 * np.pi * n[k] * f0 * t)
    s += abs(H[k]) * A[k] * np.sin(2 * np.pi * n[k] * f0 * t + np.angle(H[k]))

plt.plot(t, e, t, s)              # le creneau ressort arrondi, presque triangulaire
plt.figure()
plt.stem(n * f0, abs(H) * A)      # spectre de sortie : memes raies, attenuees

Remarque. Pour tracer un diagramme de Bode, on échantillonne la pulsation en échelle logarithmique et l’on trace en semilogx : w = np.logspace(1, 6, 500), H = 1/(1 + 1j*w/wc), puis plt.semilogx(w, 20*np.log10(abs(H))) pour l’amplitude et plt.semilogx(w, np.angle(H, deg=True)) pour la phase. Une échelle linéaire en fréquence écraserait tout le diagramme.

11Démonstrations à savoir refaire

• Valeur efficace d’une sinusoïde : linéarisation de $\cos^2$, moyenne nulle du terme en $2\omega t$, $X_{\text{eff}}=X_m/\sqrt2$.
• Fonction de transfert d’un RC ou d’un CR par le pont diviseur de tension en complexes, en sortie ouverte ; mise sous forme canonique et identification de $\omega_c$.
• Tracé complet du diagramme de Bode d’un ordre 1 : équivalents aux deux limites, pentes, intersection des asymptotes en $\omega_c$, écart de $3\,{\mathrm{dB}}$, allure de la phase.
• Comportements intégrateur et dérivateur : équivalent de $\underline H$ et interprétation de $1/(j\omega)$ et de $j\omega$.
• Bande passante d’un passe-bande d’ordre 2 : résolution de $Q\abs{x-1/x}=1$, $\Delta\omega=\omega_0/Q$.
• Réponse à un signal périodique : décomposition fournie, traitement harmonique par harmonique, resommation.
• Deux cellules RC en cascade : loi des nœuds au point intermédiaire, $\underline H=1/(1-x^2+3jx)$, et conclusion sur l’effet de charge.