Première spécialité · Mathématiques · Chapitre 1

Second degré

Fiche de cours3 min de lecturePar Robin RinguetMise à jour : octobre 2026

Télécharger la fiche (PDF)Exercices et contrôles

1Trinôme du second degré et formes d’écriture

Définition. Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction $f$ définie sur $\R$ par

f(x)=ax^2+bx+c \qquad\text{avec } a\neq 0 .

C’est la forme développée ; $a$ , $b$ et $c$ sont les coefficients. Sa courbe est une parabole.

Propriété — trois formes d’un même trinôme. Tout trinôme s’écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , avec

\alpha=-\frac{b}{2a} \qquad\text{et}\qquad \beta=f(\alpha).

Il s’écrit sous forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ uniquement lorsqu’il admet des racines (voir bloc 3).

Remarque. Chaque forme a son usage : développée pour lire $a$ , $b$ , $c$ ; canonique pour l’extremum et les variations ; factorisée pour les racines et le signe.

2Forme canonique, sommet et variations

Propriété. La parabole représentant $f$ admet pour sommet le point $S(\alpha\,;\beta)$ et $f$ atteint en $\alpha$ un extremum égal à $\beta$ : un minimum si $a>0$ , un maximum si $a<0$ .

Cas $a>0$

Cas $a<0$

Méthode — obtenir la forme canonique. calculer $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$ ; ou bien factoriser $a$ et compléter le carré, par exemple $x^2-6x+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4$ .

3Discriminant, racines et résolution de $ax^2+bx+c=0$

Définition. Le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$ .

Théorème — résolution de l’équation du second degré. L’équation $ax^2+bx+c=0$ admet, dans $\R$ :

Formulaire

si $\Delta>0$ : deux racines distinctes $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ;
si $\Delta=0$ : une racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}=\alpha$ et $f(x)=a(x-x_0)^2$ ;
si $\Delta<0$ : aucune racine réelle ; $f(x)$ ne se factorise pas et garde le signe de $a$ .

Idée de la démonstration : la forme canonique s’écrit $f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$ ; on conclut par l’identité $A^2-B^2$ si $\Delta>0$ , par le signe d’une somme de carrés si $\Delta<0$ .

Propriété — somme et produit. Si $f$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement égales), alors

x_1+x_2=-\frac{b}{a} \qquad\text{et}\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.

Réciproquement, deux réels de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de $X^2-sX+p=0$ : ils existent si et seulement si $s^2\geq 4p$ .

4Signe du trinôme et inéquations

Propriété. Lorsque $\Delta>0$ , $f(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe de $-a$ entre les racines. Lorsque $\Delta\leq 0$ , $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x$ (nul en $x_0$ si $\Delta=0$ ).

Figure 1 — Signe de $f(x)$ dans le cas $\Delta>0$ et $a>0$ , avec $x_1<x_2$ . Pour $a<0$ , tous les signes de la dernière ligne sont échangés.

Méthode — résoudre une inéquation du second degré. tout ramener dans un seul membre, calculer $\Delta$ , déterminer les racines, dresser le tableau de signes, puis lire les solutions sous forme d’intervalles.

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Passer d’une forme à l’autre : développer, mettre sous forme canonique, factoriser.
Résoudre une équation du second degré avec le discriminant, ou sans : racine évidente, somme et produit, identité remarquable.
Étudier le signe d’un trinôme et résoudre une inéquation du second degré.
Déterminer les racines et le sommet de la parabole ; dresser le tableau de variations.
Choisir la forme adaptée pour un problème d’optimisation (aire, bénéfice) ou pour une lecture graphique.
Déterminer deux réels connaissant leur somme et leur produit.

6Exemples types

Exempleéquation, factorisation et signe

Soit $f(x)=2x^2+3x-2$ . Alors $\Delta=3^2-4\times 2\times(-2)=25>0$ , $\sqrt{\Delta}=5$ , $x_1=\frac{-3-5}{4}=-2$ et $x_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12$ , donc $f(x)=2(x+2)\left(x-\frac12\right)$ . Comme $a>0$ : $f(x)>0$ sur $\intoo{-\infty}{-2}\cup\intoo{\frac12}{+\infty}$ et $f(x)<0$ sur $\intoo{-2}{\frac12}$ .

Exempleinéquation

Résoudre $-2x^2+3x+2\geq 0$ . Ici $\Delta=9+16=25$ et les racines sont $\frac{-3-5}{-4}=2$ et $\frac{-3+5}{-4}=-\frac12$ . Comme $a=-2<0$ , le trinôme est positif entre les racines : $\mathcal{S}=\intff{-\frac12}{2}$ .

Exempleoptimisation par la forme canonique

Soit $B(x)=-2x^2+12x-7$ . On a $\alpha=-\dfrac{12}{-4}=3$ et $\beta=B(3)=-18+36-7=11$ , donc $B(x)=-2(x-3)^2+11$ . Comme $a<0$ , $B$ admet un maximum égal à $11$ , atteint pour $x=3$ .

