Probabilités conditionnelles et indépendance : cours de Première et exercices

1Probabilité conditionnelle

Définition. Soit $A$ et $B$ deux événements avec $P(A)\neq0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est

P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.

Propriété. Pour tous événements $A$ et $B$ tels que $P(A)\neq0$ :

P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B),\qquad 0\leq P_{A}(B)\leq1,\qquad P_{A}\!\left(\overline B\right)=1-P_{A}(B).

Remarque. En situation d’équiprobabilité, $P_{A}(B)$ est la proportion des issues de $B$ parmi celles de $A$ : on « se restreint » à $A$ , qui devient le nouvel univers. Dans un tableau croisé, $P_{A}(B)$ se lit en divisant l’effectif de la case $A\cap B$ par le total de la ligne (ou de la colonne) $A$ .

Méthode — traduire un énoncé. « parmi les $A$ , la proportion de $B$ », « sachant que », « lorsque $A$ est réalisé » $\rightarrow$ $P_{A}(B)$ . « $A$ et $B$ » $\rightarrow$ $P(A\cap B)$ . Attention au sens du conditionnement : $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ n’ont aucune raison d’être égales.

2Arbres pondérés et probabilités totales

Propriété — les trois règles de l’arbre. Dans un arbre pondéré :

la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$ ;
la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent ;
la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Les branches du premier niveau portent $P(A)$ et $P\!\left(\overline A\right)$ ; celles du second niveau portent des probabilités conditionnelles, $P_{A}(B)$ ou $P_{\overline A}(B)$ .

Définition. Des événements $A_{1},\dots,A_{n}$ de probabilités non nulles forment une partition de l’univers lorsqu’ils sont deux à deux incompatibles et que leur réunion est l’univers. Le cas le plus fréquent est la partition $\left\{A\,;\overline A\right\}$ .

Figure 1 — Arbre pondéré : le chemin du haut a pour probabilité $P(A)\times P_{A}(B)=P(A\cap B)$ .

Théorème — formule des probabilités totales. Si $A_{1},\dots,A_{n}$ forment une partition de l’univers, alors, pour tout événement $B$ :

P(B)=P(A_{1}\cap B)+\dots+P(A_{n}\cap B)=P(A_{1})P_{A_{1}}(B)+\dots+P(A_{n})P_{A_{n}}(B).

En particulier : $P(B)=P(A)P_{A}(B)+P\!\left(\overline A\right)P_{\overline A}(B)$ .

Méthode — « renverser » un conditionnement. Pour calculer $P_{B}(A)$ alors que l’arbre donne $P_{A}(B)$ : écrire $P_{B}(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ , calculer le numérateur par le chemin correspondant et le dénominateur par les probabilités totales.

3Indépendance

Définition. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ .

Propriété. Si $P(A)\neq0$ , $A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si, $P_{A}(B)=P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ . Si $A$ et $B$ sont indépendants, il en est de même de $A$ et $\overline B$ , de $\overline A$ et $B$ , de $\overline A$ et $\overline B$ .

Remarque. Ne pas confondre incompatibles ( $A\cap B=\varnothing$ , donc $P(A\cap B)=0$ ) et indépendants. L’indépendance se démontre par un calcul, ou se justifie par la situation (tirages avec remise, lancers successifs, personnes choisies indépendamment).

Remarque. Algorithme du chapitre : la méthode de Monte-Carlo estime une probabilité, ou une aire, en simulant un grand nombre d’expériences aléatoires et en calculant la fréquence des succès observés.

4Répétition d’épreuves indépendantes

Définition. Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p$ , et l’échec $\overline S$ , de probabilité $1-p$ .

Propriété. On répète $n$ fois ( $n\leq4$ ) la même épreuve de Bernoulli, de façon indépendante : on représente la situation par un arbre à $n$ niveaux, qui compte $2^{n}$ chemins. La probabilité d’un chemin comportant $k$ succès et $n-k$ échecs est

p^{k}(1-p)^{n-k}.

Méthode — probabilité d’obtenir $k$ succès. Dénombrer les chemins de l’arbre qui comportent exactement $k$ succès, puis multiplier ce nombre par $p^{k}(1-p)^{n-k}$ , puisque tous ces chemins ont la même probabilité.

Remarque. Plus généralement, lors d’une succession d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités des résultats qui la composent.

Figure 2 — $n=3$ : $8$ chemins, dont $3$ comportent exactement $2$ succès.

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Calculer une probabilité conditionnelle à partir de la définition ou d’un tableau croisé ; distinguer $P(A\cap B)$ , $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ .
Construire et compléter un arbre pondéré ; calculer la probabilité d’un chemin, puis d’un événement.
Appliquer la formule des probabilités totales, puis « renverser » un conditionnement (tests de dépistage, faux positifs).
Démontrer que deux événements sont indépendants, ou justifier qu’ils ne le sont pas.
Calculer des probabilités lors de la répétition de $n\leq4$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, en dénombrant les chemins de l’arbre.

6Exemples types

Exempleprobabilités totales et conditionnement renversé

Un test de dépistage : $2\,\%$ de la population est malade ( $M$ ) ; le test est positif ( $T$ ) pour $95\,\%$ des malades et pour $3\,\%$ des non-malades. Alors $P(T)=0{,}02\times0{,}95+0{,}98\times0{,}03=0{,}019+0{,}0294=0{,}0484$ , puis $P_{T}(M)=\dfrac{0{,}019}{0{,}0484}\approx0{,}393$ : moins de $40\,\%$ des tests positifs concernent un malade, alors que $P_{M}(T)=0{,}95$ .

Exempleindépendance

On lance deux dés équilibrés. Soit $A$ : « le premier dé donne $6$ » et $B$ : « la somme vaut $7$ ». Alors $P(A)=\frac16$ , $P(B)=\frac{6}{36}=\frac16$ et $A\cap B$ est l’issue $(6\,;1)$ , donc $P(A\cap B)=\frac{1}{36}=P(A)\times P(B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants.

Exempleépreuves répétées

Un joueur marque un panier avec la probabilité $p=0{,}8$ et tire $3$ fois, de façon indépendante. La probabilité de marquer exactement $2$ paniers est $3\times0{,}8^{2}\times0{,}2=0{,}384$ ( $3$ chemins), et celle d’en marquer au moins un est $1-0{,}2^{3}=0{,}992$ .

Pièges

$P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ sont deux nombres différents : le mot « sachant » indique la condition, donc le dénominateur.
$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ seulement si $A$ et $B$ sont indépendants ; en général, $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ .
Incompatibles et indépendants ne veulent pas dire la même chose : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Sur un arbre, les probabilités du deuxième niveau sont conditionnelles : on ne les additionne pas avec celles du premier, on les multiplie le long du chemin.
Pour $n$ épreuves répétées, ne pas oublier de compter les chemins : la probabilité d’obtenir $k$ succès n’est pas $p^{k}(1-p)^{n-k}$ mais ce produit multiplié par le nombre de chemins.

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Probabilités conditionnelles et indépendance

1Probabilité conditionnelle

2Arbres pondérés et probabilités totales

3Indépendance

4Répétition d’épreuves indépendantes

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Type épreuve anticipée

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