Champ magnétique et forces de Laplace

1Sources de champ magnétique, ordres de grandeur

Définition. Le champ magnétique $\vv{B}$ est le champ vectoriel qui, en chaque point de l’espace, traduit l’action magnétique subie par une charge en mouvement ($\vv{F}=q\,\vv{v}\wedge\vv{B}$, chapitre 11) ou par un courant (force de Laplace, ci-dessous). Il s’exprime en teslas (${\mathrm{T}}$), avec ${\mathrm{T}}={\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{A}^{-1}{\cdot}\mathrm{s}^{-2}}$.

Propriété — les deux sources. Un champ magnétique est créé par des courants électriques (circuits, bobines, électroaimants) ou par des aimants permanents — qui sont eux aussi, à l’échelle microscopique, des assemblées de courants élémentaires. Il n’existe pas de « charge magnétique » : on ne peut pas isoler un pôle nord.

Notation. Expressions fournies. Calculer $\vv{B}$ à partir de ses sources est hors programme : les expressions ci-dessous sont toujours données, on se contente de les exploiter. $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ {\mathrm{H}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}}$ est la perméabilité du vide.

2Cartes de champ : lire et tracer

Propriété — lignes de champ. Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points à $\vv{B}$, orientée dans le sens de $\vv{B}$. Les lignes de champ magnétique sont toujours fermées (elles n’ont ni source ni puits : contrairement au champ électrique, elles ne partent pas d’un pôle pour mourir sur l’autre ; elles traversent l’aimant ou la bobine).

Méthode — lire une carte de champ. (i) Là où les lignes sont parallèles et équidistantes, le champ est uniforme ; (ii) là où elles se resserrent, le champ est plus intense ; là où elles s’écartent, il est plus faible ; (iii) les sources sont les régions autour desquelles les lignes s’enroulent, là où le champ est le plus intense ; (iv) deux lignes de champ ne se croisent jamais, sauf en un point où $\vv{B}=\vv{0}$.

Propriété — l’aimant droit et le solénoïde. Les deux cartes sont identiques. On appelle pôle nord la face par laquelle les lignes sortent de l’aimant, pôle sud celle par laquelle elles rentrent : à l’intérieur de l’aimant, les lignes vont du sud vers le nord.

Méthode — produire un champ quasi uniforme. Une bobine longue ($\ell\gg R$), dans sa partie centrale : $B=\mu_0 nI$ à quelques pour cent près ; ou deux bobines de Helmholtz (rayon $R$, même axe, distantes de $R$), où $B=\left(\frac45\right)^{3/2}\mu_0NI/R$ au milieu, uniforme au second ordre près ; ou l’entrefer d’un aimant en U.

3Symétries et invariances des sources

Méthode — exploiter les symétries. On admet les règles suivantes, qui portent sur la distribution de courants :

• Invariances. Si la distribution est invariante par translation selon $Oz$, $\vv{B}$ ne dépend pas de $z$ ; si elle est invariante par rotation autour de $Oz$, $\vv{B}$ ne dépend pas de $\theta$. On cherche les invariances avant tout calcul : elles réduisent le nombre de variables.
• Plan de symétrie $\Pi$ (les courants sont inchangés par la réflexion) : en tout point de $\Pi$, $\vv{B}$ est orthogonal à $\Pi$ — à l’envers du champ électrique : c’est la conséquence du produit vectoriel.
• Plan d’antisymétrie $\Pi^{*}$ (la réflexion renverse les courants) : en tout point de $\Pi^{*}$, $\vv{B}$ est contenu dans $\Pi^{*}$.

Remarque — fil rectiligne infini. Invariance par translation selon $Oz$ et par rotation autour de $Oz$ : $\vv{B}=\vv{B}(r)$. Tout plan contenant le fil est un plan de symétrie, donc $\vv{B}$ lui est orthogonal : $\vv{B}=B(r)\,\vv{u}_\theta$. Les lignes de champ sont des cercles d’axe le fil (figure 1) — et l’on a obtenu cela sans aucun calcul.

4Flux magnétique et conservation du flux

Définition. Le flux de $\vv{B}$ à travers une surface orientée $S$ de normale unitaire $\vv{n}$ est $\Phi=\iint_S\vv{B}\cdot\vv{n}\,\dd S$, soit, pour un champ uniforme et une surface plane d’aire $S$,

Théorème — conservation du flux magnétique. Le flux de $\vv{B}$ à travers toute surface fermée est nul. Il en résulte deux conséquences utilisées en permanence :

• le flux à travers toute surface s’appuyant sur un même contour fermé orienté est le même : on peut choisir la surface la plus commode, en général la surface plane ;
• le flux est constant le long d’un tube de champ : si la section d’un tube passe de $S_1$ à $S_2$, alors $B_1S_1=B_2S_2$. Un resserrement des lignes signifie donc un champ plus intense — c’est la justification de la règle de lecture des cartes.

