Suites numériques : généralités

1Suite numérique : définition et notations

Définition. Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction définie sur $\N$ (ou sur l’ensemble des entiers $n\geq n_0$) et à valeurs réelles. Le réel $u_n$ est le terme de rang $n$ ; $n$ est l’indice.

Notation. On écrit $u_n$ plutôt que $u(n)$, et $(u_n)$ (ou $(u_n)_{n\in\N}$) pour désigner la suite tout entière. Ne pas confondre la suite $(u_n)$ et le nombre $u_n$.

Propriété — trois écritures à distinguer. Pour $u_n=2n^2-3n$ : $\ u_{n+1}=2(n+1)^2-3(n+1)=2n^2+n-1$, $\ u_n+1=2n^2-3n+1$, $\ u_{2n}=8n^2-6n$.

2Modes de génération

Définition. Une suite est définie de façon explicite lorsque $u_n=f(n)$ : chaque terme se calcule directement à partir de son rang.

Définition. Une suite est définie par récurrence lorsqu’on donne son premier terme et une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ : chaque terme se calcule à partir du précédent, l’un après l’autre.

Remarque. Une suite peut aussi être décrite par un motif géométrique (allumettes, carreaux…) ou par un algorithme. Passer d’un registre à l’autre — motif, tableau de valeurs, formule, nuage de points — est un attendu du chapitre. Pour une suite récurrente, il faut calculer tous les termes précédents, de proche en proche.

3Représentation graphique

Définition. La représentation graphique d’une suite $(u_n)$ est le nuage de points de coordonnées $(n\,;u_n)$, dans un repère où les rangs sont en abscisse. On ne relie pas les points : la suite n’est définie que pour des entiers.

4Sens de variation

Définition. $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1}\geq u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1}\leq u_n$ pour tout $n$, constante si $u_{n+1}=u_n$ pour tout $n$ (strictement croissante ou décroissante avec des inégalités strictes). Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

Remarque. Une suite peut n’être monotone qu’à partir d’un certain rang : $u_n=n^2-9n+3$ décroît, puis croît à partir du rang $4$.

5Limite d’une suite : approche intuitive

6Algorithmique

Méthode — trois algorithmes du chapitre. calculer un terme de rang donné (boucle for), calculer une somme de termes (accumulateur), rechercher un seuil : le plus petit rang $n$ tel que $u_n$ dépasse (ou passe sous) une valeur donnée — c’est une boucle while.

def terme(n):           # u_0 = 5 et u_(n+1) = 2 u_n - 3
    u = 5
    for k in range(n):
        u = 2 * u - 3
    return u

def seuil(S):           # plus petit rang n tel que u_n > S
    u, n = 5, 0
    while u <= S:
        u = 2 * u - 3
        n = n + 1
    return n

7Savoir-faire du chapitre

8Exemples types