Épreuve anticipée de mathématiques : cours de Première et exercices

1Le format officiel de l’épreuve

Définition. L’épreuve anticipée de mathématiques, à la fin de la classe de Première, dure 2 heures, se passe sans calculatrice, compte pour le coefficient 2 et est notée sur $20$ points. Elle comporte deux parties indépendantes.

Partie	Contenu	Barème	Temps conseillé
1	QCM de $12$ questions d’automatismes : quatre réponses, une seule exacte, aucune justification. Bonne réponse : $0{,}5$ pt ; réponse fausse ou absente : $0$ pt.	$6$ pts	$30$ min
2	Deux ou trois exercices indépendants sur tout le programme de Première et les acquis de Seconde ; réponses justifiées, rédaction prise en compte.	$14$ pts	$1$ h $25$

Remarque. Restent $5$ minutes de relecture. Puisque rien n’est retiré, on ne laisse jamais une question du QCM sans réponse : éliminer les propositions absurdes, puis cocher.

2Gérer les deux heures et rédiger

Méthode — gérer le temps. partie 1 : $2$ à $3$ minutes par question au plus, en posant les calculs au brouillon plutôt que de les faire de tête ; en cas de blocage, passer et revenir à la fin. Partie 2 : lire tout le sujet, puis commencer par l’exercice le mieux maîtrisé — les exercices sont indépendants et l’ordre sur la copie est libre, à condition de numéroter clairement.

Méthode — rédiger. une réponse = la propriété invoquée, le calcul, puis une phrase de conclusion avec l’unité et le contexte. Toute piste écrite peut être valorisée : ne jamais rendre une question vide.

Savoir-faireLes réflexes qui rapportent des points

Une question « Montrer que » donne le résultat : s’il n’est pas obtenu, on l’admet et on l’utilise aux questions suivantes.
Vérifier la vraisemblance : une probabilité est dans $\intff{0}{1}$ , une longueur et une aire sont positives, un effectif est entier.
Laisser les résultats sous forme exacte (fraction irréductible, radical, $\pi$ , $\e$ ), employer les notations officielles et faire une figure, un arbre ou un tableau de signes dès que l’énoncé s’y prête.

3Le formulaire de l’année

FormulaireSecond degré, suites, dérivation et exponentielle

Trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ( $a\neq0$ ), $\Delta=b^{2}-4ac$ . Si $\Delta>0$ : racines $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta=0$ : racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ et $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta<0$ : aucune racine, pas de factorisation. Le signe de $f(x)$ est celui de $a$ , sauf entre les racines quand $\Delta>0$ .
Forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ , $\beta=f(\alpha)$ (extremum en $\alpha$ ). $x_1+x_2=-\dfrac ba$ , $x_1x_2=\dfrac ca$ .
Arithmétique : $u_{n+1}=u_n+r$ , $u_n=u_0+nr=u_p+(n-p)r$ ; croissante si $r>0$ ; $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .
Géométrique : $u_{n+1}=q\,u_n$ , $u_n=u_0q^{\,n}=u_pq^{\,n-p}$ ; si $u_0>0$ : croissante si $q>1$ , décroissante si $0<q<1$ ; $1+q+\dots+q^{\,n}=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}$ pour $q\neq1$ .
Évolutions : $t\,\%\leftrightarrow$ coefficient multiplicateur $\text{CM}=1+\frac{t}{100}$ ; successives : on multiplie les CM ; réciproque : $\frac{1}{\text{CM}}$ . Taux constant $\Rightarrow$ suite géométrique de raison CM ; accroissement constant $\Rightarrow$ suite arithmétique.
Nombre dérivé : limite du taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h\to0$ ; c’est la pente de la tangente en $a$ . Tangente : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; approximation affine : $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$ .
Dérivées : $\left(x^{n}\right)'=nx^{\,n-1}$ ( $n\in\Z$ ) ; $\left(\sqrt x\right)'=\frac{1}{2\sqrt x}$ ; $\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^{2}}$ ; $\left(\e^{x}\right)'=\e^{x}$ ; $\left(\e^{at}\right)'=a\e^{at}$ . Opérations : $(u+v)'=u'+v'$ ; $(ku)'=ku'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$ ; $\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^{2}}$ ; $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .
Variations : sur un intervalle, $f'\geq0\Rightarrow f$ croissante, $f'\leq0\Rightarrow f$ décroissante, $f'=0\Rightarrow f$ constante ; si $f$ admet un extremum local en $x_0$ intérieur à l’intervalle, alors $f'(x_0)=0$ ; réciproquement, si $f'$ s’annule en $x_0$ en changeant de signe, $f$ admet un extremum local en $x_0$ . Sur un ensemble symétrique par rapport à $0$ : $f$ paire si $f(-x)=f(x)$ , impaire si $f(-x)=-f(x)$ .
Exponentielle : unique fonction dérivable sur $\R$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ ; $\e^{x}>0$ , strictement croissante, $\e\approx2{,}718$ . $\e^{x+y}=\e^{x}\e^{y}$ ; $\e^{-x}=\dfrac{1}{\e^{x}}$ ; $\e^{x-y}=\dfrac{\e^{x}}{\e^{y}}$ ; $\left(\e^{x}\right)^{n}=\e^{nx}$ ; $\e^{a}=\e^{b}\iff a=b$ ; $\e^{a}<\e^{b}\iff a<b$ .