5Moment magnétique

Définition. Une boucle de courant plane, d’aire $S$, parcourue par le courant $I$ et orientée par la normale $\vv{n}$ déduite du sens du courant par la règle de la main droite, possède le moment magnétique

Pour une bobine plate de $N$ spires, $\vv{m}=N\,I\,\vv{S}$. $\vv{m}$ ne dépend que du courant et de la surface, pas de la forme du contour.

Définition. Par analogie, on associe à un aimant un moment magnétique $\vv{m}$, dirigé du pôle sud vers le pôle nord de l’aimant (donc dans le sens du champ qu’il crée en son centre). Ordres de grandeur : aiguille de boussole ou petit aimant de TP $\approx{0{,}1\,\mathrm{A}{\cdot}\mathrm{m}^{2}}$ ; aimant de haut-parleur $\approx{1\,\mathrm{A}{\cdot}\mathrm{m}^{2}}$ ; bobine plate de TP ($N=500$, $S={20\,\mathrm{cm}^{2}}$, $I={1\,\mathrm{A}}$) : $m={1\,\mathrm{A}{\cdot}\mathrm{m}^{2}}$.

6Actions d’un champ magnétique extérieur uniforme

Définition. La force de Laplace subie par un élément de circuit filiforme $\dd\vv{\ell}$, orienté dans le sens du courant $I$, placé là où règne le champ extérieur $\vv{B}$, est

C’est la traduction macroscopique de la force de Lorentz subie par les porteurs de charge mobiles. Sa densité linéique est $I\,\vv{u}_{\dd\ell}\wedge\vv{B}$, en ${\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}}$.

Théorème — résultante sur une portion de circuit dans un champ uniforme. Si $\vv{B}$ est uniforme,

pour un circuit allant de $A$ à $B$ : la résultante ne dépend que des extrémités, pas de la forme du conducteur. En particulier, pour une barre rectiligne de longueur $\ell$, orientée par $\vv{u}$ dans le sens du courant : $\vv{F}=I\,\ell\,\vv{u}\wedge\vv{B}$, de norme $F=I\,\ell\,B\,\abs{\sin\theta}$ avec $\theta=(\vv{u},\vv{B})$. Et pour un circuit fermé, $\oint\dd\vv{\ell}=\vv{0}$ donc $\vv{F}=\vv{0}$ : un champ uniforme ne peut pas déplacer un circuit fermé, il ne peut que le faire tourner.

Remarque — ordre de grandeur. $I={2{,}0\,\mathrm{A}}$, $\ell={10\,\mathrm{cm}}$, $B={0{,}10\,\mathrm{T}}$ orthogonal : $F={20\,\mathrm{mN}}$, le poids de ${2\,\mathrm{g}}$. Les forces de Laplace de laboratoire sont faibles ; un moteur compense par le nombre de spires et un fort champ d’entrefer.

Propriété — puissance des forces de Laplace. En translation, $\mathcal{P}=\vv{F}\cdot\vv{v}$ (soit $I\ell Bv$ pour une barre si $\vv{F}$ et $\vv{v}$ sont de même sens) ; en rotation autour d’un axe fixe, $\mathcal{P}=\Gamma_z\,\omega$. Contrairement à la force magnétique sur une charge, la force de Laplace travaille : c’est tout l’intérêt de l’effet moteur.

Théorème — couple sur un circuit plan dans un champ uniforme. Un circuit plan de moment magnétique $\vv{m}$, placé dans un champ extérieur uniforme $\vv{B}$, subit une résultante nulle et un couple de moment

Démonstration exigible (spire rectangulaire). Spire $a\times b$, courant $I$, axe de rotation $Oz$ vertical passant par les milieux des côtés de longueur $b$, champ $\vv{B}=B\,\vv{u}_x$ horizontal. On note $\theta$ l’angle $(\vv{m},\vv{B})$.

