Aller au contenu
Première spécialité · Mathématiques · Chapitre 9

Produit scalaire

Fiche de cours4 min de lecturePar Robin RinguetMise à jour : octobre 2026
Télécharger la fiche (PDF)Exercices et contrôles

1Définitions du produit scalaire

Définition — norme et angle. Si u⃗\vv u et v⃗\vv v sont deux vecteurs non nuls, leur produit scalaire est le nombre réel

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗,v⃗),\vv u\cdot\vv v=\norme{\vv u}\times\norme{\vv v}\times\cos\left(\vv u,\vv v\right),

où (u⃗,v⃗)\left(\vv u,\vv v\right) est l’angle géométrique des deux vecteurs. Si u⃗=0⃗\vv u=\vv 0 ou v⃗=0⃗\vv v=\vv 0, on pose u⃗⋅v⃗=0\vv u\cdot\vv v=0.

Propriété. u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vv u\cdot\vv u=\norme{\vv u}^{2}, noté u⃗ 2\vv u^{\,2} ; en particulier AB→⋅AB→=AB2\vect{AB}\cdot\vect{AB}=AB^{2}.

Définition — projection orthogonale. Si HH est le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB), alors

AB→⋅AC→=AB→⋅AH→={  AB×AHsi AB→ et AH→ sont de meˆme sens,−AB×AHs’ils sont de sens contraires.\vect{AB}\cdot\vect{AC}=\vect{AB}\cdot\vect{AH}= \begin{cases} \ \ AB\times AH & \text{si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ sont de même sens,}\\[0.5mm] -AB\times AH & \text{s'ils sont de sens contraires.}\end{cases}

Définition. Les vecteurs u⃗\vv u et v⃗\vv v sont orthogonaux lorsque u⃗⋅v⃗=0\vv u\cdot\vv v=0. Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur ; deux droites sont perpendiculaires si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Méthode — choisir la bonne méthode. Coordonnées connues →\rightarrow expression analytique ; longueurs et angle connus →\rightarrow norme et cosinus ; perpendiculaires sur la figure →\rightarrow projection ; vecteurs composés →\rightarrow Chasles puis règles de calcul.

Figure 1 — Ici AB→\vect{AB} et AH→\vect{AH} sont de même sens : AB→⋅AC→=AB×AH\vect{AB}\cdot\vect{AC}=AB\times AH.

2Règles de calcul

Propriété — symétrie et bilinéarité. Pour tous vecteurs u⃗\vv u, v⃗\vv v, w⃗\vv w et tout réel kk :

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(k u⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)=u⃗⋅(k v⃗).\vv u\cdot\vv v=\vv v\cdot\vv u,\qquad \vv u\cdot\left(\vv v+\vv w\right)=\vv u\cdot\vv v+\vv u\cdot\vv w,\qquad \left(k\,\vv u\right)\cdot\vv v=k\left(\vv u\cdot\vv v\right)=\vv u\cdot\left(k\,\vv v\right).

Méthode — dans une figure. Décomposer les vecteurs avec la relation de Chasles sur des vecteurs dont on connaît les normes et les angles, puis développer par bilinéarité : les termes orthogonaux disparaissent.

FormulaireDéveloppements à connaître
  • ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norme{\vv u+\vv v}^{2}=\norme{\vv u}^{2}+2\,\vv u\cdot\vv v+\norme{\vv v}^{2} ; ∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norme{\vv u-\vv v}^{2}=\norme{\vv u}^{2}-2\,\vv u\cdot\vv v+\norme{\vv v}^{2} ; (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2\left(\vv u+\vv v\right)\cdot\left(\vv u-\vv v\right)=\norme{\vv u}^{2}-\norme{\vv v}^{2}.
  • On en déduit  u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\ \vv u\cdot\vv v=\dfrac12\left(\norme{\vv u+\vv v}^{2}-\norme{\vv u}^{2}-\norme{\vv v}^{2}\right) : un produit scalaire se calcule avec trois longueurs.

3Expression dans une base orthonormée

Propriété. Dans un repère orthonormé, si u⃗ (x ;y)\vv u\,(x\,;y) et v⃗ (x′ ;y′)\vv v\,(x'\,;y') :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′,∥u⃗∥=x2+y2,u⃗⊥v⃗  ⟺  xx′+yy′=0.\vv u\cdot\vv v=xx'+yy',\qquad \norme{\vv u}=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \vv u\perp\vv v\ssi xx'+yy'=0.

En particulier, si A (xA ;yA)A\,(x_{A}\,;y_{A}) et B (xB ;yB)B\,(x_{B}\,;y_{B}), alors AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}.

Propriété — coordonnées par produits scalaires. Dans la base orthonormée (ı⃗,ȷ⃗)\left(\vv\imath,\vv\jmath\right), les coordonnées de u⃗\vv u sont x=u⃗⋅ı⃗x=\vv u\cdot\vv\imath et y=u⃗⋅ȷ⃗y=\vv u\cdot\vv\jmath.

Méthode — calculer un angle. Écrire cos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥\cos\left(\vv u,\vv v\right)=\dfrac{\vv u\cdot\vv v}{\norme{\vv u}\times\norme{\vv v}}, en calculant le produit scalaire et les normes par les coordonnées.