FormulaireTrigonométrie, géométrie et probabilités

Radian : $\pi$ rad $={180^{\circ}}$ (degrés $\to$ radians : $\times\frac{\pi}{180}$ ) ; un angle de $\theta$ radians intercepte sur un cercle de rayon $R$ un arc de longueur $R\theta$ . Pour tout réel $x$ : $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ et $-1\leq\cos x\leq1$ , $-1\leq\sin x\leq1$ .
Angles associés : $\cos(-x)=\cos x$ , $\sin(-x)=-\sin x$ ; $\cos(\pi-x)=-\cos x$ , $\sin(\pi-x)=\sin x$ ; $\cos(\pi+x)=-\cos x$ , $\sin(\pi+x)=-\sin x$ ; $\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$ , $\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ .
Produit scalaire : $\vv u\cdot\vv v=\norme{\vv u}\times\norme{\vv v}\times\cos\theta$ ; en base orthonormée, avec $\vv u(x\,;y)$ et $\vv v(x'\,;y')$ : $\vv u\cdot\vv v=xx'+yy'$ et $\norme{\vv u}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . $\vv u\cdot\vv v=0\iff\vv u\perp\vv v$ .
$\norme{\vv u\pm\vv v}^{2}=\norme{\vv u}^{2}\pm2\,\vv u\cdot\vv v+\norme{\vv v}^{2}$ . Al-Kashi : $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\,AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}$ . Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ : $\vect{AB}\cdot\vect{AC}=\vect{AB}\cdot\vect{AH}$ . $\ens{M\ ;\ \vect{MA}\cdot\vect{MB}=0}$ est le cercle de diamètre $[AB]$ .
Repère orthonormé : $\vect{AB}(x_B-x_A\,;y_B-y_A)$ , $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}$ , milieu de $[AB]$ : $\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\frac{y_A+y_B}{2}\right)$ . La distance d’un point à une droite est la distance à son projeté orthogonal sur cette droite.
Droite $ax+by+c=0$ : $\vv n(a\,;b)$ normal, $\vv u(-b\,;a)$ directeur ; équation réduite $y=mx+p$ , $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ . Cercle de centre $\Omega(a\,;b)$ et de rayon $r$ : $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ (se reconnaît en complétant les carrés).
$P(\overline A)=1-P(A)$ ; $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . Conditionnelle (si $P(A)\neq0$ ) : $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , donc $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ .
Arbre pondéré : la somme des branches issues d’un nœud vaut $1$ ; la probabilité d’un chemin est le produit de ses branches ; celle d’un événement, la somme des chemins qui le réalisent.
Probabilités totales : si $A_1,\dots,A_n$ forment une partition de l’univers, $P(B)=\sum P(A_i)\times P_{A_i}(B)$ ; en particulier $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B)$ .
Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ , ce qui équivaut, si $P(A)\neq0$ , à $P_A(B)=P(B)$ . Pour $n\leq4$ épreuves identiques indépendantes, dénombrer les chemins de l’arbre.
Variable aléatoire : $p_i=P(X=x_i)$ , $\sum p_i=1$ ; $E(X)=\sum x_ip_i$ ; $V(X)=\sum p_i\bigl(x_i-E(X)\bigr)^{2}=E\!\left(X^{2}\right)-E(X)^{2}$ (König-Huygens) ; $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ ; $E(aX+b)=aE(X)+b$ ; $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ . Jeu équitable : espérance du gain nulle.