• Les deux côtés de longueur $a$ sont parallèles à $Oz$, donc orthogonaux à $\vv{B}$ : ils subissent les forces $\pm IaB\,\vv{u}_z\wedge\vv{u}_x=\pm IaB\,\vv{u}_y$, opposées et appliquées à la distance $\frac b2$ de l’axe : elles forment un couple, de bras de levier $\frac b2\sin\theta$ chacune, d’où $\Gamma=2\times IaB\times\frac b2\sin\theta=I\,ab\,B\sin\theta=m\,B\sin\theta$ avec $m=Iab$.
• Les deux côtés de longueur $b$ subissent des forces opposées portées par $Oz$ : résultante nulle et moment nul par rapport à $Oz$, ils ne contribuent pas.
• Le sens est celui qui ramène $\vv{m}$ sur $\vv{B}$, d’où $\vv{\Gamma}=\vv{m}\wedge\vv{B}$. Le résultat s’étend à un circuit plan quelconque par découpage en rectangles.

Propriété — énergie potentielle, positions d’équilibre. L’action d’un champ uniforme sur un dipôle magnétique dérive de l’énergie potentielle (expression fournie)

Les positions d’équilibre sont $\theta=0$ et $\theta=\pi$ :

• $\theta=0$ ($\vv{m}$ parallèle à $\vv{B}$) : $E_p=-mB$ minimale, équilibre stable ;
• $\theta=\pi$ ($\vv{m}$ antiparallèle) : $E_p=+mB$ maximale, équilibre instable.

Le couple aligne toujours le moment magnétique avec le champ : c’est le principe de la boussole, et la raison pour laquelle le pôle nord d’une aiguille indique le nord magnétique.

Propriété — petites oscillations d’une boussole. Pour un aimant de moment $m$ et de moment d’inertie $J$ par rapport à son axe de rotation, le théorème du moment cinétique donne $J\ddot\theta=-mB\sin\theta$, soit pour les petits angles $\ddot\theta+\dfrac{mB}{J}\theta=0$ :

Mesurer $T_0$ donne accès au produit $mB$ : c’est une méthode usuelle de mesure du champ terrestre.

Remarque — aiguille de boussole. $m={0{,}10\,\mathrm{A}{\cdot}\mathrm{m}^{2}}$, aiguille de ${1{,}0\,\mathrm{g}}$ et ${3{,}0\,\mathrm{cm}}$ ($J=\frac1{12}ML^{2}={7{,}5\times10^{-8}\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{2}}$), $B_h={2{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{T}}$ : $T_0={1{,}2\,\mathrm{s}}$.

7Les applications à connaître

Propriété — rails de Laplace, version « force ». Deux rails horizontaux distants de $\ell$ reliés à un générateur de courant imposant $I$, une barre de masse $M$ en travers, un champ $\vv{B}$ vertical : la barre subit $F=BI\ell$ et accélère ; avec un frottement fluide $-\lambda v$, $v\to v_\infty=BI\ell/\lambda$. Le courant étant imposé, on traite le dispositif sans parler d’induction (chapitre 22).

Propriété — effet moteur. Un cadre de $N$ spires d’aire $S$ parcouru par $I$, mobile autour d’un axe orthogonal à $\vv{B}$, subit $\Gamma_z=-NISB\sin\theta$ : il tourne vers $\theta=0$ puis s’arrête. Un collecteur inverse le courant à chaque demi-tour, rendant le couple toujours moteur, de valeur moyenne $\langle\Gamma\rangle=\frac1\pi\int_0^{\pi}NISB\sin\theta\,\dd\theta=\frac2\pi NISB\approx0{,}64\,NISB$.

Propriété — haut-parleur électrodynamique. Une bobine de $N$ spires de rayon $a$, collée à la membrane, est placée dans l’entrefer d’un aimant où le champ est radial de norme $B$. Chaque élément subit alors une force axiale, et la résultante vaut $\boxed{F=B\,I\,\ell}$ avec $\ell=N\times2\pi a$ : elle est proportionnelle au courant, et la membrane reproduit le signal.

Propriété — champ tournant et effet moteur. Deux bobines de même centre, d’axes orthogonaux, alimentées en quadrature par $I\cos(\omega t)$ et $I\sin(\omega t)$, créent $\vv{B}=B_0(\cos(\omega t)\vv{u}_x+\sin(\omega t)\vv{u}_y)$ : un champ de norme constante $B_0$ tournant à la vitesse angulaire $\omega$. Une aiguille aimantée au centre subit $\Gamma_z=mB_0\sin(\omega t-\theta)$ : en régime permanent elle tourne à la même vitesse $\omega$, avec un retard $\delta$ tel que $mB_0\sin\delta=\Gamma_{\text{rés}}$ — c’est le moteur synchrone, qui décroche si $\Gamma_{\text{rés}}>mB_0$. Trois bobines à ${120^{\circ}}$ en triphasé donnent un champ tournant d’amplitude $\frac32 B_0$.