Remarque. Pour deux vecteurs non nuls, le signe du produit scalaire renseigne sur l’angle : u⃗⋅v⃗>0\vv u\cdot\vv v>0 si l’angle est aigu, u⃗⋅v⃗=0\vv u\cdot\vv v=0 s’il est droit, u⃗⋅v⃗<0\vv u\cdot\vv v<0 s’il est obtus.

4Applications aux longueurs et aux lieux de points

Théorème — formule d’Al-Kashi. Dans un triangle ABCABC, en notant a=BCa=BC, b=ACb=AC et c=ABc=AB :

a2=b2+c2−2bccos⁡BAC^.a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat{BAC}.

Idée : BC2=∥AC→−AB→∥2=AC2−2 AB→⋅AC→+AB2BC^{2}=\norme{\vect{AC}-\vect{AB}}^{2}=AC^{2}-2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}+AB^{2}. Si BAC^=π2\widehat{BAC}=\frac{\pi}{2}, on retrouve le théorème de Pythagore.

Propriété — produit scalaire MA→⋅MB→\vect{MA}\cdot\vect{MB}. Si II est le milieu de [AB][AB], alors pour tout point MM :

MA→⋅MB→=MI2−AB24.\vect{MA}\cdot\vect{MB}=MI^{2}-\frac{AB^{2}}{4}.

Propriété. L’ensemble des points MM tels que MA→⋅MB→=0\vect{MA}\cdot\vect{MB}=0 est le cercle de diamètre [AB][AB] : c’est l’ensemble des points d’où l’on « voit » [AB][AB] sous un angle droit, complété par AA et BB.

Remarque. En physique, le travail d’une force constante F⃗\vv F dont le point d’application se déplace de AA à BB est W=F⃗⋅AB→W=\vv F\cdot\vect{AB} : nul si F⃗\vv F est orthogonale au déplacement.

Figure 2 — MA→⋅MB→=0\vect{MA}\cdot\vect{MB}=0 : le triangle AMBAMB est rectangle en MM.

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire
  • Calculer un produit scalaire par la méthode adaptée : coordonnées, norme et angle, projection, relation de Chasles.
  • Démontrer que deux vecteurs, deux droites ou deux segments sont orthogonaux.
  • Calculer une longueur avec Al-Kashi, un angle avec le produit scalaire ; développer ∥u⃗±v⃗∥2\norme{\vv u\pm\vv v}^{2}.
  • Déterminer un ensemble de points défini par MA→⋅MB→=k\vect{MA}\cdot\vect{MB}=k (à l’aide du milieu II de [AB][AB]).
  • Résoudre un problème de géométrie ; calculer le travail d’une force.

6Exemples types

Exempleavec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, A (1 ;2)A\,(1\,;2), B (4 ;3)B\,(4\,;3) et C (2 ;−1)C\,(2\,;-1). Alors AB→ (3 ;1)\vect{AB}\,(3\,;1) et AC→ (1 ;−3)\vect{AC}\,(1\,;-3), donc AB→⋅AC→=3×1+1×(−3)=0\vect{AB}\cdot\vect{AC}=3\times1+1\times(-3)=0 : le triangle ABCABC est rectangle en AA.

Exempleavec norme et angle

ABCDABCD est un carré de côté 44. Alors AB→⋅AC→=AB×AC×cos⁡π4=4×42×22=16\vect{AB}\cdot\vect{AC}=AB\times AC\times\cos\frac{\pi}{4}=4\times4\sqrt2\times\frac{\sqrt2}{2}=16 ; par projection, le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) étant BB, on retrouve AB→⋅AC→=AB→⋅AB→=16\vect{AB}\cdot\vect{AC}=\vect{AB}\cdot\vect{AB}=16.

ExempleAl-Kashi

Dans un triangle, AB=5AB=5, AC=8AC=8 et BAC^=π3\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}. Alors BC2=25+64−2×5×8×12=49BC^{2}=25+64-2\times5\times8\times\dfrac12=49, donc BC=7BC=7.

Exempleensemble de points

AA et BB sont tels que AB=6AB=6 et II est le milieu de [AB][AB]. L’ensemble des points MM tels que MA→⋅MB→=7\vect{MA}\cdot\vect{MB}=7 vérifie MI2−9=7MI^{2}-9=7, soit MI=4MI=4 : c’est le cercle de centre II et de rayon 44.

Pièges
  • Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur : écrire u⃗⋅v⃗=0\vv u\cdot\vv v=0 et non u⃗⋅v⃗=0⃗\vv u\cdot\vv v=\vv 0.
  • u⃗⋅v⃗=0\vv u\cdot\vv v=0 n’entraîne pas u⃗=0⃗\vv u=\vv 0 ou v⃗=0⃗\vv v=\vv 0, et u⃗⋅v⃗=u⃗⋅w⃗\vv u\cdot\vv v=\vv u\cdot\vv w n’entraîne pas v⃗=w⃗\vv v=\vv w : on ne « simplifie » pas par un vecteur.
  • Les formules xx′+yy′xx'+yy' et x2+y2\sqrt{x^{2}+y^{2}} ne valent que dans un repère orthonormé.
  • Dans la projection, le signe dépend du sens : AB→⋅AC→\vect{AB}\cdot\vect{AC} est négatif quand l’angle est obtus.
  • Al-Kashi : le double produit porte sur les deux côtés qui encadrent l’angle ; ne pas oublier le signe −-.
← TrigonométrieGéométrie repérée →

Exercices, contrôles et sujets

Les énoncés sont en accès libre, à télécharger en PDF.

