Suites arithmétiques et géométriques

1Suites arithmétiques

Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $r$, appelé raison, tel que, pour tout $n$,

On passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

Propriété — terme général. Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors, pour tous entiers $n$ et $p$ :

Démonstration : de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $n$ fois la raison $r$.

Propriété — sens de variation et représentation. $(u_n)$ est strictement croissante si $r>0$, strictement décroissante si $r<0$, constante si $r=0$. Les points $(n\,;u_n)$ sont alignés sur la droite d’équation $y=rx+u_0$ : une suite arithmétique est l’analogue discret d’une fonction affine, et modélise une évolution à accroissements constants.

2Suites géométriques

Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe un réel $q$, appelé raison, tel que, pour tout $n$, $u_{n+1}=q\,u_n$. Si aucun terme n’est nul, cela équivaut à : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ pour tout $n$. On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Propriété — terme général. Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, alors $\ u_n=u_0\,q^{\,n}\$ et, plus généralement, pour tous entiers $n\geq p$, $\ u_n=u_p\,q^{\,n-p}$. Démonstration : de $u_0$ à $u_n$, on multiplie $n$ fois par $q$.

Propriété — sens de variation. Pour $u_0>0$ et $q>0$ : la suite est strictement croissante si $q>1$, constante si $q=1$, strictement décroissante si $0<q<1$. Les sens sont échangés si $u_0<0$. Si $q<0$ et $u_0\neq0$, la suite n’est pas monotone : les termes changent de signe alternativement. Une suite géométrique modélise une évolution à taux constant (croissance ou décroissance exponentielle).

3Évolutions en pourcentage

Propriété. Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par le coefficient multiplicateur $\ \text{CM}=1+\dfrac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$, à multiplier par $1-\dfrac{t}{100}$. Des évolutions successives se traduisent par le produit des coefficients multiplicateurs ; l’évolution réciproque correspond au coefficient $\dfrac{1}{\text{CM}}$.

Remarque. Une grandeur qui évolue de $t\,\%$ à chaque période engendre donc une suite géométrique de raison $1+\frac{t}{100}$ : après $n$ périodes, elle a été multipliée par $\left(1+\frac{t}{100}\right)^n$.

4Sommes de termes consécutifs

Méthode — démonstration de $1+2+\dots+n$. Écrire la somme $S$ deux fois, la seconde à l’envers, et additionner terme à terme : on obtient $n$ paires valant chacune $n+1$, donc $2S=n(n+1)$. Pour la somme géométrique, calculer $S-qS$ : tous les termes se simplifient sauf deux.

5Suite arithmético-géométrique (avec suite auxiliaire fournie)

Méthode — $u_{n+1}=a\,u_n+b$. L’énoncé fournit une suite auxiliaire $v_n=u_n-\ell$. On montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $a$, on écrit $v_n=v_0\,a^{\,n}$, puis on revient à $u_n=v_n+\ell$.

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types