Nombre dérivé et tangente : cours de Première et exercices

1Taux de variation et sécantes

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ , $b$ deux réels distincts de $I$ . Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . En posant $b=a+h$ avec $h\neq0$ , il s’écrit

\tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Propriété. C’est le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ , où $A\bigl(a\,;f(a)\bigr)$ et $M\bigl(a+h\,;f(a+h)\bigr)$ sont deux points de la courbe $\Cf$ . C’est aussi la variation moyenne de $f$ sur l’intervalle considéré (par exemple une vitesse moyenne).

2Nombre dérivé

Définition. $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux de variation $\tau(h)$ tend vers un nombre réel $\ell$ quand $h$ tend vers $0$ . Ce nombre est le nombre dérivé de $f$ en $a$ ; on le note $f'(a)$ :

f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Propriété — interprétations. $f'(a)$ est une vitesse instantanée si $f$ décrit une position en fonction du temps, un coût marginal si $f$ est un coût total en fonction de la quantité produite : c’est le taux de variation instantané de $f$ en $a$ .

Remarque. Une fonction n’est pas toujours dérivable : pour $f(x)=\sqrt{x}$ et $a=0$ , le taux vaut, pour $h>0$ , $\dfrac{\sqrt h}{h}=\dfrac{1}{\sqrt h}$ , qui devient aussi grand que l’on veut quand $h$ tend vers $0$ : la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$ et sa courbe y admet une tangente verticale.

Figure 1 — La sécante $(AM)$ et la tangente $T$ en $A$ . Quand $M$ se rapproche de $A$ , la sécante pivote et tend vers $T$ .

3Tangente à une courbe

Définition. Lorsque $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à $\Cf$ au point $A\bigl(a\,;f(a)\bigr)$ est la position limite des sécantes $(AM)$ lorsque $M$ se rapproche de $A$ : c’est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$ .

Théorème — équation de la tangente. Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à $\Cf$ au point d’abscisse $a$ a pour équation

y=f(a)+f'(a)(x-a).

Démonstration : cette droite a pour coefficient directeur $f'(a)$ , donc une équation $y=f'(a)x+p$ ; elle passe par $A$ , d’où $f(a)=f'(a)\,a+p$ , soit $p=f(a)-a\,f'(a)$ .

Méthode — lire $f'(a)$ sur un graphique. repérer la tangente au point d’abscisse $a$ et lire son coefficient directeur : en avançant de $1$ vers la droite, on monte de $f'(a)$ . Une tangente horizontale en $A$ signifie $f'(a)=0$ .

4Approximation affine

Propriété. Si $f$ est dérivable en $a$ , alors, pour $h$ proche de $0$ :

f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h .

Au voisinage de $a$ , on remplace la courbe par sa tangente : l’erreur commise est d’autant plus petite que $\abs h$ est petit.

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Calculer un taux de variation entre deux réels et l’interpréter comme la pente d’une sécante ou comme une variation moyenne.
Simplifier le taux de variation entre $a$ et $a+h$ , puis obtenir $f'(a)$ en faisant tendre $h$ vers $0$ .
Lire graphiquement un nombre dérivé ; construire une tangente connaissant $f(a)$ et $f'(a)$ .
Déterminer une équation de la tangente en un point ; retrouver $f(a)$ et $f'(a)$ à partir de son équation.
Calculer une valeur approchée de $f(a+h)$ par approximation affine et estimer l’erreur.
Interpréter $f'(a)$ dans un contexte : vitesse instantanée, coût marginal, débit.

6Exemples types

Exemplenombre dérivé par le taux de variation

Soit $f(x)=x^2$ et $a$ un réel. Pour $h\neq0$ ,

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h,

qui tend vers $2a$ quand $h$ tend vers $0$ . Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=2a$ ; en particulier $f'(3)=6$ .

Exempleéquation de tangente

Toujours pour $f(x)=x^2$ , en $a=3$ : $f(3)=9$ et $f'(3)=6$ , donc la tangente a pour équation $y=9+6(x-3)$ , soit $y=6x-9$ . Réciproquement, si la tangente en $-1$ à la courbe de $g$ a pour équation $y=4x+7$ , alors $g'(-1)=4$ et $g(-1)=4\times(-1)+7=3$ .

Exemplefonction inverse et approximation affine

Soit $k(x)=\dfrac1x$ et $a=2$ . Pour $h\neq0$ et $h>-2$ : $\ \dfrac{k(2+h)-k(2)}{h}=\dfrac{1}{h}\times\dfrac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\dfrac{-1}{2(2+h)}$ , qui tend vers $-\dfrac14$ : $k'(2)=-\dfrac14$ . Tangente en $2$ : $y=\dfrac12-\dfrac14(x-2)$ . Approximation affine : $\dfrac{1}{2{,}1}\approx\dfrac12-\dfrac14\times0{,}1=0{,}475$ (valeur exacte $\approx0{,}4762$ ).

Exemplevitesse instantanée

La hauteur d’une balle, en mètres, est $z(t)=20t-5t^2$ ( $t$ en secondes). Entre $1$ et $1+h$ ( $h\neq0$ ) :

\frac{z(1+h)-z(1)}{h}=\frac{20(1+h)-5(1+h)^2-15}{h}=\frac{10h-5h^2}{h}=10-5h,

qui tend vers $10$ . La vitesse instantanée à $t=1$ s vaut donc ${10\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ . Approximation affine : $z(1{,}1)\approx 15+10\times0{,}1=16$ m (valeur exacte $15{,}95$ m).

Pièges

Le taux de variation n’est défini que pour $h\neq0$ : on simplifie d’abord par $h$ , on fait tendre $h$ vers $0$ ensuite.
$f'(a)$ est un nombre, pas une fonction, et $f(a)$ n’est pas $f'(a)$ : dans l’équation de la tangente, les deux interviennent.
L’équation de la tangente est $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ , et non $y=f(a)+f'(a)\,x$ : ne pas oublier le $-a$ .
L’approximation affine n’est valable que pour $h$ proche de $0$ : elle donne une valeur approchée, jamais une valeur exacte.
Une tangente peut couper la courbe : « tangente » ne veut pas dire « qui touche en un seul point ».

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1Taux de variation et sécantes

2Nombre dérivé

3Tangente à une courbe

4Approximation affine

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Type épreuve anticipée

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