1

Exercices de base

PDF

Les bases : projection orthogonale, normes et cosinus, coordonnées, règles de calcul, Al-Kashi, cercle de diamètre [AB][AB]

8 exercicesniveau Difficulté 1 sur 3durée conseillée : 2 hsans calculatrice

  1. Lire un produit scalaire sur un quadrillageDifficulté 1 sur 3
  2. Avec les normes et un angleDifficulté 1 sur 3
  3. Dans une base orthonorméeDifficulté 1 sur 3
  4. Règles de calculDifficulté 1 sur 3
  5. Des normes au produit scalaireDifficulté 2 sur 3
  6. La formule d’Al-KashiDifficulté 2 sur 3
  7. Décomposer avec la relation de ChaslesDifficulté 2 sur 3
  8. Les points MM tels que MA→⋅MB→=k\vect{MA}\cdot\vect{MB}=kDifficulté 2 sur 3
2

Exercices d'application

PDF

Application : travail d’une force, angles d’un triangle, distance inaccessible, format A4, décomposer une force

5 exercicesniveau Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 hcalculatrice autorisée

  1. Le téléskiDifficulté 2 sur 3
  2. Les angles d’un triangleDifficulté 2 sur 3
  3. Mesurer une distance inaccessibleDifficulté 2 sur 3
  4. Le format A4Difficulté 2 sur 3
  5. Décomposer une force dans une base adaptéeDifficulté 2 sur 3
3

Contrôle A

PDF

QCM, calculs en repère orthonormé, formule d’Al-Kashi, cercle de diamètre [AB][AB]

Durée : 1 hsans calculatrice4 exercices indépendantsbarème sur 20

  1. Questionnaire à choix multiples5 ptsDifficulté 1 sur 3
  2. Dans un repère orthonormé4 ptsDifficulté 1 sur 3
  3. Un triangle et la formule d’Al-Kashi5 ptsDifficulté 2 sur 3
  4. Le cercle de diamètre [AB][AB]6 ptsDifficulté 2 sur 3
4

Contrôle B

PDF

Vrai ou faux, un triangle rectangle à construire, un parallélogramme, perpendiculaires dans un carré et un rectangle

Durée : 1 hsans calculatrice4 exercices indépendantsbarème sur 20

  1. Vrai ou faux ?4 ptsDifficulté 2 sur 3
  2. Un triangle rectangle à construire5 ptsDifficulté 2 sur 3
  3. Un parallélogramme5 ptsDifficulté 2 sur 3
  4. Des perpendiculaires dans un carré et dans un rectangle6 ptsDifficulté 3 sur 3
5

Approfondissement

PDF

Pour aller plus loin : Al-Kashi et loi des sinus, cercle de diamètre [AB][AB] et puissance d’un point, concours des hauteurs, théorème de la médiane et lignes de niveau, inégalité de Cauchy-Schwarz, centre de gravité

6 exercicesniveau Difficulté 3 sur 3durée conseillée : 3 hsans calculatrice

  1. Démonstration : formule d’Al-Kashi, puis loi des sinusDifficulté 3 sur 3
  2. Le cercle de diamètre [AB][AB] et la puissance d’un pointDifficulté 3 sur 3
  3. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantesDifficulté 3 sur 3
  4. Théorème de la médiane et lignes de niveauDifficulté 3 sur 3
  5. L’inégalité de Cauchy-SchwarzDifficulté 3 sur 3
  6. Centre de gravité et somme des carrés des distancesDifficulté 3 sur 3
6

Type épreuve anticipée

PDF

Partie 1 : douze questions d’automatismes — Partie 2 : un triangle dans un repère, le travail d’une force, étude d’une fonction avec exponentielle

Durée : 2 hsans calculatriceQCM et 3 exercicesbarème sur 20

  1. Questionnaire à choix multiples6 ptsDifficulté 1 sur 3
  2. Un triangle dans un repère5 ptsDifficulté 2 sur 3
  3. Le travail d’une force5 ptsDifficulté 2 sur 3
  4. Étude d’une fonction4 ptsDifficulté 2 sur 3

Première · Mathématiques : les 13 chapitres

  1. Second degré
  2. Suites numériques : généralités
  3. Suites arithmétiques et géométriques
  4. Nombre dérivé et tangente
  5. Fonctions dérivées
  6. Variations et extremums
  7. Fonction exponentielle
  8. Trigonométrie
  9. Produit scalaire
  10. Géométrie repérée
  11. Probabilités conditionnelles et indépendance
  12. Variables aléatoires
  13. Épreuve anticipée de mathématiques