4Les automatismes de calcul mental

FormulaireSans calculatrice : ce qui doit être immédiat

Fractions : $\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}$ (dénominateur commun le plus petit) ; $\dfrac ab\div\dfrac cd=\dfrac ab\times\dfrac dc$ ; simplifier avant de multiplier ; forme irréductible.
Puissances : $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ ; $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ ; $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$ ; $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ ; $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ ; $a^{0}=1$ ; notation scientifique de tête.
Racines ( $a\geq0$ , $b>0$ ) : $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ , $\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$ , $\left(\sqrt a\right)^{2}=a$ , $\frac{1}{\sqrt b}=\frac{\sqrt b}{b}$ ; extraire les carrés ( $\sqrt{45}=3\sqrt5$ ) ; carrés jusqu’à $20^{2}=400$ ; $\sqrt2\approx1{,}41$ ; $\sqrt3\approx1{,}73$ .
Pourcentages : $t\,\%$ de $N$ vaut $\frac{t}{100}N$ ; proportion $=\frac{\text{partie}}{\text{total}}$ ; $+20\,\%$ : $\times1{,}2$ ; $-20\,\%$ : $\times0{,}8$ ; $\times1{,}05$ : $+5\,\%$ ; taux d’évolution $=\frac{V_f-V_i}{V_i}$ .
Ordres de grandeur : arrondir à un chiffre significatif pour contrôler un résultat ( $0{,}49\times802\approx400$ ) ; savoir encadrer et estimer avant de rédiger.
Développer, factoriser : $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$ ; $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ ; $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ ; repérer le facteur commun, y compris quand c’est une parenthèse.
Équations, signes : $AB=0\iff A=0$ ou $B=0$ ; signe de $ax+b$ (change en $-\frac ba$ ) ; signe d’un produit ou d’un quotient par tableau de signes ; $x^{2}=k$ donne $x=\pm\sqrt k$ si $k>0$ .
Lectures graphiques : image, antécédents, signe de $f$ , variations, solutions de $f(x)=k$ ; coefficient directeur ; $f'(a)$ = pente de la tangente en $a$ ; signe de $f'$ lu sur la courbe de $f'$ .
Statistiques, probabilités : moyenne, médiane, quartiles, écart interquartile, boîte à moustaches ; tableau croisé d’effectifs ; distinguer $P(A\cap B)$ , $P_A(B)$ et $P_B(A)$ .

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$ ( ${30^{\circ}}$ )	$\frac{\pi}{4}$ ( ${45^{\circ}}$ )	$\frac{\pi}{3}$ ( ${60^{\circ}}$ )	$\frac{\pi}{2}$ ( ${90^{\circ}}$ )	$\pi$ ( ${180^{\circ}}$ )
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$	$0$	$-1$
$\sin x$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$	$0$

À retenir — sur le cercle trigonométrique, le cosinus se lit en abscisse, le sinus en ordonnée ; les valeurs de $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{3}$ s’échangent entre $\cos$ et $\sin$ .

Pièges

Ne pas répondre au QCM : une question vide rapporte $0$ , une réponse choisie au jugé peut rapporter $0{,}5$ point — rien n’est retiré.
Confondre $\Delta$ et $\sqrt\Delta$ dans $x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ ; oublier que $\Delta<0$ interdit toute factorisation.
Additionner des taux : $+10\,\%$ puis $+10\,\%$ donne $\times1{,}21$ , soit $+21\,\%$ .
$(uv)'\neq u'v'$ ; $\left(\e^{x}\right)^{2}=\e^{2x}$ et non $\e^{x^{2}}$ ; $\e^{a+b}\neq\e^{a}+\e^{b}$ .
Un produit scalaire est un nombre : $\vv u\cdot\vv v=0$ n’entraîne pas $\vv u=\vv 0$ ou $\vv v=\vv 0$ .
Confondre $P_A(B)$ , $P_B(A)$ et $P(A\cap B)$ : repérer l’ensemble sur lequel on se restreint (« parmi les… »).

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Épreuve anticipée de mathématiques

1Le format officiel de l’épreuve

2Gérer les deux heures et rédiger

3Le formulaire de l’année

4Les automatismes de calcul mental

Exercices, contrôles et sujets

Automatismes série 1

Automatismes série 2

Sujet blanc A

Sujet blanc B

Sujet blanc C

Sujet blanc D

Première · Mathématiques : les 13 chapitres