Exempleracine évidente et produit des racines

Soit $f(x)=3x^2-8x+5$ . Comme $3-8+5=0$ , $1$ est racine ; le produit des racines vaut $\frac{c}{a}=\frac53$ , donc l’autre racine est $\frac53$ et $f(x)=3(x-1)\left(x-\frac53\right)$ : aucun discriminant à calculer.

Pièges

$\Delta=b^2-4ac$ : ne pas oublier les signes de $b$ et de $c$ ; $(-3)^2=9$ et $-4\times2\times(-2)=+16$ .
Un trinôme de discriminant négatif ne se factorise pas : écrire $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ n’a de sens que si $\Delta\geq 0$ .
Dans le tableau de signes, ranger les racines dans l’ordre croissant $x_1<x_2$ , sans quoi la lecture du signe est fausse.
Avant de calculer $\Delta$ , vérifier s’il y a plus court : $x^2-9=0$ , $3x^2=7x$ ou une racine évidente se traitent sans discriminant.
Ne pas confondre $\alpha=-\frac{b}{2a}$ (l’abscisse du sommet) et $\beta=f(\alpha)$ (la valeur de l’extremum).

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Exercices, contrôles et sujets

Les énoncés sont en accès libre, à télécharger en PDF.

Exercices de base

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Les bases : formes d’un trinôme, équations, signe

9 exercicesniveau Difficulté 1 sur 3durée conseillée : 1 h 30sans calculatrice

Reconnaître un trinômeDifficulté 1 sur 3
Forme factorisée : racines et signeDifficulté 1 sur 3
Résoudre avec le discriminantDifficulté 1 sur 3
Résoudre sans le discriminantDifficulté 1 sur 3
Forme canonique et sommetDifficulté 2 sur 3
Somme et produit des racinesDifficulté 2 sur 3
Inéquations du second degréDifficulté 2 sur 3
Lecture graphiqueDifficulté 2 sur 3
Problème : l’enclosDifficulté 2 sur 3

Exercices d'application

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Application : racines imposées, choix de la forme, factorisations, équations, signe, lecture graphique, recette

7 exercicesniveau Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 hsans calculatrice

Trinômes dont les racines sont imposéesDifficulté 2 sur 3
Choisir la forme adaptéeDifficulté 2 sur 3
Factoriser en diversifiant les stratégiesDifficulté 2 sur 3
Équations qui se ramènent au second degréDifficulté 2 sur 3
Signe d’un produit, d’un quotientDifficulté 2 sur 3
Une parabole et une droiteDifficulté 2 sur 3
Optimiser la recette d’une salle de concertDifficulté 2 sur 3

Contrôle A

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QCM, équations et inéquations, lecture graphique d’une parabole, un carré inscrit dans un carré

Durée : 1 hsans calculatrice4 exercices indépendantsbarème sur 20

Questionnaire à choix multiples5 ptsDifficulté 1 sur 3
Équations et inéquations5 ptsDifficulté 1 sur 3
Lecture graphique et calcul5 ptsDifficulté 2 sur 3
Un carré inscrit dans un carré5 ptsDifficulté 2 sur 3

Contrôle B

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Démonstration guidée des formules, vrai ou faux, trajectoire d’un jet d’eau, le cadre photo, carrés d’entiers consécutifs

Durée : 1 hsans calculatrice5 exercices indépendantsbarème sur 20

Démonstration : résoudre une équation du second degré5 ptsDifficulté 2 sur 3
Vrai ou faux ?5 ptsDifficulté 2 sur 3
Le jet d’eau4 ptsDifficulté 2 sur 3
Le cadre photo3 ptsDifficulté 3 sur 3
Carrés d’entiers consécutifs3 ptsDifficulté 3 sur 3

Approfondissement

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Pour aller plus loin : degré 3, factorisation de $x^n-a^n$ , équations bicarrées, paramètre, somme et produit, inégalité de Cauchy-Schwarz

6 exercicesniveau Difficulté 3 sur 3durée conseillée : 2 h 30sans calculatrice

Un polynôme du troisième degré dont on connaît une racineDifficulté 3 sur 3
Factoriser $x^n-a^n$ Difficulté 3 sur 3
Équations bicarrées et changement d’inconnueDifficulté 3 sur 3
Une famille de trinômes dépendant d’un paramètreDifficulté 3 sur 3
Deux nombres dont on connaît la somme et le produitDifficulté 3 sur 3
L’inégalité de Cauchy-Schwarz (hors programme — pour aller plus loin)Difficulté 3 sur 3

Type épreuve anticipée

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Partie 1 : douze questions d’automatismes — Partie 2 : bénéfice d’une entreprise, évolutions successives, une parabole et des droites

Durée : 2 hsans calculatriceQCM et 3 exercicesbarème sur 20

Questionnaire à choix multiples6 ptsDifficulté 1 sur 3
Le bénéfice d’une entreprise5 ptsDifficulté 2 sur 3
Évolutions successives4 ptsDifficulté 2 sur 3
Une parabole et des droites5 ptsDifficulté 2 sur 3